Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)

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1 Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare il tipo di conica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si tratta di una conica a centro, calcolare le coordinate del centro della conica. a b c d e f g h i l m + +. Ridurre in forma canonica le coniche a, b, f, g, l dell esercizio precedente, senza utilizzare il metodo veloce dell invarianza del determinante vedere l es... Siano assegnate le seguenti coniche non degeneri dunque è già noto che deta di equazione f, : Per ognuna di esse: a Determinare la matrice A della forma quadratica associata alla conica. b Determinare la matrice di rotazione R ortogonale speciale tale che R T AR D, con D matrice diagonale. c Stabilire se si tratta di un iperbole, ellisse o parabola. d Se si tratta di una conica a centro ellisse o iperbole, determinarne il centro e gli assi. Se si tratta di una parabola, determinarne il vertice e l asse.

2 4. Riconoscere che le seguenti coniche, di equazioni f,, sono degeneri e determinare le equazioni delle rette che le formano. Se si tratta di una conica a centro determinarne il centro Utilizzando il metodo veloce dell invarianza del determinante, ridurre in forma canonica le seguenti coniche; determinare comunque il cambiamento di coordinate necessario per passare da una forma all altra: a b c Sia C la conica di equazione C : k. a Stabilire per quali valori di k la conica C è degenere. b Posto k, stabilire di quale tipo di conica si tratta. c Trovare gli assi o l asse di simmetria di C. 7. Sia k un parametro reale. Si consideri la famiglia di coniche C k di equazione C k : k + k 4 +. a Esistono coniche degeneri nella famiglia? b Si classifichi la conica C k al variare di k. c Si determinino le coordinate dei centri delle coniche C k quando esistono. 8. Sia C k la conica di equazione C k : + k + 4 k parametro reale a Al variare di k R, riconoscere di quale tipo di conica si tratta. b Trovare le coniche degeneri della famiglia. c Mostrare che ci sono due rette che sono assi di simmetria di ogni conica della famiglia. 9. Sia C k la conica di equazione C k : + k + 4 k parametro reale a Al variare di k R, riconoscere di quale tipo di conica si tratta. b Trovare le coniche degeneri della famiglia. c Mostrare che tutte le ellissi appartenenti alla famiglia sono reali.

3 . Fissato il parametro reale t, sia C t la conica di equazione C t : t + 6t + t + a Stabilire se esistono valori di t per cui la conica è degenere. b Determinare il tipo di conica al variare del parametro t. c Scrivere la forma canonica di C t per t.. Fissato il parametro reale t, sia C t la conica di equazione C t : t + + t + a Stabilire se esistono valori di t per cui la conica è degenere. b Determinare il tipo di conica al variare del parametro t. c Scrivere la forma canonica di C t per t.. Si consideri la matrice A a Calcolare autovalori e autovettori di A. b Calcolare una matrice diagonalizzante di A, che sia ortogonale e rappresenti una rotazione dello spazio attorno all origine. c Scrivere la forma canonica della conica C con matrice associata A.. Si consideri la conica di equazione a Si determini il tipo di conica. b Si trovi l eventuale centro della conica. c Si trovino gli assi di simmetria e la forma canonica della conica. S U G G E R I M E N T I Ad ogni conica di equazione f, possiamo associare due matrici quadrate simmetriche: la matrice A M relativa alla forma quadratica associata alla conica, e la matrice A M : coeff. di A coeff. di, coeff. di coeff. di A A h h T dove h coeff. della, k coeff. della e k è il termine noto dell equazione. Di conseguenza l equazione della conica è f,,, A,, T, A, T + h T, T + k Possiamo inoltre definire gli invarianti ortogonali dell equazione della conica.

4 Invariante cubico: I deta, Invariante quadratico: I deta, Invariante lineare: I traccia di A somma degli elementi della diagonale di A somma degli autovalori di A.. Classificazione Una conica è non degenere se I deta. Inoltre è: Ellisse: se gli autovalori sono concordi, ovvero se I deta >. Iperbole: se gli autovalori sono discordi, ovvero se I deta <. Parabola: se ha un autovalore nullo, ovvero se I deta. Una conica è degenere se I deta. Inoltre: Se ranka è semplicemente degenere, ovvero si tratta di una coppia di rette distinte reali o immaginarie. Se ranka è doppiamente degenere, ovvero si tratta di una coppia di rette coincidenti.. Centro e assi, oppure: vertice e asse Centro Assi Iperbole e ellisse sono coniche a centro. Il centro si determina risolvendo il sistema: A h Se la conica è degenere e si tratta di una coppia di rette incidenti, si tratta di una conica a centro. Il centro è il punto di intersezione delle due rette e può anche essere determinato come per le coniche a centro non degeneri. Gli assi di iperbole e ellisse sono le rette passanti per il centro, aventi direzioni parallele agli autovettori di A. L asse della parabola è una retta di direzione parallela all autovettore relativo all autovalore nullo passante per il vertice. Il vertice è dato dall intersezione dell asse con la parabola. Non avendo in generale il vertice, per determinare l asse si può: Determinare la direzione dell asse. Determinare la generica equazione di una retta r perpendicolare all asse. Determinare i punti di intersezione D e E di r con la parabola. Determinare il punto medio M del segmento DE. L asse è la retta per M di direzione parallela all autovettore relativo all autovalore nullo. 4

5 Una volta nota l equazione dell asse si può ricavare il vertice. In alternativa assi, centro e vertice si possono ricavare dalla forma canonica se si è a conoscenza delle trasformazioni che permettono di passare dall equazione alla forma canonica e viceversa. Rotazione La matrice A è simmetrica, quindi esiste una matrice R ortogonale speciale detta matrice di rotazione tale che R T λ AR D dove λ λ i sono autovalori di A. La matrice R si ottiene dagli autovettori di A normalizzati e con i segni in modo che il determinante sia. Forma canonica con equazioni della trasformazione. Per ottenere la forma canonica di una conica non degenere, ovvero una delle forme: a + b, ellisse reale, a + b +, ellisse immaginaria, a b, iperbole, p, parabola, con a, b >, dobbiamo eseguire due trasformazioni:. Rotazione. Lo scopo è ruotare la conica in modo che gli assi o l asse siano paralleli agli assi cartesiani. Dal punto di vista dell equazione questo implica la mancanza del termine.. Traslazione. Lo scopo è traslare la conica in modo che il centro nel caso di ellisse o iperbole o il vertice nel caso della parabola, coincida con l origine degli assi cartesiani. Dal punto di vista dell equazione questo implica la mancanza dei termini e. Vediamo come procedere.. Rotazione. i Si determinano gli autovalori e autovettori di A, in modo da ottenere la matrice R ortonormale speciale tale che R T AR D, matrice diagonale. Questo corrisponde a effettuare il cambiamento di base: X X R R T Y Y ii Si sostituiscono al posto di e le nuove coordinate X e Y ottenendo così un equazione priva del termine XY. Notiamo che la forma quadratica associata alla conica nelle nuove coordinate sarà del tipo: λ X + λ Y dove λ i sono gli autovalori di A. È quindi opportuno prendere gli autovalori nell ordine desiderato e non è necessario sostituire X e Y nella parte quadratica perché sappiamo già il risultato che otterremo.

6 . Traslazione. Possiamo distinguere due casi. Coniche a centro. Si può procedere in due modi: i Completamento dei quadrati, che indicano la traslazione da effettuare. ii Ricerca del centro della conica eventualmente modificato secondo il cambiamento di coordinate della rotazione non dimenticare questa eventuale modifica!, che indica la traslazione da effettuare. Parabole. i Completamento del quadrato e contemporaneamente eliminazione del termine noto, che indicano la traslazione da effettuare. ii Ricerca del vertice della parabola eventualmente modificato secondo il cambiamento di coordinate della rotazione, che indica la traslazione da effettuare. Poiché la ricerca del vertice della parabola è piuttosto laboriosa, in genere conviene utilizzare il primo metodo. Forma canonica versione semplice Per ottenere la forma canonica di una conica non degenere senza cercare però le equazioni della trasformazione che permette di passare dall equazione originale alla forma canonica e viceversa, possiamo procedere nel seguente modo: Calcoliamo I deta per verificare che la conica non sia degenere. Calcoliamo gli autovalori λ, λ di A e stabiliamo di quale conica si tratta. Se si tratta di un ellisse o un iperbole sappiamo che dobbiamo arrivare a un equazione del tipo a ± b ±, passando attraverso un equazione del tipo λ λ + λ + t B λ con λ, λ autovalori di A t Poiché I è un invariante, imponendo la condizione deta detb possiamo ricavare il valore di t. Dividendo infine per t o t si ottiene la forma canonica. Se si tratta di una parabola sappiamo che dobbiamo arrivare a un equazione del tipo p, passando attraverso un equazione del tipo λ λ + t B t con λ autovalore non nullo di A t Poiché I è un invariante, imponendo la condizione deta detb possiamo ricavare il valore di t. Dividendo infine per λ si ottiene la forma canonica. Equazioni della trasformazione Passando da un equazione f, alla corrispondente forma canonica fx, Y abbiamo effettuato un cambiamento di base corrispondente a una rotazione R definita dagli autovettori di 6

7 A e una traslazione definita dal centro C, o dal vertice V, della conica. Il cambio di coordinate è dato da X X R +, R T Y Y dove R è la matrice di rotazione, ovvero la matrice diagonalizzante ortogonale speciale associata ad A. Coniche degeneri Per determinare le equazioni delle rette che formano che le coniche degeneri si deve risolvere un equazione di secondo grado in cui si considera la come variabile e la come parametro, o viceversa. Se la conica è semplicemente degenere ranka si ottengono due rette distinte. Se la conica è doppiamente degenere ranka si ottiene una sola retta. Se la conica è a centro deta, quindi ranka si ottengono due rette incidenti nel centro. Se è una parabola degenere deta, ma ranka si ottengono due rette parallele. S O L U Z I O N I Esercizio. a Consideriamo l equazione La matrice A associata a tale equazione è A per cui l equazione della conica risulta 9 6,, A Analogamente la matrice associata alla forma quadratica è 9 A 6 per cui l equazione della conica risulta, A + h T + k 7

8 con h coeff. della coeff. della k Per stabilire se si tratta di una conica degenere o non degenere determiniamo il rango di A cominciando a calcolare il determinante di A : I deta ranka Quindi si tratta di una conica non degenere. Per stabilire se si tratta di un ellisse, di una parabola o di una iperbole calcoliamo il determinante di A: I deta 4 4 > Quindi si tratta di un ellisse. Poiché si tratta di una conica a centro ne possiamo determinare il centro risolvendo il sistema A + h A h ovvero il sistema associato alla matrice 9 6 II 9I II I 9 C, Potevamo notare che il centro della conica è, osservando che nell equazione mancano i termini e. b Consideriamo l equazione e le matrici A e A associate: L equazione della conica risulta ovvero con A, A,, A A + h T h coeff. della coeff. della + k, k Inoltre I deta conica non degenere I deta 9 8 < iperbole. 8

9 Poiché si tratta di una conica a centro ne possiamo determinare il centro risolvendo il sistema A + h A h ovvero il sistema associato alla matrice II 6I 6 6 II 6 6 C 6, 6 c Consideriamo l equazione e le matrici A e A associate: A A Inoltre h k Si ha I deta conica non degenere. I deta 9 < iperbole. Determiniamo il centro risolvendo il sistema A + h A h ovvero il sistema associato alla matrice II I 4 4 C, d Consideriamo l equazione e le matrici A e A associate A A Inoltre h 9, k

10 Poiché A ha due righe uguali si ha I deta e ranka <. Inoltre A ha una sottomatrice di determinante non nullo, per esempio: det 9 4 ranka conica semplic. degenere. Si tratta quindi di due rette distinte. Per determinare esplicitamente l equazione delle due rette si può considerare l equazione della conica come un equazione di secondo grado nell incognita e considerare la come parametro: Risolvendo tale equazione con la formula per le equazioni di secondo grado otteniamo, ± Si tratta quindi di due rette reali parallele: ± oppure ± 9 r : + r : + + e Consideriamo l equazione e le matrici associate: A A Inoltre h k Si ha I deta ranka conica non degenere. I deta > ellisse. Determiniamo il centro risolvendo il sistema A h II I C, f Consideriamo l equazione e le matrici associate: 8 A 8 A 8

11 Inoltre h 8, k 8 Si ha I deta conica non degenere. I deta 9 6 > ellisse. Poiché si tratta di una conica a centro ne possiamo determinare il centro risolvendo il sistema 8 A h II II + I 6 4 C, g Consideriamo l equazione e le matrici associate A A 7 Inoltre Si ha h 4, k 7 I deta 49 4 conica non degenere. I deta 7 < iperbole. Poiché si tratta di una conica a centro ne possiamo determinare il centro risolvendo il sistema C, 7 7 h Consideriamo l equazione e le matrici associate: A 9 A 9 Notiamo che senza eseguire calcoli possiamo dedurre che I deta in quanto A ha due righe uguali. Inoltre riducendo la matrice a gradini otteniamo: II + I III I

12 Quindi ranka e si tratta di una conica doppiamente degenere, ovvero di due rette coincidenti. Per determinare esplicitamente l equazione della retta risolviamo l equazione di secondo grado nell incognita con parametro o viceversa: , ± Quindi si tratta della retta +. i Consideriamo l equazione e le matrici associate: A A Inoltre h, k Si ha I deta + + conica non degenere. I deta < iperbole. Poiché si tratta di una conica a centro ne possiamo determinare il centro risolvendo il sistema C, l Consideriamo l equazione e le matrici associate: A 4 A 4 Inoltre h, k Si ha I deta 6 conica non degenere. I deta parabola. m Consideriamo l equazione + + e le matrici associate: A A

13 Si ha I deta conica degenere. Inoltre A ha una sottomatrice di determinante non nullo, per esempio: det 4 ranka conica sempl. degenere. Si tratta quindi di due rette distinte. Per determinare esplicitamente l equazione delle due rette si può considerare l equazione della conica come un equazione di secondo grado nell incognita e considerare la come parametro o viceversa: Risolvendo tale equazione con la formula per le equazioni di secondo grado otteniamo :, ± 4 + ± ± oppure + Si tratta quindi di due rette reali incidenti: r : + r : + Notiamo che le due rette si intersecano nel punto C, che corrisponde al centro della conica. Il punto C lo possiamo quindi anche ricavare, come nei casi precedenti, risolvendo il sistema A T h. Esercizio. a Scriviamo la conica in forma normale: Le matrici associate alla conica sono Si vede facilmente che Rotazione. A A 9 6 I deta conica non degenere, I deta > ellisse. Come prima cosa dobbiamo individuare un cambiamento di base ortogonale che trasformi A in matrice diagonale rotazione. A tale scopo cerchiamo gli autovalori e autovettori di A per trovare una nuova base ortonormale di R formata da autovettori di A. Quindi p A λ 9 λ6 λ 4 λ λ +

14 e gli autovalori sono λ e λ. Calcoliamo lo spazio E risolvendo il sistema omogeneo associato alla matrice A I: 4 II + I Quindi t t t R E, Calcoliamo lo spazio E risolvendo il sistema omogeneo associato alla matrice A I: 4 I II I Quindi t t t R E, Notiamo che i due autovettori sono ortogonali per il teorema spettrale. È quindi sufficiente normalizzarli cambiandoli di segno in modo che la matrice P di cambiamento di base abbia determinante +: P Se indichiamo con, le nuove coordinate abbiamo che P P T + + P + Sostituendo ora le coordinate, nell equazione otteniamo: Traslazione Come si vede dal fatto che mancano i termini in e, in questo caso non è necessario effettuare il secondo cambiamento di base corrispondente alla traslazione per ottenere la forma canonica. In effetti se ricerchiamo il centro otteniamo: 9 6 La forma canonica della conica è quindi 9II I 9 + C, 4

15 b Consideriamo la conica e le matrici associate A A Si vede facilmente che I deta conica non degenere. I deta 8 < iperbole. Rotazione. Come prima cosa dobbiamo individuare un cambiamento di base ortogonale che trasformi A in matrice diagonale rotazione. A tale scopo cerchiamo gli autovalori e autovettori di A per trovare una nuova base ortonormale di R formata da autovettori di A. Quindi p A λ λ 9 λ λ 8 e gli autovalori sono λ 4 e λ. Calcoliamo lo spazio E4 risolvendo il sistema omogeneo associato alla matrice A 4I: t t R t Quindi E4, Calcoliamo lo spazio E risolvendo il sistema omogeneo associato alla matrice A+I: t t R t Quindi E, Notiamo che i due autovettori sono ortogonali per il teorema spettrale. sufficiente normalizzarli: E4,, E, La matrice P di cambiamento di base è quindi la matrice ortogonale speciale P Se indichiamo con, le nuove coordinate abbiamo che P P T P Sostituendo ora le coordinate, nell equazione otteniamo: È quindi

16 Traslazione. Possiamo ora completare il quadrato: [ [ ] ] Sostituiamo ora le nuove incognite X 4, Y + 8 ottenendo l equazione X + 4Y X 8 9 Y f Consideriamo l equazione Sappiamo già che si tratta di un ellisse di centro C,. Sappiamo inoltre che gli autospazi della matrice A sono: E8,, E, Per determinare la forma canonica dobbiamo effettuare due trasformazioni: Rotazione Traslazione Rotazione. Per determinare una matrice di cambiamento di base ortonormale e speciale, corrispondente a una rotazione, dobbiamo determinare una base ortonormale di R formata da autovettori, imponendo inoltre che la matrice P di cambiamento di base abbia determinante +. Notiamo che i due autovettori sono ortogonali anche per il teorema spettrale. È quindi sufficiente normalizzarli e eventualmente cambiarli di segno in modo che P abbia determinante +: E8,, E, La matrice P di cambiamento di base è quindi la matrice ortogonale P Se indichiamo con, le nuove coordinate abbiamo che P P T 6

17 P In questo momento ci serve il secondo cambio di coordinate. coordinate, nell equazione otteniamo: Abbiamo così effettuato la rotazione. Traslazione. Si tratta ora di effettuare la traslazione. Possiamo procedere in due modi. MODO : completamento del quadrato , Sostituiamo ora le nuove incognite ottenendo l equazione X + Y + 4 8X + Y 4X + Y Notiamo che il cambiamento di base da, a X, Y è X + Y MODO : utilizziamo il centro. Sappiamo che il centro ha coordinate Sostituendo infatti le C : Nelle nuove coordinate, il centro ha coordinate: C : + 4 Quindi le coordinate rispetto alle quali il centro si trova nell origine degli assi sono X + Y + 4 Sostituendo tali valori nell equazione X Y otteniamo, ovviamente come nel caso precedente, l equazione canonica 4X + Y 7

18 g Consideriamo l equazione Sappiamo già che si tratta di una iperbole di centro C, 4 7. Inoltre gli autospazi di A sono E,, E 7, Rotazione. Notiamo che la matrice A è già diagonale, quindi non dobbiamo effettuare questa operazione. In effetti la matrice P di cambiamento di base sarebbe la matrice identica. Traslazione. Si tratta ora di effettuare la traslazione. Possiamo procedere in due modi. MODO : completamento del quadrato [ 48 ] Sostituiamo ora le nuove incognite 4 7 X ottenendo l equazione Y 4 7 X 7Y X Y Per ottenere la forma canonica dobbiamo in effetti effettuare la rotazione che scambi gli assi cartesiani: Y X ottenendo MODO : utilizziamo il centro. Sappiamo che il centro ha coordinate C : 4 7 Non avendo effettuato il cambiamento di coordinate corrispondente alla rotazione possiamo immediatamente individuare le coordinate X, Y rispetto alle quali il centro si trova nell origine degli assi: X X Y 4 7 Y Sostituendo tali valori nell equazione otteniamo, ovviamente come nel caso precedente, l equazione canonica ovvero 7 X Y

19 l Consideriamo l equazione Sappiamo già che si tratta di una parabola, ma in questo caso, non trattandosi di una conica a centro, non abbiamo determinato gli autospazi. Calcoliamo il polinomio caratteristico di A: λ p A λ det λλ 4 λ Quindi A ha due autovalori: λ, λ Calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A: 4 II I + t t E, Analogamente calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: 4 I II + I + t t E, Possiamo ora procedere come negli esercizi precedenti. Rotazione. Per determinare una matrice di cambiamento di base ortonormale e speciale, corrispondente a una rotazione, dobbiamo determinare una base ortonormale di R formata da autovettori, imponendo inoltre che la matrice P di cambiamento di base abbia determinante +. Notiamo che i due autovettori sono ortogonali anche per il teorema spettrale. È quindi sufficiente normalizzarli e eventualmente cambiarli di segno in modo che P abbia determinante +: E,, E, La matrice P di cambiamento di base è quindi la matrice ortogonale P Se indichiamo con, le nuove coordinate abbiamo che P P T + 9

20 P + + In questo momento ci serve il secondo cambio di coordinate. coordinate, nell equazione otteniamo: Abbiamo così effettuato la rotazione. Sostituendo infatti le Traslazione. Si tratta ora di effettuare la traslazione. Non essendo una conica a centro dobbiamo procedere nel MODO : completamento del quadrato ed eliminazione del termine noto. [ [ [ [ ] + ] + 9 ] + 6 ] ] [ 4 7 Sostituiamo ora le nuove incognite X 4 7 Y ottenendo l equazione Y X Y X Per ottenere la forma canonica dobbiamo in effetti effettuare la rotazione che scambi gli assi cartesiani: Y X ottenendo + Esercizio.. Consideriamo l equazione a La matrice associata alla forma quadratica è 9 A 6

21 b Determiniamo gli autovalori e autovettori di A: 9 λ p A λ det 9 λ6 λ 4 λ λ + 6 λ Quindi A ha due autovalori: λ, λ Calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: + 4 II + I t t E, Analogamente calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: 4 I II I + t t E, La matrice di rotazione cercata è la matrice ortogonale di determinante che ha per colonne gli autovettori determinati normalizzati, quindi R c La matrice A ha due autovalori concordi ovvero deta >, quindi si tratta di un ellisse. d Per determinare il centro risolviamo il sistema A + h A h dove ovvero il sistema associato alla matrice 9 6 h coeff. della coeff. della II 9I II I 9 C, Potevamo notare che il centro della conica è, osservando che nell equazione mancano i termini e. Gli assi sono le rette passanti per il centro e di direzione gli autovettori di A, quindi a : a : + t + t + t t +

22 . Consideriamo l equazione a La matrice della forma quadratica associata alla conica è: b Determiniamo gli autovalori di A: p A λ det Quindi A ha due autovalori: A λ λ λ 4, λ λ λ 8 Calcoliamo l autospazio E4 risolvendo il sistema omogeneo associato ad A 4I: I II + I + t t E4, Analogamente calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A + I: I + II I t t E, La matrice di rotazione cercata è la matrice ortogonale di determinante che ha per colonne gli autovettori determinati normalizzati, quindi R c La matrice A ha due autovalori discordi ovvero deta < ; si tratta di un iperbole. d Poiché si tratta di una conica a centro ne possiamo determinare il centro risolvendo il sistema A + h A h dove h coeff. della coeff. della ovvero il sistema associato alla matrice II 6 II 6I 6 6 6

23 C 6, 6 Infine gli assi sono le rette passanti per il centro e di direzione parallela agli autovettori trovati: a : 6 + t 6 + t 4 4, a : 6 + t 6 t Consideriamo l equazione a La matrice della forma quadratica associata alla conica è: Inoltre A h coeff. della coeff. della b Determiniamo gli autovalori di A: 8, k 8 λ p A λ det λ λ + 6 λ Quindi A ha due autovalori: λ 8, λ Calcoliamo l autospazio E8 risolvendo il sistema omogeneo associato ad A 8I: I II I t t E8, Analogamente calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: I II + I t t E, La matrice di rotazione cercata è la matrice ortogonale di determinante che ha per colonne gli autovettori determinati normalizzati, quindi R

24 c La matrice A ha due autovalori concordi ovvero deta >, quindi si tratta di un ellisse. d Determiniamo il centro risolvendo il sistema 8 A h II II + I C 6 4, Infine a : a : t t + t + + t 4. Consideriamo l equazione a La matrice della forma quadratica associata alla conica è: A 7 Inoltre h coeff. della coeff. della 4, k 7 b Determiniamo gli autovalori di A: λ p A λ det λ 7 λ 7 λ Quindi A ha due autovalori: λ, λ 7 Calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: t E, Analogamente calcoliamo l autospazio E 7 risolvendo il sistema omogeneo associato ad A + 7I: E 7, t È chiaro che abbiamo eseguito calcoli sostanzialmente inutili. Infatti la ricerca degli autospazi corrisponde alla rotazione della conica. Il fatto che nell equazione manchi il 4

25 termine in, ovvero A è diagonale, indica che non è necessario effettuare la rotazione e che possiamo prendere come autovettori i vettori della base canonica, e,. La matrice di rotazione cercata è quindi la matrice identica R c La matrice A ha due autovalori discordi ovvero deta < ; si tratta di un iperbole. d Determiniamo il centro della conica risolvendo il sistema C, 4 7 Infine a : + t a : t. Consideriamo l equazione a La matrice della forma quadratica associata alla conica è: A 4 Inoltre h, k b Calcoliamo il polinomio caratteristico di A: p A λ det λ 4 λ λλ Quindi A ha due autovalori: λ, λ Calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A: 4 II I + t t E,

26 Analogamente calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: 4 I II + I + t t E, La matrice R di cambiamento di base rotazione è quindi la matrice ortogonale speciale R c La matrice A ha un autovalore nullo ovvero deta, quindi si tratta di una parabola. d Calcoliamo la direzione dell asse ricordando che questo è parallelo all autovettore relativo all autovalore nullo. Calcoliamo quindi l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A: 4 II I + t t E, Ora che abbiamo la direzione dell asse dobbiamo determinarne un punto per potere scrivere l equazione. Consideriamo una qualsiasi retta ortogonale all asse, cioè di direzione, : + t k per qualche k + t Se una tale retta interseca la parabola in due punti D e E, allora il punto medio M del segmento DE sarà un punto dell asse. Senza tenere k variabile assegniamo a k un valore a caso, la cosa più semplice è porre k. Se la retta trovata non interseca la parabola la cosa formalmente più corretta sarebbe cambiare valore. In realtà, pensando per un attimo di lavorare in C anziché in R possiamo comunque raggiungere il risultato, come vedremo tra poco L equazione di secondo grado ottenuta ha soluzioni in C, ma non in R:, ± 9 ± 6 A noi però interessa in realtà il punto medio M M, M del segmento DE e M D + E

27 Quindi indipendentemente dal, il valore di M viene comunque reale e corretto. In alternativa potevamo anche utilizzare le relazioni tra le radici e i coefficienti di un equazione di secondo grado. Infatti data l equazione a + b + c sappiamo che + b a. Quindi data l equazione 6 + otteniamo + 6 M + A questo punto possiamo calcolare M, ricordando che M appartiene al segmento DE, cioè alla retta. M M M 6 M, 6 Infine l asse è la retta per M parallela all autovettore relativo a λ, cioè di direzione, : t 6 + t + + Il vertice della parabola è dato dall intersezione dell asse con la parabola stessa: V 7 7, Esercizio 4.. Consideriamo l equazione e le matrici A e A associate A A, h, k Poiché A ha due righe uguali si ha I deta, quindi si tratta di una conica degenere. Inoltre I deta, quindi abbiamo una conica degenere non a centro. Per determinare esplicitamente l equazione delle due rette si può considerare l equazione della conica come un equazione di secondo grado nell incognita e considerare la come parametro: Risolvendo tale equazione con la formula per le equazioni di secondo grado otteniamo :, ± ± Si tratta quindi di due rette reali parallele: ± 9 oppure r : +, r : + + 7

28 . Consideriamo l equazione e le matrici associate: A 9 A, h 9 Notiamo che senza eseguire calcoli possiamo dedurre che I deta in quanto A ha due righe uguali, quindi si tratta di una conica degenere. Per determinare esplicitamente le equazioni delle rette risolviamo l equazione di secondo grado nell incognita con parametro o viceversa: , ± Quindi si tratta della retta + conica doppiamente degenere, infatti ranka.. Consideriamo l equazione + + e le matrici associate: A A, h Poiché I deta si tratta di una conica degenere. Inoltre I deta quindi si tratta di una conica degenere a centro. Per determinare esplicitamente l equazione delle due rette si può considerare l equazione della conica come un equazione di secondo grado nell incognita e considerare la come parametro o viceversa: Risolvendo tale equazione con la formula per le equazioni di secondo grado otteniamo :, ± 4 + Si tratta quindi di due rette reali incidenti: ± ± oppure + r : +, r : + Notiamo che le due rette si intersecano nel punto C, che corrisponde al centro della conica. Il punto C lo possiamo anche ricavare, come nei casi di coniche a centro non degeneri, risolvendo il sistema A T h. Esercizio. a Consideriamo l equazione Le matrici associate alla conica sono: 8 A 8, A 8 8

29 h 8, k 8 Poiché I deta è una conica non degenere. Determiniamo gli autovalori di A: λ p A λ det λ λ + 6 λ Quindi A ha due autovalori concordi λ 8 e λ, I >, dunque si tratta di un ellisse la cui forma canonica ha associata la matrice 8 B t Imponendo la condizione sull invariante I deta detb otteniamo l equazione: Infine la forma canonica cercata è: 6t t 8X + Y 4X + Y Per determinare le trasformazioni per passare da una forma all altra dobbiamo determinare il centro della conica, che indica la traslazione, e la matrice di rotazione R. Determiniamo il centro risolvendo il sistema 8 A h II II + I 6 4 C, Per determinare la matrice di rotazione dobbiamo trovare gli autovettori di A. Calcoliamo l autospazio E8 risolvendo il sistema omogeneo associato ad A 8I: I II I t t E8,, Analogamente calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: I t II + I t E, 9

30 La matrice di rotazione cercata è la matrice ortogonale di determinante che ha per colonne gli autovettori determinati normalizzati, quindi R R T Infine le trasformazioni sono X R Y + e X Y R T dove, è il centro C della conica. Quindi X Y + X + Y X + Y e la sua inversa X Y Notiamo che utilizzando il primo cambio di variabile, quello da, a X, Y, nell equazione iniziale si ottiene effettivamente la forma canonica che abbiamo determinato utilizzando gli invarianti. b Consideriamo l equazione Le matrici associate alla conica sono A , A 7 I deta, quindi è una conica non degenere., h 4 Determiniamo gli autovalori di A: λ p A λ det λ 7 λ 7 λ, k 7 Quindi A ha due autovalori discordi: λ e λ 7, I < e si tratta di un iperbole la cui forma canonica ha associata la matrice 7 B t Imponendo la condizione sull invariante I deta detb otteniamo t 6 7, per cui la forma canonica cercata è: 7X + Y X 7 Y Per determinare le trasformazioni che fanno passare da una forma all altra dobbiamo determinare il centro della conica, che indica la traslazione, e la matrice di rotazione R.

31 Determiniamo il centro della conica risolvendo il sistema A h: C, 4 7 Calcoliamo l autospazio E 7 risolvendo il sistema omogeneo associato ad A + 7I: t E 7,, Analogamente calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: t E, 8 La matrice di rotazione cercata è la matrice ortogonale di determinante che ha per colonne gli autovettori determinati normalizzati, quindi R R T Notiamo che in effetti abbiamo solo effettuato la rotazione che scambia e in quando la conica di partenza non presentava il termine, quindi era già ruotata con gli assi paralleli agli assi cartesiani. Infine le trasformazioni sono X Y Y X e la sua inversa X Y Notiamo che utilizzando il primo cambio di variabile, quello da, a X, Y nell equazione iniziale si ottiene effettivamente la forma canonica che abbiamo determinato utilizzando gli invarianti. c Consideriamo l equazione Le matrici associate alla conica sono: A 4, A 4, h Calcoliamo il polinomio caratteristico di A: λ p A λ det λλ 4 λ, k Quindi A ha due autovalori λ e λ, I, dunque si tratta di una parabola. Calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A I: 4 I II + I +

32 t t E, Analogamente calcoliamo l autospazio E risolvendo il sistema omogeneo associato ad A: 4 II I + t t E, Sappiamo che la forma canonica sarà del tipo p, cerchiamo quindi un equazione del tipo λ + t + t a cui è associata la matrice B t t Sfruttando l invariante I per cui deta detb otteniamo t 6 Infine possiamo la forma canonica cercata è: + 6 Dagli autovettori ricaviamo inoltre la matrice ortogonale speciale R di cambiamento di base: R R T Per determinare la traslazione dobbiamo trovare il vertice, dato dal punto di intersezione tra l asse e la parabola. Sappiamo che l asse è parallelo all autovettore relativo all autovalore nullo e che E,. Consideriamo una qualsiasi retta ortogonale all asse, cioè di direzione, : + t + t k per qualche k Se una tale retta interseca la parabola in due punti D e E, allora il punto medio M del segmento DE sarà un punto dell asse. Senza tenere k variabile assegniamo a k un valore a caso; la cosa più semplice è porre k. Se la retta trovata non interseca la parabola la cosa formalmente più corretta sarebbe cambiare valore. In realtà, pensando per un attimo di lavorare in C anziché in R possiamo comunque raggiungere il risultato, come vedremo tra poco Dalle relazione tra i coefficienti e le soluzioni di un equazione di secondo grado otteniamo M + b a 6

33 A questo punto possiamo calcolare M, ricordando che M appartiene al segmento DE, cioè alla retta. M M M 6 M, 6 Infine l asse è la retta per M parallela all autovettore relativo a λ, cioè di direzione, : t 6 + t + + Il vertice della parabola è dato dall intersezione dell asse con la parabola stessa: V 7 7, Infine le trasformazioni cercate sono X Y X Y X + Y e la sua inversa X Y In realtà con la parabola ci può essere un problema: effettuando il cambio di variabile indicato non otteniamo l equazione canonica determinata. Questo è dovuto al fatto che in effetti la rotazione corretta è: R R T data dalla composizione della rotazione R precedentemente trovata con la rotazione che manda X in X e Y in Y. Infatti la scelta della matrice di rotazione ortogonale speciale è sempre a meno del segno. La trasformazione corretta che permette di passare dall equazione iniziale alla forma canonica è: X 7 X + Y Y 7 X Y + 4 7

34 La matrice A associata alla conica è A Esercizio 6. k. Per stabilire se la conica è degenere calcoliamo il determinante di A : I deta k k + 4 Quindi C è degenere se k.. Posto k calcoliamo il determinante della sottomatrice A I deta det < Si tratta quindi di un iperbole.. Per determinare il centro di C risolviamo C, Per determinare gli assi dobbiamo inoltre individuare la rotazione da effettuare per passare alla forma canonica. Calcoliamo quindi gli autospazi di A. p A λ λ Quindi A ha due autovalori distinti: λ ±. Inoltre E,, E, I due autovettori indicano le direzioni degli assi della conica, quindi gli assi sono le due rette passanti per il centro C della conica e parallele a tali vettori: a : a : + t + t t + t t R t R Ricavando le equazioni in forma cartesiana otteniamo: a :, a : + Consideriamo le matrici associate a C: A k k k 4 Esercizio 7. A k k k 4 4

35 a I deta k + 4k + 8 per ogni valore di k, quindi non esistono coniche degeneri nella famiglia. b I deta k +, quindi Se k, I deta e C è una parabola. Se k, I deta < e C k è un iperbole. c Calcoliamo il centro C k delle coniche C k nel caso k : k k k 4 Scambiando prima e seconda riga e prima e seconda colonna otteniamo: 4 k 4 k k k 4II + k I k k k k+ k k+ Abbiamo: A Esercizio 8. k k 4 a Cominciamo a distinguere il caso degenere: quindi deta se k, cioè k deta 4 k k k 4 k k k Infine la conica è non degenere se k 4 e k. Inoltre: Quindi k deta k + 4k 4 Se < k < 4, si ha deta > e C è un ellisse. Se k < o k > 4, si ha deta < e C è un iperbole. Se k o k 4 si tratta di una parabola degenere. b Abbiamo già visto che la conica è degenere se k o k 4, inoltre:

36 Se k, C diventa + 4. Anche senza risolvere l equazione con l uso della formula otteniamo: 4 ± Quindi in questo caso la conica corrisponde alla coppia di rette parallele: r :, r : Se k 4, C diventa e in maniera del tutto analoga otteniamo: ± e la conica corrisponde alla coppia di rette parallele: r : +, r : + c Calcoliamo il centro delle coniche limitandoci a considerare k, 4, in quanto in questi casi abbiamo già visto che si tratta di una coppia di rette parallele e quindi prive di centro. Notiamo inoltre che nell equazione non compaiono i termini lineari, quindi il centro si trova già nell origine: C,. Per trovare gli assi delle coniche calcoliamo gli autovalori di A: k p A λ λ Quindi p A λ se λ ± k e gli autovalori sono λ k, λ k + 4 Calcoliamo l autospazio E k k k k k k k II + I Quindi se k si ha E k,. Tratteremo il caso k successivamente separatamente. Analogamente calcoliamo E k+4 : k k Quindi, sempre supponendo k, si ha E k+4 k k k k II I,. Infine per k, 4, gli assi delle coniche sono le rette a : a : t t t t + Notiamo che tali rette sono assi di simmetria anche per le coppie di rette che costituiscono la conica nei casi degeneri. Infine se k la conica è la circonferenza + 4 centrata nell origine che ha come assi di simmetria qualsiasi retta per l origine. In particolare quindi anche a e a sono suoi assi di simmetria. 6

37 Esercizio 9. Considerando le matrici A e A associate alla conica, abbiamo che A k k 4 a Cominciamo a distinguere il caso degenere: k I deta 4 quindi deta se k, cioè k k, k k Infine la conica è non degenere se k ±. Inoltre: k I deta k Quindi Se < k <, si ha I deta > e C è un ellisse. Se k < o k >, si ha I deta < e C è un iperbole. Se k ± si tratta di una parabola degenere. b Abbiamo già visto che la conica è degenere se k ±, inoltre: Se k, C diventa + 4. Anche senza utilizzare la formula per risolvere l equazione otteniamo: 4 ± Quindi in questo caso la conica corrisponde alla coppia di rette parallele: r :, r : Se k, C diventa e in maniera del tutto analoga otteniamo: ± e la conica corrisponde alla coppia di rette parallele: r : +, r : + c Abbiamo visto che C è un ellisse se < k <. Inoltre se per esempio dall equazione di C otteniamo ±, quindi i punti A, e B, appartengono ad ogni conica. Se una conica non degenere contiene un punto reale è necessariamente tutta reale. Quindi in particolare tutte le ellissi sono reali. La matrice A associata alla conica è A Esercizio. t t t t 7

38 a deta t, quindi la conica è degenere per t b deta 7t t, quindi: Se t < 7 o t >, deta <, quindi si tratta di un iperbole. Se 7 < t <, deta >, quindi si tratta di un ellisse. Se t 7, deta, quindi si tratta di una parabola. Se t otteniamo l equazione +, quindi si tratta di una coppia di rette parallele infatti deta : e. c Calcoliamo gli autovalori di A per t : p A λ det λ λ λ 9 Quindi gli autovalori di A sono λ ±, discordi ; infatti si tratta di un iperbole. La conica ha quindi equazione del tipo + k B k Imponendo la condizione I detb deta otteniamo 9 k, cioè k Quindi l equazione di C è Effettuando infine la rotazione che manda in e in otteniamo la forma canonica. C : 9 9 La matrice A associata alla conica è A Esercizio. t t + a deta t, quindi la conica è degenere per t b deta t + t, quindi: Se t < o t > +, deta >, quindi si tratta di un ellisse. Se < t < + con t, deta <, quindi si tratta di un iperbole. Se t ±, deta, quindi si tratta di una parabola. Se t otteniamo l equazione +, quindi si tratta di una coppia di rette incidenti infatti deta : e +. 8

39 c Calcoliamo gli autovalori di A per t : λ p A λ det λ λ Quindi gli autovalori di A sono λ ±, discordi ; infatti si tratta di un iperbole. La conica ha quindi equazione del tipo + k B k Imponendo la condizione I detb deta otteniamo k, quindi l equazione di C è C : a Il polinomio caratteristico di A è Esercizio. p A λ λ[ λ 4] λλ λ quindi gli autovalori di A sono λ,,. Calcoliamo gli autospazi: t E NM I : z E NM I : E NM + I : t z t t z t E,, E,, E,, b Gli autovettori trovati, essendo relativi a autovalori distinti, sono già ortogonali tra loro. È quindi sufficiente renderli di norma per ottenere la matrice diagonalizzante ortogonale di rotazione: R c deta, quindi si tratta di una conica non degenere. Inoltre l autovalore della matrice associata alla forma quadratica è λ doppio. Si tratta quindi di un ellisse e cerchiamo un equazione del tipo + + t a cui è associata la matrice B t Imponendo la condizione deta detb otteniamo t. Infine la forma canonica della conica ellisse reale è + + Notiamo che si tratta in realtà di una circonferenza centrata nell origine e di raggio. 9

40 a La matrice associata alla conica è A Esercizio. deta quindi si tratta di una conica non degenere. Inoltre deta det 6 quindi si tratta di una conica a centro. Per stabilire se si tratta di un ellisse o un iperbole calcoliamo gli autovalori di A: p A λ λ λ 4 λ 7λ + 6 quindi gli autovalori di A sono λ, 6. un ellisse. Poiché gli autovalori sono concordi si tratta di b Per trovare il centro risolviamo il sistema A h: II I 7 6 C 7 6, + c Calcoliamo gli autospazi di A: E NA I : 4 E6 NA 6I : t t t t 4 E6, E, Gli assi sono le rette passanti per il centro, di direzione parallela agli autovettori trovati: a : 7 6 t + t + 6, a : t + t Inoltre si tratta di un ellisse con autovalori λ, 6. La forma canonica cercata è quindi del tipo t, a cui è associata la matrice B 6 t Imponendo la condizione deta detb otteniamo t 6. Infine la forma canonica della conica ellisse reale è