Elementi di Euclide. Libro I. Definizioni. 1. Un punto è ciò che non ha parti. 2. Una linea è lunghezza senza larghezza.

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1 Elementi di Euclide Libro I Definizioni 1. Un punto è ciò che non ha parti. 2. Una linea è lunghezza senza larghezza. 3. Gli estremi di una linea sono punti. 4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti di essa. 5. Una superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza. 6. Gli estremi di una superficie sono linee. 7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa. 8. Un angolo piano è l inclusione reciproca di due linee in un piano le quali si incontrino e non giacciano in linea retta. 9. Quando le linee che comprendono l angolo sono rette, l angolo è detto rettilineo. 10. Quando una retta innalzata da un altra retta forma con essa angoli adiacenti tra di loro uguali, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata. 11. Dicesi ottuso l angolo maggiore di un angolo retto. 12. Dicesi acuto l angolo minore di un angolo retto. 13. Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa. 14. Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini. 15. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura siano uguali tra loro.

2 16. E quel punto si chiama centro del cerchio. 17. Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, e tale linea retta taglia anche il cerchio a metà. 18. Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza tagliata da esso, e centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio. 19. Diconsi rettilinee le figure delimitate da rette, essendo figure trilatere quelle delimitate da tre rette, qudrilatere quelle delimitate da quattro rette, e multilatere quelle delimitate da più di quattro rette. 20. Delle figure trilatere dicesi triangolo equilatero quella che ha i tre lati uguali, isoscele quella che ha due lati uguali e scaleno quella che ha i tre lati disuguali. 21. Ancora delle figure trilatere, un triangolo rettangolo è quella che ha un angolo retto, un triangolo ottusangolo quella cha ha un angolo ottuso, un triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti. 22. Delle figure quadrilatere un quadrato è quella che ha sia i lati uguali che gli angoli retti; un oblungo (rettangolo) è quella che ha gli angoli retti ma non è equilatera; un rombo è quella che è equilatera ma non ha gli angoli retti; un romboide è quella che ha gli angoli e i lati opposti tra di loro uguali, ma non è equilatera né ha gli angoli retti. I quadrilateri diversi da questi sono chiamati trapezi. 23. Parallele sono quelle linee rette giacenti nello stesso piano che, prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti. Postulati 1. E possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. 2. E possibile prolungare illimitatamente una linea retta finita in linea retta. 3. E possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e raggio. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro. 5. Se, in un piano, una retta interseca altre due rette, formando con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, se indefinitamente prolungate, si incontrano dalla parte detta.

3 Nozioni comuni 1. Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro. 2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora i totali sono uguali. 3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora i resti sono uguali. 4. Cose che si possono sovrapporre una con l altra sono uguali. 5. Il tutto è maggiore della parte. Proposizioni 1. E possibile costruire un triangolo equilatero su una data linea retta. 2. E possibile costruire una linea retta uguale ad una data linea retta, con un estremo in un punto dato. 3. E possibile tagliare dalla più grande di due linee rette disuguali una linea retta uguale alla più piccola. 4. Se due triangoli hanno due lati uguali rispettivamente a due lati, e hanno uguali gli angoli contenuti tra le due linee rette uguali, allora hanno anche la base uguale alla base, il primo triangolo uguaglia l altro triangolo, e gli angoli rimanenti, cioè quelli opposti ai lati uguali, sono rispettivamente uguali. 5. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali tra loro e se le linee rette uguali sono ulteriormente prolungate, allora gli angoli sotto la base sono uguali. 6. Se in triangolo due angoli sono tra di loro uguali, allora i lati opposti agli angoli uguali sono anche tra di loro uguali. 7. Date due linee rette costruite a partire dagli estremi di una linea retta e che si incontrino in un punto, non è possibile costruire dagli stessi estremi della stessa linea retta, e dalla stessa parte, altre due linee rette che si incontrino in un diverso punto e che siano uguali alle due precedenti, più precisamente ciascuna uguale a quella tracciata dallo stesso estremo. 8. Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, e hanno anche la base uguale alla base, allora hanno uguali anche gli angoli che sono compresi tra le linee rette uguali. 9. E possibile bisecare un dato angolo rettilineo. 10. E possibile bisecare una data linea retta finita.

4 11. E possibile costruire una linea retta formante angoli retti con una data linea retta, a partire da un punto di questa. 12. E possibile costruire una linea retta perpendicolare ad una data linea retta infinita, a partire da un punto dato non su di essa. 13. Se una linea retta è condotta a partire da una data linea retta, allora fa o due angoli retti, o due angoli la cui somma è due angoli retti. 14. Se, data una linea retta e un punto su di essa, due linee rette condotte da quel punto e non giacenti dalla stessa parte, formano angoli adiacenti la cui somma è due retti, allora le due linee rette stanno su una stessa linea retta. 15. Se due linee rette si tagliano una con l altra, allora formano angoli al vertice uguali tra di loro. Corollario: Se due linee rette si tagliano una con l altra, allora formano angoli al vertice uguali a quattro angoli retti. 16. In qualsiasi triangolo, se uno dei lati è prolungato, allora l angolo esterno è più grande degli angoli interni ed opposti. 17. In ogni triangolo la somma di due angoli qualsiasi è minore di due angoli retti. 18. In ogni triangolo l angolo opposto a lato maggiore è maggiore. 19. In ogni triangolo il lato opposto ad angolo maggiore è maggiore. 20. In ogni triangolo la somma di due lati qualunque è maggiore del rimanente. 21. Se dagli estremi di uno dei lati di un triangolo si costruiscono due linee rette che si incontrano dentro il triangolo, allora la somma delle due linee rette costruite è minore della somma degli altri due lati del triangolo, ma le linee costruite racchiudono un angolo che è più grande dell angolo racchiuso dai due lati rimanenti. 22. Per costruire un triangolo su tre linee rette uguali a tre linee rette date è necessario che la somma di due qualunque delle linee rette sia più grande della linea rimanente. 23. E possibile costruire un angolo rettilineo, uguale ad un dato angolo rettilineo, su una data linea retta e con vertice su di essa. 24. Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, ma hanno uno degli angoli contenuti dalle linee rette uguali più grande dell altro, hanno anche la base più grande della base. 25. Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, ma hanno la base più grande della base, hanno anche uno degli angoli racchiusi dalle due linee rette uguali più grande dell altro.

5 26. Se due triangoli hanno due angoli uguali a due angoli rispettivamente, e un lato uguale a un lato, precisamente o il lato che congiunge gli angoli uguali, o quello opposto a uno degli angoli uguali, allora i rimanenti lati e il rimanente lato sono uguali. 27. Se una linea retta che interseca due linee rette individua angoli alterni uguali, allora le linee rette sono parallele tra di loro. 28. Se una linea retta che interseca due linee rette individua l angolo esterno uguale all angolo interno ed opposto sullo stesso lato, o la somma degli angoli interni sullo stesso lato uguale a due angoli retti, allora le linee rette sono tra di loro parallele. 29. Una linea retta che interseca due linee rette parallele individua angoli alterni uguali tra di loro, l angolo esterno uguale all angolo interno ed opposto, e la somma degli angoli interni sullo stesso lato uguale a due angoli retti. 30. Linee rette parallele alla stessa linea retta sono anche parallele tra di loro. 31. E possibile costruire una linea retta per un dato punto e parallela ad una data linea retta. 32. In ogni triangolo, se uno dei lati è prolungato, allora l angolo esterno uguaglia la somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due angoli retti. 33. Linee rette che congiungono gli estremi di linee rette uguali e parallele, sono anch esse uguali e parallele. 34. Nei parallelogrammi i lati e gli angoli opposti sono uguali tra di loro, e il diametro biseca la regione. 35. Parallelogrammi che hanno la stessa base e si trovano tra le stesse parallele sono tra di loro uguali. 36. Parallelogrammi che hanno basi uguali e si trovano tra le stesse parallele sono uguali tra di loro. 37. Triangoli che hanno la stessa base e si trovano fra le stesse parallele sono uguali tra di loro. 38. Triangoli che hanno basi uguali e si trovano fra le stesse parallele sono uguali tra di loro. 39. Triangoli uguali che hanno la stessa base e si trovano dalla stessa parte si trovano anche fra le stesse parallele. 40. Triangoli uguali che hanno basi uguali e si trovano dalla stessa parte si trovano anche fra le stesse parallele.

6 41. Se un parallelogramma ha la stessa base di un triangolo e si trova fra le stesse parallele, allora il parallelogramma è doppio del triangolo. 42. E possibile costruire un parallelogramma uguale ad un dato triangolo in un dato angolo rettilineo. 43. In un parallelogramma i complementi dei parallelogrammi sul diametro sono uguali tra di loro. 44. E possibile costruire un parallelogramma uguale ad un dato triangolo, con una data linea retta e un dato angolo rettilineo. 45. E possibile costruire un parallelogramma uguale ad una data figura rettilinea, con un dato angolo rettilineo. 46. E possibile costruire un quadrato su una data linea retta. 47. In triangoli rettangoli il quadrato sul lato opposto all angolo retto uguaglia la somma dei quadrati sui lati contenenti l angolo retto. 48. Se in triangolo il quadrato di uno dei lati uguaglia la somma dei quadrati degli altri due lati del triangolo, allora l angolo compreso tra gli altri due lati è retto.

7 Libro II Definizioni 1. Ogni parallelogramma rettangolo si dice esser compreso dalle due rette che comprendono l angolo retto. 2. Si chiami gnomone, in ogni parallelogramma, uno qualsiasi dei parallelogrammi posti intorno ad una sua diagonale insieme coi due complementi. Proposizioni 1. Se si danno due rette e si divide una di esse in quante parti si voglia, il rettangolo compreso dalle due rette è uguale alla somma dei rettangoli compresi dalla retta indivisa e da ciascuna delle parti dell altra. 2. Se si divide a caso una linea retta, la somma dei rettangoli compresi da tutta la retta e da ciascuna delle sue parti è uguale al quadrato di tutta la retta. 3. Se si divide a caso una linea retta, il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti è uguale alla somma del rettangolo compreso dalle parti e del quadrato della parte predetta. 4. Se si divide a caso una linea retta, il quadrato di tutta la retta è uguale alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo compreso dalle parti stesse. 5. Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta, insieme col quadrato della parte compresa fra i punti di divisione, è uguale al quadrato della metà della retta 6. Se si divide a metà una linea retta, ed un altra le è aggiunta per diritto, il rettangolo compreso da tutta la prima retta più quella aggiunta e dalla retta aggiunta, insieme col quadrato della metà della prima, è uguale al quadrato della retta composta dalla metà della prima e dalla retta aggiunta. 7. Se si divide a caso una linea retta, il quadrato di tutta la retta e quello di una delle parti, presi ambedue insieme, sono uguali al doppio del rettangolo compreso da tutta la retta e dalla detta parte, insieme col quadrato della parte rimanente. 8. Se si divide a caso una linea retta, il quadruplo del rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti, insieme col quadrato della parte rimanente, è uguale al quadrato descritto, come su una sola linea retta, sulla somma di tutta la retta iniziale e della detta parte.

8 9. Se si divide una linea retta in parti uguali e disuguali, la somma dei quadrati delle parti disuguali è il doppio della somma del quadrato della metà della retta e del quadrato della parte compresa tra i punti di divisione. 10. Se si divide a metà una linea retta ed un altra le è aggiunta per diritto, il quadrato di tutta la prima retta più quella aggiunta ed il quadrato della retta aggiunta, presi ambedue insieme, sono il doppio della somma del quadrato della metà della prima retta e del quadrato descritto, come su una sola linea retta, sulla retta composta dalla metà della prima e da quella aggiunta. 11. E possibile dividere una retta data in modo che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente. 12. Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all angolo ottuso è maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l angolo ottuso e dalla proiezione dell altro su di esso. 13. Nei triangoli acutangoli il quadrato del lato opposto all angolo acuto è minore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l angolo acuto, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l angolo acuto e dalla proiezione dell altro su di esso. 14. E possibile costruire un quadrato uguale ad una figura rettilinea data.

9 Libro III Definizioni 1. Sono uguali i cerchi i cui diametri sono uguali, o di cui sono uguali i raggi. 2. Si dice che è tangente ad un cerchio una retta, la quale raggiunge il cerchio e, prolungata, non lo taglia. 3. Si dicono tangenti fra loro cerchi i quali si raggiungono e non si tagliano scambievolmente. 4. Si dice che in un cerchio linee rette distano ugualmente dal centro quando le perpendicolari condotte ad esse dal centro sono uguali. 5. E si dice che dista maggiormente dal centro quella su cui cade la perpendicolare maggiore. 6. Segmento di un cerchio è la figura compresa da una retta e da un arco di circonferenza del cerchio. 7. Ed angolo di un segmento è l angolo compreso da una retta e da un arco della circonferenza del cerchio. 8. E quando sull arco di un segmento circolare si prenda un punto e si traccino da esso le congiungenti alle estremità della retta che è base del segmento, l angolo che è compreso dalle rette congiungenti è un angolo in un segmento circolare. 9. E quando le rette che comprendono un angolo vengono a tagliare un arco, si dice che l angolo insiste su quello. 10. E quando con vertice nel centro di un cerchio si costruisca un angolo, la figura che è compresa dai lati dell angolo e dall arco da essi tagliato. è detto settore di un cerchio. 11. Segmenti simili di cerchi sono quelli che contengono angoli uguali, ossia quelli i cui angoli sono fra loro uguali. Proposizioni 1. Trovare il centro di un cerchio dato. Corollario. E da ciò evidente che in un cerchio il centro si trova sulla retta perpendicolare ad una corda qualsiasi nel suo punto medio. 2. Se in un cerchio si prendono sulla circonferenza due punti a piacere, la retta che congiunge i punti cadrà internamente al cerchio.

10 3. Se in un cerchio una retta che passa per il centro divide per metà un altra retta che non passi per il centro, è ad essa perpendicolare; e se è ad essa perpendicolare, la divide anche a metà. 4. Se in un cerchio due rette, che non passino per il centro, si tagliano tra loro, non si dividono a metà. 5. Se due cerchi si tagliano far loro, essi non hanno lo stesso centro. 6. Se due cerchi sono tangenti fra loro, essi non possono avere lo stesso centro. 7. Se in un cerchio si prende su un diametro un punto che non sia centro del cerchio, ed altre rette vengono condotte dal punto alla circonferenza, sarà massima la retta su cui è il centro, minima quella che rimane del diametro, sottratta da esso la prima, e delle altre la più vicina alla retta che passa per il centro è sempre maggiore di quella più lontana, e dal punto poteranno condursi alla circonferenza soltanto due rette uguali, una in ciascun lato della minima. 8. Se si prende un punto esternamente ad un cerchio, e dal punto si conducono linee rette alla circonferenza del cerchio, di cui una per il centro e le altre condotte a caso, delle rette che cadono sulla circonferenza dalla parte concava è massima quella che passa per il centro, mentre delle altre la retta più vicina a quella che passa per il centro è sempre maggiore di quella più lontana; delle rette, invece, che cadono sulla circonferenza dalla parte convessa è minima quella il cui prolungamento è il diametro, mentre delle altre la retta più vicina a quella minima è sempre minore di quell più lontana; e dal punto dato si potranno condurre alla circonferenza soltanto due rette uguali, una da ciascun lato della retta minima. 9. Se si prende un punto internamente ad un cerchio, e dal punto possono condursi alla circonferenza più di due rette uguali, il punto preso è il centro del cerchio. 10. Un cerchio non taglia un altro cerchio in più di due punti. 11. Se due cerchi sono tangenti fra loro internamente e si trovano i loro centri, la retta che congiunge i centri, se inoltre prolungata, cadrà nel punto di contatto dei cerchi. 12. Se due cerchi sono tangenti tra loro esternamente, la retta che congiunge i loro centri passerà per il punto di contatto. 13. Un cerchio non può toccare un altro cerchio in più di un punto, sia ad esso tangente internamente, sia esternamente. 14. In un cerchio rette uguali distano ugualmente dal centro, e quelle che distano ugualmente dal centro sono uguali fra loro.

11 15. In un cerchio il diametro è la corda massima, e delle altre corde quella che è più vicina al centro è sempre maggiore di quella più lontana. 16. In un cerchio una retta che sia tracciata perpendicolare al diametro partendo da un estremo di questo, cadrà esternamente al cerchio, nessun altra retta potrà interporsi nello spazio fra la retta e la circonferenza, e l angolo del semicerchio è maggiore, e quello che rimane minore, di ogni angolo acuto rettilineo. Corollario. E da ciò evidente che la retta tracciata perpendicolarmente al diametro di un cerchio, dall estremo del diametro, è tangente al cerchio. 17. E possibile condurre da un punto dato una retta che sia tangente ad un cerchio dato. 18. Se una retta è tangente ad un cerchio, e si congiunge il centro con il punto di contatto, la retta congiungente sarà perpendicolare alla tangente. 19. Se una retta è tangente ad un cerchio, e dal punto di contatto si conduce ad essa una perpendicolare, il centro del cerchio sarà sulla retta così condotta. 20. In un cerchio l angolo al centro è il doppio dell angolo alla circonferenza quando essi abbiano lo stesso arco come base. 21. In un cerchio angoli in uno stesso segmento sono uguali fra loro. 22. In quadrilateri che siano inscritti in cerchi la somma degli angoli opposti è uguale a due retti. 23. Su una stessa retta non si possono costruire, dalla stessa parte, due segmenti circolari simili e diseguali. 24. Segmenti circolari simili che siano posti su rette uguali sono uguali fra loro. 25. E possibile, dato un segmento circolare, completare il cerchio di cui esso è segmento. 26. In cerchi uguali angoli uguali insistono su archi uguali, sia che essi siano angoli al centro o alla circonferenza. 27. In cerchi uguali angoli che insistano su archi uguali sono uguali fra loro, sia che essi siano angoli al centro od alla circonferenza. 28. In cerchi uguali corde uguali insistono su archi uguali, nel senso che l arco maggiore è uguale a quello maggiore e l arco minore è uguale al minore. 29. In cerchi uguali archi uguali sottendono corde uguali. 30. E possibile dividere a metà un arco dato.

12 31. In un cerchio l angolo nel semicerchio è retto, quello in un segmento maggiore del semicerchio è minore di un retto, e quello in un segmento minore del semicerchio è maggiore di un retto; ed infine, l angolo di un segmento maggiore del semicerchio è maggiore di un retto, e l angolo di un segmento minore del semicerchio è minore di un retto. 32. Se una retta è tangente ad un cerchio, e dal punto di contatto si conduce nel cerchio un altra retta che lo venga a tagliare, gli angoli che essa forma con la tangente saranno uguali agli angoli alla circonferenza inscritti nei segmenti alterni di cerchio. 33. E possibile descrivere su una retta data un segmento circolare che contenga un angolo uguale ad un angolo rettilineo dato. 34. E possibile, su un cerchio dato, costruire un segmento con un angolo uguale ad un angolo rettilineo dato. 35. Se in un cerchio due corde si tagliano fra loro, il rettangolo compreso dalle parti dell una è uguale al rettangolo compreso dalle parti dell altra. 36. Se da un punto preso esternamente si conducono ad un cerchio due rette, una delle quali tagli il cerchio, mentre l altra sia ad esso tangente, il rettangolo compreso da tutta quanta la retta secante e dalla sua parte esterna sarà uguale al quadrato della retta tangente. 37. Se da un punto preso esternamente si conducono ad un cerchio due rette, una delle quali tagli il cerchio, mentre l altra abbia un estremo sulla sua circonferenza, e se il rettangolo compreso da tutta quanta la retta secante e dalla sua parte esterna è uguale al quadrato della seconda retta, la seconda retta sarà tangente al cerchio.

13 Libro IV Definizioni 1. Si dice che una figura rettilinea è inscritta in un altra figura rettilinea, quando il vertice di ciascuno degli angoli della figura inscritta si trova su un lato della figura in cui è inscritta, e cioè sul lato rispettivo. 2. Si dice similmente che una figura è circoscritta ad un altra figura, quando ciascun lato della figura circoscritta passa per il vertice di un angolo della figura a cui è circoscritta, e cioè per il vertice dell angolo rispettivo. 3. Si dice che una figura rettilinea è inscritta in un cerchio, quando il vertice di ciascun angolo della figura inscritta si trova sulla circonferenza del cerchio. 4. Si dice che una figura rettilinea è circoscritta ad un cerchio, quando ciascun lato della figura circoscritta è tangente alla circonferenza del cerchio. 5. Si dice similmente che un cerchio è inscritto in una figura quando ciascun lato della figura è tangente alla circonferenza del cerchio. 6. Si dice che un cerchio è circoscritto ad una figura quando la circonferenza del cerchio passa per il vertice di ciascun angolo della figura a cui esso è circoscritto. 7. Si dice che una linea retta è adattata in un cerchio, quando i suoi estremi sono sulla circonferenza del cerchio. Propositions 1. E possibile adattare in un cerchio dato una retta uguale ad una retta data, che non sia maggiore del diametro del cerchio. 2. E possibile inscrivere in un cerchio dato un triangolo equiangolo rispetto ad un triangolo dato. 3. E possibile circoscrivere ad un cerchio dato un triangolo equiangolo rispetto ad un triangolo dato. 4. E possibile inscrivere un cerchio in un triangolo dato. 5. E possibile circoscrivere un cerchio ad un triangolo dato. Corollario. Ed è evidente che, quando il centro del cerchio cade internamente al triangolo, il triangolo è acutangolo, quando il centro cade su un lato, il triangolo è rettangolo e quando il centro cade esternamente al triangolo, il triangolo è ottusangolo.

14 6. E possibile inscrivere un quadrato in un cerchio dato. 7. E possibile circoscrivere un quadrato ad un cerchio dato. 8. E possibile inscrivere un cerchio in un quadrato dato. 9. E possibile circoscrivere un cerchio ad un quadrato dato. 10. E possibile costruire un triangolo isoscele avente ciascuno dei due angoli alla base che sia il doppio dell angolo rimanente. 11. E possibile inscrivere in un cerchio dato un pentagono equilatero ed equiangolo. 12. E possibile circoscrivere ad un cerchio dato un pentagono equilatero ed equiangolo. 13. E possibile inscrivere un cerchio in un pentagono dato, che sia equilatero ed equiangolo. 14. E possibile circoscrivere un cerchio ad un pentagono dato, che sia equilatero ed equiangolo. 15. E possibile inscrivere in un cerchio dato un esagono equilatero ed equiangolo. Corollario. Il lato dell esagono è uguale al raggio del cerchio.. E similmente al caso del pentagono, se noi conduciamo, per i punti di divisione posti sulla circonferenza del cerchio, rette tangenti al cerchio, si verrà a circoscrivere al cerchio un esagono equilatero ed equiangolo in conformità a quanto fu detto nel caso del pentagono. Ed infine, mediante procedimento similare a quanto detto nel caso del pentagono, potremo sia inscrivere un cerchio in un esagono dato, che circoscriverlo ad esso. 16. E possibile inscrivere in un cerchio dato un pentadecagono equilatero e equiangolo. Corollario. E similmente al caso del pentagono, se noi conduciamo, per i punti di divisione posti sulla circonferenza del cerchio, rette tangenti al cerchio, si verrà a circoscrivere al cerchio un pentadecagono equilatero ed equiangolo. Ed infine, mediante procedimento similare a quanto detto nel caso del pentagono, potremo sia inscrivere un cerchio in un pentadecagono dato, che circoscriverlo ad esso.