Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio A)

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1 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3 =. Determinare il punto H, ottenuto come intersezione del piano π con la retta passante per P e perpendicolare al piano π. 2. Determinare equazioni cartesiane della retta che passa per H e Q.

2 Esercizio 2. Si discuta al variare dei parametri reali λ e µ la compatibilità del seguente sistema lineare: x + 2y + z = λ +, x y + 2z = µ, y + µz = 2µ.

3 Esercizio 3. Sia data la matrice A = Trovate una matrice P ortogonale tale che la matrice D = P T AP sia diagonale. 2. Scrivere la matrice D e calcolare P..

4 Esercizio 4. Sia V = M 2 2 (R) lo spazio delle matrici 2 2 a coefficienti reali, sia A = F : V V l applicazione lineare definita da F (X) = AX XA, X V. ( ) 2. Calcolare F (X) per X = Stabilire se F è iniettiva. 3. Stabilire se F è suriettiva. ( ), e sia

5 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 febbraio 23 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, si consideri la retta r di equazioni cartesiane: { 2x y + 2z = 3 x + y z =.. Determinare un equazione cartesiana per un piano π ortogonale a r e passante per P = (,, 5). 2. Stabilire se esiste una retta ortogonale e incidente sia a r che all asse delle x. In caso affermativo, determinare un equazione parametrica per tale retta.

6 Esercizio 2. Sia A = t.. Determinare i valori di t R per i quali A T A è invertibile. 2. Determinare i valori di t R per i quali tr (AA T ) =.

7 Esercizio 3. In R 2 [t], si consideri W = {p(t) R 2 [t] p() = }.. Dimostrare che W è un sottospazio di R 2 [t]. 2. Calcolare una base e la dimensione di W.

8 Esercizio 4. Si consideri l applicazione lineare T : R 3 R 3 definita da T (x, y, z) = (2z 2y, 2y 2x, 2x + 2z).. Scrivere le matrici M C,C (T ) e M B,B (T ), dove C è la base canonica di R 3 e B = ((,, ), (,, ), (2, 3, )) 2. Determinare una base per Im T. 3. Stabilire se T è diagonalizzabile.

9 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 8 giugno 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x + x 2 x 3 = 2 2x + 3x 2 = 2, s 2 : { x + x 2 = 2 2x 2 + x 3 = 2.. Stabilire la posizione reciproca di s e s Determinare un equazione cartesiana per il piano α ortogonale a s e passante per il punto P = (3,, 2). 3. Determinare un equazione cartesiana per il piano β contenente la retta s 2 e parallelo alla retta { x + x r : 2 + x 3 =, x x 3 = 4

10 Esercizio 2. In R 4 munito del prodotto scalare standard si considerino i vettori v =, v 2 =, v 3 = e il sottospazio W da essi generato.. Trovare una base ortogonale di W. 2. Trovare una base di W.

11 Esercizio 3. Si considerino le applicazioni lineari T : R 3 R 4 e G : R 4 R 3 associate, nelle basi canoniche, alle matrici rispettivamente. A = e B = Determinare la matrice associata a G T rispetto alle basi canoniche. 2. Determinare la dimensione e una base per l immagine di T. 3. Determinare la dimensione e una base per il nucleo di T.,

12 Esercizio 4. Sia data la matrice A = Discutere la diagonalizzabilità di A su R e su C. 2. Provare che A 3 non è invertibile.

13 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 8 giugno 23 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x + x 2 x 3 = 2 2x + 3x 2 = 2, s 2 : { x + x 2 = 2 2x 2 + x 3 = 2.. Stabilire la posizione reciproca di s e s Determinare un equazione cartesiana per il piano α ortogonale a s e passante per il punto P = (, 2, ). 3. Determinare un equazione cartesiana del piano β contenente la retta s 2 e parallelo alla retta r : { x x 2 x 3 = x + x 3 = 4,

14 Esercizio 2. In R 4 munito del prodotto scalare standard si considerino i vettori v =, v 2 =, v 3 = e il sottospazio W da essi generato.. Trovare una base ortogonale di W. 2. Trovare una base di W.

15 Esercizio 3. Si considerino le applicazioni lineari T : R 3 R 4 e G : R 4 R 3 associate, nelle basi canoniche, alle matrici rispettivamente. A = e B = Determinare la matrice associata a T G rispetto alle basi canoniche. 2. Determinare la dimensione e una base per l immagine di G. 3. Determinare la dimensione e una base per il nucleo di G.,

16 Esercizio 4. Sia data la matrice A = Discutere la diagonalizzabilità di A su R e su C. 2. Provare che A 3 non è invertibile.

17 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 2 luglio 23 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. In R 3, si consideri la retta r : { 2x x 3 = x x =.. Determinare un equazione cartesiana per il piano π ortogonale a r e passante per il punto P = (,, 2). 2. Detto Q il punto di intersezione tra la retta r e il piano π, determinare un equazione parametrica per la retta passante per P e Q.

18 Esercizio 2. In R 4, si considerino i sottospazi U e W definiti da U = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 } x 3 = x x 2, x 4 = x + x 2. W = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 } x 3 = x + x 2, x 4 = x x 2,. Determinare una base di U e una base di W. 2. Trovare una base di U W. 3. Stabilire se R 4 è somma diretta di U e W.

19 Esercizio 3. Si consideri l applicazione lineare F : R 3 R 4 definita da F (,, ) = (3, 3,, ), F (,, ) = (,,, ), F (,, ) = (8, 6,, 2).. Trovare la dimensione e una base del nucleo di F, e dire se F è iniettiva. 2. Trovare la dimensione e una base dell immagine di F, e dire se F è suriettiva. 3. Determinare la matrice associata ad F rispetto alla base B = ((,, ), (,, ), (,, )) di R 3 e alla base canonica C di R 4.

20 Esercizio 4. Data la matrice A = , trovare una matrice U ortogonale e una matrice D diagonale tali che D = U T AU.

21 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 9 settembre 23) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Al variare del parametro k R, si considerino la retta { x + y z = k s : x + 2y + z = 3 ed il piano π : x + ky z = k.. Studiare la mutua posizione di s e π al variare di k R. 2. Stabilire per quali valori di k R esiste una retta r parallela al piano π e alla retta { x y = 2 s 2 : x + y + 2z =

22 Esercizio 2. Sia L : R 4 R 4 l applicazione lineare definita da a a L b c = b + c b + c. d d. Calcolare la matrice associata ad L rispetto alla base canonica in partenza ed in arrivo. 2. Trovare una base di Ker L e stabilire se L è un isomorfismo. 3. Stabilire se le immagini tramite L dei vettori e sono linearmente indipendenti.

23 Esercizio 3. Si consideri il sottospazio U di R 3 generato dai vettori 2,,. 2. Calcolare la dimensione di U. 2. Determinare equazioni cartesiane per U. 3. Trovare una base ortonormale di U rispetto al prodotto scalare canonico di R 3.

24 Esercizio 4. Data la matrice A = 4 h M 3 3 (R). Stabilire per quali valori di h R la matrice A è diagonalizzabile. 2. Stabilire per quali valori di h R la matrice A + A T è invertibile. 3. Stabilire per quali valori di h R si ha tr(a + ha T ) =.

25 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 23 settembre 23) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Siano s e s 2 le due rette di equazioni s : { x 2x 2 = x 2 x 3 = 2 x = t s 2 : x 2 = t x 3 = t, t R.. Determinare l intersezione s s Scrivere, se possibile, un equazione cartesiana per un piano passante per l origine e parallelo sia a s che a s 2.

26 Esercizio 2. Sia L A : R 4 R 3 l applicazione lineare definita dalla matrice + k , k R. k. Determinare, al variare del parametro k, la dimensione di Im L A e una sua base. 2. Stabilire per quali valori di k R il vettore (,,, ) T Ker L A.

27 Esercizio 3. Si considerino i vettori v =, v 2 =. Provare che B = (v, v 2, v 3 ) è una base di R 3. 2, v 3 = Calcolare M(B, C), dove C denota la base canonica di R Sia L : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da L determinare M B,B (L). x y z = x x + y x ;

28 Esercizio 4. Data la matrice A = 3 3 2, trovare una matrice ortogonale U e una matrice diagonale D tali che D = U T AU.

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