Tipi di variabili. Indici di tendenza centrale e di dispersione

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1 Tipi di variabili. Indici di tendenza centrale e di dispersione L. Boni Variabile casuale In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable) può essere pensata come il risultato numerico di una misurazione quando questo non è prevedibile con certezza (ossia non è deterministico) Variabile casuale più semplicemente: 1

2 Tipi di variabile VARIABILE CASUALE CONTINUA Può assumere un qualsiasi valore, in un qualsiasi intervallo del campo dei numeri reali [peso, Kg: ] [PAS, mmhg: ] Tipi di variabile VARIABILE CASUALE DISCRETA Può assumere solo un numero finito di valori, per lo più enumerabili [numero di figli: 0, 1, 2, 3, ] [numero sigarette/die: 0, 1,, 10,, 20, ] [numero globuli bianchi:, 3.500,, 5.200] [classe NYHA: 1, 2, 3, 4] [etnia: caucasica, cinese, afro-americana, ] Tipi di variabile VARIABILE BINARIA O BERNOULLIANA [sesso: maschio, femmina] [risposta: successo, fallimento] [stato in vita: vivo, deceduto]?? durata della sopravvivenza?? 2

3 Trasformazioni La variabilità Tabella di frequenza 3

4 Istogramma di frequenza Istogramma di frequenza relativa Frequenza relativa e probabilità In una lunga serie di ripetizioni dello stesso esperimento, in condizioni appropriate, la frequenza relativa con la quale si verificano i diversi possibili eventi tende a stabilizzarsi su valori fissi Nell approccio frequentista, il termine probabilità viene interpretato come il valore limite della frequenza relativa al tendere di n (=numero delle ripetizioni) all infinito 4

5 Frequenza relativa e probabilità Tabella di frequenza Istogramma di frequenza 5

6 smoothing Popolazione Si definisce popolazione, o universo, ogni insieme finito o infinito di unità, le quali non sono necessariamente organismi viventi Un universo statistico deve essere definito nei contenuti, nello spazio e nel tempo Come riassumere i dati 6

7 Come riassumere i dati Come riassumere i dati PARAMETRO Misura riassuntiva della distribuzione della popolazione INDICE DI TENDENZA CENTRALE INDICE DI DISPERSIONE Media Per indicare il baricentro di una distribuzione rispetto alla sua scala di misurazione, utilizziamo la media 7

8 Media Varianza e deviazione standard Valori equidistanti dalla media dovrebbero contribuire in egual misura al nostro indice di dispersione indipendentemente dal fatto di essere superiori o inferiori alla media stessa, anche se nel primo caso lo scostamento è positivo e nel secondo caso è negativo Varianza e deviazione standard 8

9 Varianza e deviazione standard 1 = 68% 2 = 95% Distribuzione normale 9

10 Distribuzione normale Esiste un numero infinito di distribuzioni normali diverse fra loro Distribuzione normale E possibile ricondurre tutte queste diverse distribuzioni ad un unica distribuzione standard? Sì, attraverso la trasformazione normale Deviata normale standardizzata Se la variabile x si distribuisce normalmente, allora la nuova variabile z Z = (x - ) / avrà una distribuzione normale con media pari a 0 e deviazione standard uguale a 1 ( = 0 e = 1) Z è detta deviata normale standardizzata 10

11 Deviata normale standardizzata Deviata normale standardizzata Esistono delle tavole che indicano la probabilità che z sia maggiore o uguale ad un valore qualsiasi Esempio Qual è la probabilità che il peso sia 82 kg? z = (82 75) / 5 = 1.4 P(z 1.4) = 0.808, ovvero 8.1% 11

12 Esempio Qual è la probabilità che il peso sia 75 kg? z = (75 75) / 5 = 0 P(z 0) = 0.50, ovvero 50% Distribuzioni asimmetriche Mediana La mediana è quel valore rispetto al quale metà dei valori della popolazione risultano superiori e l altra metà inferiori 12

13 Mediana Se il numero N di misurazioni è dispari, la mediana corrisponde alla misurazione con rango (N+1)/2 Se il numero N di misurazioni è pari, la mediana corrisponde alla media delle due misurazioni con rango N/2 e (N/2)+1, rispettivamente Percentili Percentili della distribuzione normale 13

14 Media e mediana Media e mediana Moda La moda è il valore che ricorre con maggiore frequenza nella popolazione 14

15 Moda Il campione Data una popolazione composta da N unità statistiche, un campione è rappresentato dall insieme delle n unità selezionate con procedura casuale tra le N che compongono la popolazione allo scopo di rappresentarla quanto a caratteri, o variabili, oggetto dello studio Il campione L aggregato rappresentato dal campione è la popolazione in studio Le unità che appartengono al campione sono dette unità campionarie 15

16 Processo inferenziale Statistica: misura riassuntiva della distribuzione calcolata a partire dalle unità campionarie mediante la quale viene stimato il parametro corrispondente della popolazione? STATISTICA PARAMETRO Analisi statistica Stime campionarie Indici di tendenza centrale 16

17 Stime campionarie Indici di dispersione Quanto sono attendibili le stime? Campioni casuali diversi, selezionati dalla stessa popolazione, forniranno stime differenti della vera media e della vera deviazione standard Per quantificare in termini probabilistici l accuratezza di queste stime, possiamo calcolare i loro errori standard E possibile calcolare un errore standard per ogni parametro Quanto sono attendibili le stime? = 40 cm = 5 cm x = 41.5 cm s = 3.8 cm x = 36 cm s = 5 cm x = 40 cm s = 5 cm 17

18 Quanto sono attendibili le stime? Estraendo sempre più campioni casuali, di 10 membri ciascuno, da un unica popolazione, si ottiene la popolazione di tutte le possibili medie campionarie Quanto sono attendibili le stime? L insieme delle medie di 25 campioni casuali, ognuno composto da 10 membri, presenta una distribuzione approssimativamente a campana, simile alla distribuzione gaussiana x = 40 cm s = 1.6 cm Teorema centrale del limite La distribuzione delle medie campionarie è approssimativamente normale all aumentare di n, indipendentemente dalla distribuzione dei valori nella popolazione di origine, dalla quale i campioni sono stati tratti Il valore medio dell insieme di tutte le possibili medie campionarie è uguale alla media della popolazione di origine 18

19 Teorema centrale del limite La deviazione standard dell insieme di tutte le possibili medie campionarie di campioni di una data numerosità, definita errore standard della media, è funzione sia della deviazione standard della popolazione, sia della numerosità del campione Teorema centrale del limite Quanto sono attendibili le stime? L errore standard della media diminuisce al crescere delle dimensioni del campione Il grado di certezza col quale possiamo stimare la media cresce al crescere delle dimensioni del campione 19

20 Quanto sono attendibili le stime? L errore standard della media cresce al crescere della deviazione standard della popolazione Quanto maggiore sarà la variabilità nella popolazione d origine, tanto maggiore sarà la variabilità che si manifesterà nei possibili valori delle medie campionarie Quanto sono attendibili le stime? La miglior stima di x che possiamo ottenere da un singolo campione è Quanto sono attendibili le stime? Poiché i possibili valori della media campionaria tendono a seguire una distribuzione gaussiana, nell intervallo definito dalla media campionaria più o meno due volte il suo errore standard sarà contenuto con probabilità del 95% il valore (sconosciuto) della media della popolazione d origine 20

21 Intervallo di confidenza Questa espressione ci permette di stimare l intervallo di confidenza del parametro della popolazione L intervallo di confidenza è quell intervallo che con una definita probabilità (in questo caso 95%) comprenderebbe il parametro della popolazione se lo stimatore venisse utilizzato in maniera ripetuta un gran numero di volte Quanto sono attendibili le stime? Quando calcoliamo un intervallo di confidenza al 95%: a) la lunghezza dell'intervallo copre il 95% dell'area di distribuzione delle medie campionarie quando è centrato su, e b) con una probabilità del 95% include la media della popolazione Intervallo di confidenza 21

22 In sintesi Abbiamo identificato i diversi tipi di variabili che possono essere oggetto di analisi Abbiamo visto quali sono i parametri che ci permettono, da un punto di vista quantitativo, di descrivere in maniera riassuntiva il comportamento di una determinata popolazione Abbiamo identificato nella distribuzione normale un modello di riferimento molto utile quando vengono analizzati dati sul continuo Abbiamo visto come, attraverso il processo inferenziale, sia possibile ottenere informazioni circa una popolazione, a partire da un insieme di osservazioni campionarie, e come sia possibile quantificare l attendibilità delle stime 22