b) Relativamente alla variabile PREZZO, fornire una misura della variabilità della distribuzione attraverso

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1 ESERCIZIO Co rfermeto a dvers modell d auto del medesmo segmeto d mercato e cldrata s soo rlevat dat sul prezzo d lsto mglaa d euro (X), la veloctà massma dcharata km/h (Y) ed l peso kg (Z). I dat soo rportat ella tabella successva Utà Auto X Y Z A Opel Vectra SW 1.8 1V Cosmo 5, B Nssa Prmera SW 1.8 Aceta 3, C Laca Lybra SW 1.8 VVT LS 4, D Fat Stlo MW 1.8 Dyamc 0, E Peugeot 407 SW 1.8 1V Cofort, F Volvo V Ketc 5, [fote: KataWeb Motor] a) Relatvamete alla varable PREZZO, calcolare l valore medo o valor med che s rtegoo opportu relazoe al tpo d carattere e commetare rsultat. b) Relatvamete alla varable PREZZO, forre ua msura della varabltà della dstrbuzoe attraverso ) u dce assoluto ) u dce robusto ) gl dc relatv de due dc assolut calcolat a put precedet. Commetare rsultat otteut. c) Voledo spegare prezz d lsto delle auto, sceglere u opportua varable esplcatva. Motvare la rsposta d) Calcolare parametr della fuzoe terpolate e commetare rsultat. 1

2 e) Rappresetare grafcamete la retta d regressoe e llustrare le formazo ottebl dal grafco. f) Determare la botà d adattameto della fuzoe terpolate. Commetare l rsultato.

3 SVOLGIMENTO a) Trattados d u carattere quattatvo, è possble calcolare tutt valor med d poszoe. Moda No esste ua moda ella dstrbuzoe cosderata, quato essu valore compare pù spesso degl altr. Medaa Trattados d ua dstrbuzoe co par, la medaa cocderà co la semsomma de valor che occupao le poszo / e / +1 ( questo caso s avrà che / = 3, / +1 = 4). Dopo aver ordato valor seso o decrescete, s detfcao valor che occupao l terzo e l quarto posto 0,371;,851; 3,401; 4,971; 5,051; 5,151 I valor che occupao l terzo e l quarto posto soo rspettvamete 3,401 e 4,971, per cu s avrà che Me = (3, ,971)/ = 4,18 Tale valore dca che l 50% de prezz delle auto ha u valore maggore o uguale a 4,18 mglaa d euro e l altro 50% ha u valore more o uguale a 4,18 mglaa d euro. 3

4 Meda artmetca Per calcolare l prezzo medo s utlzza la meda artmetca. S avrà qud che 5,051 3,401 4,971 0,371,851 5,151 1 x 3,33 Il prezzo medo delle macche cosderate è d 333 euro. b) ) Cooscedo gà l valore della meda artmetca, quale dce assoluto d varabltà utlzzo lo scarto quadratco medo, che ottego come 1 x 4

5 I base alla formula precedete, qud, occorre calcolare valor degl scart dalla meda al quadrato. I rsultat de calcol soo rportat ella tabella successva. Prezzo (x-μ) 5,051,011 3,401 0,05 4,971 1,790 0,371 10,41,851 0,11 5,151, ,79 17,407 Sosttuedo valor ella formula s ottee che 1 x 17,407,901 1,703 Il rsultato otteuto dca che l prezzo delle auto cosderate s scosta meda dalla meda artmetca d 1,703 mglaa d euro. 5

6 Poché l calcolo degl scart, spece preseza d u umero elevato d osservazo, può rvelars laboroso, è possble calcolare lo scarto quadratco medo co la formula alteratva, base alla quale s ottee l valore rchesto come radce quadrata della dffereza tra l quadrato della meda quadratca e l quadrato della meda artmetca. Calcolamo la meda quadratca come Q 1 x Che el ostro caso dveta Q 5,051 3,401 4,971 0,371,851 5,151 Q 7, ,07 3, ,978 5,18 3,573 Q 338,430 51,405 3,94

7 Cooscedo questo valore, ho a dsposzoe tutt gl elemet che m servoo per calcolare lo scarto quadratco medo come Q Avrò qud che 3,94 3,33 51, ,519,88 1,99 La leve dffereza tra valor calcolat co due metod è da attrburs all approssmazoe. ) Dato che la meda artmetca è fortemete fluezata da evetual valor aomal preset ella dstrbuzoe, ache per le msure d varabltà che s rfao ad essa bsoga teer presete questo aspetto. Per ovvare al problema, può essere opportuo calcolare u dce d varabltà robusto quale l MAD (ovvero la medaa degl scostamet dalla medaa). Per otteerlo s applca la formula MAD Me x Me 7

8 Poché l valore della medaa è gà oto (Me = 4,18), è suffcete calcolare l valore degl scart dalla medaa. I rsultat de calcol soo rportat ella tabella successva. Prezzo x-me 5,051 0,85 3,401 0,785 4,971 0,785 0,371 3,815,851 1,335 5,151 0,95 Dovedo calcolare la medaa degl scart, l rordo seso o decrescete otteedo la seguete dstrbuzoe 0,785; 0,785; 0,85; 0,95; 1,335; 3,185 Poché è par, la medaa corrspode alla semsomma de due valor cetral della dstrbuzoe: MAD = (0,85 + 0,95)/ = 0,915 ) Gl dc d varabltà appea calcolat (scarto quadratco medo e MAD), dett assolut, soo espress ella stessa utà d msura del feomeo dagato e rsetoo dell orde d gradezza del feomeo stesso. Pertato, è opportuo relatvzzare tal dc rapportadol al propro massmo oppure al valore medo d rfermeto. 8

9 Scarto quadratco medo Lo scarto quadratco medo vee relatvzzato rapporto al propro massmo, ove l massmo è calcolato come max x x m max I questo caso avremo che max 3,33 0,371 5,151 3,33 3,1,518 4,95, 5 Per cu l valore dello scarto quadratco medo relatvo è max 1,99,5 0,73 Il valore otteuto d 0,73 dca che la varabltà e prezz delle auto cosderate è l 7,3% della varabltà massma possble. 9

10 MAD Per otteere l valore del MAD relatvo è suffcete rapportare l MAD alla medaa valore assoluto. I questo caso s ha che MAD' MAD Me 0,915 4,18 0,038 su dat della dstrbuzoe d osserva ua varabltà medaa toro alla medaa del 3,8%. c) Per sceglere quale tra veloctà massma dcharata e peso sa preferble quale varable esplcatva del prezzo delle automobl, occorre cofrotare l valore del coeffcete d correlazoe delle due coppe d varabl. Per calcolare l coeffcete d correlazoe leare s utlzza la formula r XY COV ( X, Y) ( X ) ( Y) 10

11 La covaraza la calcolamo fuzoe de dat orgar come COV ( X, Y) 1 x y ( X ) ( Y) Cooscamo gà, da u eserczo precedete, l valore del prezzo medo delle automobl: μ(y) = μprezzo = 3,33. Per rsolvere la formula della covaraza occorre calcolare la meda della veloctà massma e l prodotto de valor d questa per corrspodet valor del prezzo. Aalogo calcolo va fatto ache per l peso. I rsultat de calcol soo rportat ella tabella successva. Utà Auto Prezzo Vel. Max Peso Prezzo*Vel. Max Prezzo*Peso A Opel Vectra SW 1.8 1V Cosmo 5, , ,4 B Nssa Prmera SW 1.8 Aceta 3, , ,543 C Laca Lybra SW 1.8 VVT LS 4, , ,14 D Fat Stlo MW 1.8 Dyamc 0, , 813,835 E Peugeot 407 SW 1.8 1V Cofort, , ,05 F Volvo V Ketc 5, , 39,3 Tot 141, , ,43 11

12 vel x 197,833 peso 83 1 x 1370,5 Per cu COV(Prezzo, Veloctà) 8055,457 COV( X, Y) 3,33197, , ,387 0,5 COV(Prezzo, Peso) ,43 COV( X, Y) 3,331370,5 3353, ,0 35,95 Per calcolare l coeffcete d correlazoe occorre cooscere ache lo scarto quadratco medo delle varabl. Cooscamo gà da u eserczo precedete l valore dello scarto quadratco medo del prezzo delle auto: σprezzo = 1,99 1

13 Calcolo qud lo scarto quadratco medo delle altre due varabl. Cooscedo gà l valore delle mede artmetche, basterà calcolare la rspettve mede quadratche e po procedere al calcolo dello scarto quadratco medo. Prezzo, Veloctà Q , , , ,89 19,937 4,45 Per cu r COV( prezzo, veloctà ) 0,5 ( prezzo) ( veloctà ) 1,99 4,45 0,5 7,58 pezzo, veloctà 0,08 13

14 14 Aalogamete Prezzo, Peso Per cu 49, , , , , , Q 0,45 84,0 35,95 49,795 1,99 35,95 ) ( ) ( ), (, veloctà prezzo peso prezzo COV r veloctà prezzo

15 I rsultat otteut evdezao la preseza s ua scarsa relazoe leare versa tra prezzo e peso (r=-0,45), metre prezzo e veloctà massma soo pratcamete correlat (r=0,08). Voledo spegare l prezzo relazoe a ua delle altre due varabl rlevate, qud, rsulta preferble sceglere l peso quale varable esplcatva. d) Per calcolare parametr della retta d regressoe, cooscedo gà tutt dat che servoo, utlzzo le formule alteratve ( Y) ( X ) COV ( X, Y) ( X ) Calcolo aztutto β, otteedo che 35,95 35,95 49, ,54 0,014 Da cu 3,33 ( 0,014) 1370,5 3,33 19,187 4,8 15

16 Per cu la forma che assume la retta d regressoe questo caso è y = 4,8-0,014x α = 4,8 è l valore dell tercetta, ovvero l prezzo teorco caso d peso ullo ( questo caso, qud, ha u valore solo geometrco). β =,8 è l coeffcete agolare, o coeffcete d regressoe, e dca che ad u aumeto del peso d u utà corrspode u calo medo del prezzo d 14 euro crca. e) Il dagramma d dspersoe è l seguete L aals del grafco coferma la relazoe versa tra le varabl. Esste, tuttava, u certo grado d dspersoe toro alla retta, partcolare per l osservazoe D, caratterzzata da uo scostameto molto elevato tra valore teorco e valore osservato della varable dpedete. 1

17 f) Per msurare la botà d adattameto s utlzza l coeffcete d determazoe R. S msura come R DEV ( Y') DEV ( Y) 1 DEV ( E) DEV ( Y) Cooscedo gà l valore del coeffcete d correlazoe, tuttava, è possble otteere l coeffcete d determazoe elevado al quadrato l coeffcete d correlazoe. S avrà duque che R r xy ( 0,45) 0,180 L adattameto della retta o è soddsfacete. Essa, fatt, spega solo l 18% della varabltà totale de prezz delle autovetture, metre l restate 8% d varabltà rmae o spegata. 17