Svolgimento di alcuni esercizi

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1 Svolgimnto di alcuni srcizi Si ha ch dal momnto ch / tnd a pr ch tnd a (la frazion formata da un numro, in qusto caso il numro, fratto una quantità ch tnd a ±, in qusto caso, tnd smpr a ) S facciamo tndr a, il trmin tnd a d il trmin tnd a (tutt l funzioni sponnziali y a, con a >, dcrscono a pr ch tnd a ) Dunqu ( ) Pr ch tnd a, anch tnd a Di consgunza in quanto ogni funzion sponnzial y a t, con < a <, tnd a quando l sponnt t tnd a 7 Quando tnd a, anch tnd a, quindi tnd a Di consgunza pr ch tnd a Dato ch l sponnt dll sponnzial tnd a ( la bas dll sponnt è maggior di ), si ha ch 9 È noto ch quando la bas a è maggior di, la funzion logaritmo y log a (t) tnd a quando l argomnto t tnd a Nl nostro caso, abbiamo ch quando tnd a, la funzion potnza tnd a, chiaramnt anch l argomnto dl logaritmo tnd a Di consgunza log ( ) Quando dobbiamo studiar il it pr ch tnd a ± di una funzion razional fratta P( ), convin mttr in vidnza il trmin in di grado massimo al numrator d al Q( ) dnominator In qusto caso, abbiamo

2 dato ch / / tndono a pr ch tnd a Lo svolgimnto è simil a qullo dll srcizio prcdnt Mttiamo in vidnza i trmini in di grado più alto al numrator al dnominator: L ultimo passaggio si giustifica nl modo sgunt: il numrator è il prodotto di du fattori: (ch tnd a ) (ch tnd a ); di consgunza il numrator tnd a D altra part il dnominator tnd a Quindi è com s avssimo un Ragionando ancora una volta com ngli srcizi prcdnti, mttiamo in vidnza il trmin in di grado più alto sia al numrator ch al dnominator Ottniamo: Ora ragioniamo su vrso cosa tndono numrator dnominator, pr ch tnd a Il numrator tnd a Mntr il dnominator tnd a Quindi è com s avssimo un possiamo dunqu concludr ch il risultato dl it è Mostriamo anch un altro mtodo pr risolvr qusto it (così com i prcdnti) Possiamo, pr smpio, usar la rgola di d Hôpital Quindi calcolando la drivata di numrator dnominator si ottin Ottniamo ancora una forma indtrminata Applichiamo quindi riptutamnt d Hôpital, ottnndo

3 Si tratta di una forma indtrminata La risoluzion è simil a qulla dgli srcizi prcdnti Proponiamo qui un altro mtodo risolutivo, basato sulla rgola di d l Hôpital (ch si può usar sclusivamnt nl caso di form indtrminat / o / ) Calcolando la drivata dl numrator dl dnominator si ottin: Abbiamo ottnuto quindi un it più smplic, ma ch produc ancora una forma indtrminata Applichiamo quindi nuovamnt la rgola di d l Hôpital ottnndo Si tratta di una forma indtrminata Essa si può risolvr nl modo sgunt (qusto è il procdimnto standard pr l form indtrminat in iti di funzioni polinomiali) Mttiamo in vidnza il trmin in di grado più alto: Il risultato dll ultimo it è chiaramnt, dato ch è il fattor tnd a mntr tnd a 9 Esaminiamo dapprima a cosa tndono numrator dnominator Quando tnd a -, - tnd a, quindi il numrator tnd a E chiaramnt il dnominator tnd a - Quindi siamo di front ad una forma indtrminata Tal forma indtrminata si può risolvr in du modi Il primo modo si basa sul confronto tra quanto vlocmnt vanno a il numrator quanto vlocmnt il dnominator In qusto caso, poiché è noto ch la funzion sponnzial tnd a più vlocmnt di qualunqu funzion potnza, si ha ch il numrator tnd a più vlocmnt dl dnominator Di consgunza (il sgno - è dovuto al fatto ch il numrator è positivo, tnd infatti a, mntr il dnominator ngativo, tnd infatti a - ) Un scondo mtodo è applicar la rgola d l Hôpital, calcolando la drivata di numrator dnominator Si ha: ( ) ( )

4 Anch in qusto caso abbiamo una forma indtrminata Si ha immdiatamnt ch ln ln dato ch, pr ch tnd a, la funzion y ln() tnd a mno vlocmnt di qualunqu funzion potnza (in particolar, dlla funzion y ) Al mdsimo risultato si sarbb giunti applicando la rgola di d l Hôpital: ln Anch qui prsntiamo du mtodi di risoluzion Il primo sfrutta la proprità di logaritmi scondo cui log a ( ) log a ( ) log a ( ) Si ha quindi: dato ch ( ) ( ) log log log log log log log log log log log, log tnd a prché log è un numro, mntr log tnd a pr ch tnd log a Il scondo mtodo è utilizzar la rgola di d l Hôpital, trattandosi di una forma indtrminata Quindi svolgndo la drivata dl numrator dl dnominator ottniamo log log log log Si tratta di una forma indtrminata /, ch può ssr risolta mdiant la rgola d l Hôpital Indichiamo qui un mtodo altrnativo Utilizzando l proprità di logaritmi si ha ch ln ( ) ln( ) ln( ) ln ln ln Ora, notiamo ch prché il numrator è un numro, mntr il dnominator tnd a ln Inoltr anch, prché ln() tnd a mno vlocmnt di Quindi ntrambi gli addndi tndono a zro il risultato dl it è, appunto, S sostituiamo a un numro molto smpr più vicino a (ma ch si mantnga smpr maggior di, dato ch ) abbiamo ch il numrator tnd a - (o, mglio, - ), mntr il dnominator tnd a Di consgunza, poiché stiamo divdndo un numro ngativo (-) pr un numro via via smpr più piccolo ma positivo ( ), il risultato è -

5 Si faccia molta attnzion al fatto ch tal it non potva ssr risolto con la rgola d l Hopital, dal momnto ch ssa può ssr usata solo con l form indtrminat / / Il it in qustion prsnta una forma indtrminata / Pr rimuovr qusta forma indtrminata possiamo razionalizzar, cioè moltiplicar sia il numrator ch il dnominator pr (qusto procdimnto si usa spsso quando si ha a ch far con iti ch coinvolgono radici quadrat) Si ha dunqu: ( ) Quindi il it di partnza è stato trasformato in qullo molto più smplic Ora, con rifrimnto a qust ultimo it, poiché quando tnd a il dnominator tnd a, si ha subito ch il risultato dl it è Dobbiamo solo dcidr s si tratta di un oppur di un La risposta è data, com smpr, considrando i sgni dl numrator dl dnominator: il numrator è il numro quindi è positivo, com pur il dnominator prché radic quadrata di un numro Quindi il risultato è Anch qusto it configura una forma indtrminata / Un tal tipo di it (rapporto tra du polinomi) lo abbiamo già incontrato in prcdnza, nl caso in cui tndva a In qull occasion si mttva in vidnza, al numrator d al dnominator, la di grado massimo Quando invc si dv mttr in vidnza la di grado più basso: ( ) ( ) Allo stsso risultato si potva prvnir applicando du volt la rgola d l Hôpital: Quando tnd a, mntr Tnuto conto ch sia numrator ch dnominator sono quantità positiv, quindi il risultato dl it è 8 Quando tnd a, vidntmnt sia il numrator ch il dnominator tndono a Si tratta quindi di una forma indtrminata / Possiamo quindi applicar la rgola di d l Hôpital: Allo stsso risultato si potva giungr moltiplicando numrator dnominator pr :

6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 Anch qusto it prsnta una forma indtrminata / Ci sono divrsi modi pr risolvrlo Si può pr smpio usar la rgola di d l Hôpital Oppur si può mttr in vidnza, a numrator dnominator, la di grado più basso: ( ) Ora, quando, il numrator tnd vidntmnt ad Di consgunza il risultato è sicuramnt, con il solo dubbio da scioglir s si tratti di oppur di Dato sia il numrator ch il dnominator sono quantità positiv (prché tnd a da dstra), il risultato è Mttiamo in vidnza a numrator dnominator i trmini in di grado più basso Si ha dunqu: ( ) dato ch il numrator tnd a mntr in dnominator tnd ad un numro ( ) divrso da Sostitundo alla nl numrator nl dnominator ottniamo / Notiamo ch quindi è radic dll quazion di scondo grado E infatti, usando la formula risolutiva pr l quazioni di scondo grado, troviamo ch tal quazion ammtt com soluzioni Quindi ( )( ) possiamo riscrivr il it com ( )( ) ( )

7 Mostriamo ch al mdsimo risultato si potva prvnir anch applicando la rgola d l Hôpital (ch possiamo applicar, trattandosi di una forma indtrminata /) Calcolando la drivata di numrator dnominator si ha: Quando tnd a il dnominator tnd anch sso a, mntr il numrator cos( ) cos() è una quantità ch oscilla tra Di consgunza, (il rapporto tra un numro, comprso tra, diviso una quantità via via smpr più grand tnd ad ssr via via smpr più piccolo, cioè tnd a )