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1 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO: EUROPA CORSO DI ORDINAMENTO Indirizzo: SCIENTIFICO Tema di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e quesiti del questionario. PROBLEMA Nel piano cartesiano O è data la circonferenza C di equazione +. a) Si scrivano le equazioni delle tangenti a C nei suoi punti di ordinata b) Si tracci una corda MN perpendicolare al diametro AB con A(,-) e B(,). Si trovino le coordinate dei punti M ed N di C in modo che l area del triangolo AMN sia massima. c) Con l aiuto di una calcolatrice, si calcoli la lunghezza dell arco tra i punti P(,) e Q(,) di C. d) Il settore circolare POQ è la base di un solido W che tagliato con piani perpendicolari all asse dà tutte sezioni quadrate. Si calcoli il volume di W. PROBLEMA Nel piano riferito a un sistema O di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: a e a, con a > : a) Si disegnino le due parabole e si denoti con A il loro punto di intersezione diverso dall origine O. b) Sia B la proiezione ortogonale di A sull asse. Si dica se il segmento OB risolve il problema della duplicazione del cubo di spigolo a. Posto a e non disponendo di una calcolatrice come si può procedere per avere l approssimazione di a meno di? c) Sia D la parte di piano delimitata dagli archi delle due parabole di estremi O e A. Si determini l area di D. d) Si calcoli il volume del solido generato da D in una rotazione completa attorno all asse.
2 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 QUESTIONARIO ) Un tetraedro regolare e un cubo hanno superfici equivalenti. Calcolare il rapporto dei rispettivi spigoli. ) Si dimostri che l equazione: ha una sola radice compresa fra e. + + ) Si determini il campo di esistenza della funzione: f : ln ) Qual è il periodo della funzione cos ( + ) ( + + 6)? Si dia ragione della risposta. ) Si sa che una grandezza fisica dipende da un altra secondo una legge α k dove k e α sono costanti incognite. Una misura simultanea di e, eseguita in due diverse situazioni, ha dato i risultati riportati nella tabella seguente: Si calcolino k e α. 6) Si calcoli: cos lim 7) Dati due punti A e B distanti tra loro dm, si dica qual è il luogo dei punti C dello spazio tali che il triangolo ABC sia rettangolo in A ed abbia area uguale a cm? 8) Si determini il cilindro di massimo volume inscrivibile in una sfera di 6 cm di raggio. Qual è la capacità di tale cilindro, espressa in litri? Durata massima della prova: 6 ore. È consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema.
3 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 PROBLEMA Nel piano cartesiano O è data la circonferenza C di equazione +. Punto a Si scrivano le equazioni delle tangenti a C nei suoi punti di ordinata I punti di intersezione tra la circonferenza di equazione + e la retta si ricavano dal ( ) + 6 Q, sistema da cui. R(,) Nel primo e secondo quadrante, cioè nel semipiano >, la semicirconferenza è in forma esplicita rappresentata dalla curva Calcoliamo le tangenti:, la cui derivata è '.. La tangente in Q (,) ha equazione m( ) + t Q ; + ; con m da cui. La tangente in R (,) ha equazione m( + ) + con m da cui t R ; +. Analogamente si può procedere nella maniera classica in cui si mette a sistema l equazione della circonferenza e la generica retta tangente e poi si impone che il delta dell equazione risultante sia nullo. Per la tangente in Q (,) si ha: + + m m + Δ Imponendo t Q ; +. Per la tangente in R (,) si ha: ( m m + ) ( + m ) ( m m) + 8( m m ) m m da cui si ha ( m) 8( m + )( m m ) ( m + )
4 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) m + m + Δ Imponendo ( m + m + ) ( + m ) ( m + m) + 8( m + m ) m + m da cui si ha ( m) 8( m + )( m + m ) ( m ) t R ; +. Di seguito la circonferenza con le tangenti suddette. Punto b Si tracci una corda MN perpendicolare al diametro AB con A(,-) e B(,). Si trovino le coordinate dei punti M ed N di C in modo che l area del triangolo AMN sia massima. Innanzitutto facciamo la seguente considerazione. Il triangolo AMN è isoscele su base MN per simmetria ed inoltre ha il vertice sull asse negativo delle ordinate. Il triangolo di area massima dovrà avere la base MN nel primo e secondo quadrante in quanto se la base fosse nel secondo e quarto quadrante il triangolo non avrebbe area massima in quanto esisterebbe il triangolo rettangolo isoscele di base il diametro ed altezza pari al raggio con area maggiore di quella del triangolo ANM. Quindi i punti M ed N si troveranno rispettivamente nel primo e secondo quadrante ed avranno coordinate M (, ), N(, ) del problema: con < <. La figura seguente mostra la geometria
5 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 Il triangolo AMN per simmetria è isoscele su base MN ed altezza ( + ). L area è allora S( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) in cui il fattore ( + ) è stato portato sotto radice in quanto < equivale alla massimizzazione di g( ) S ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) <. La massimizzazione di S( ) ( + ) ( ) la cui derivata prima è g' per cui g '( ) ( + ) ( ) > < < e g '( ) ( + ) ( ) < < < considerazioni deduciamo che la funzione area è strettamente crescente in ; da queste, e strettamente decrescente in,, quindi l area massima si ha per e vale 7 S cui corrispondono M,, N,. In questo caso notiamo che MN MA MB, cioè il triangolo di area massima è un triangolo equilatero.
6 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 Punto c Con l aiuto di una calcolatrice, si calcoli la lunghezza dell arco tra i punti P(,) e Q(,) di C. L arco tra i punti P(,) e Q(,) di C è un arco circolare di raggio r ed apertura α arcsin per cui la lunghezza dell arco, con α arcsin espresso in radianti, è l r α arcsin. [ m] [ rad] Punto d Il settore circolare POQ è la base di un solido W che tagliato con piani perpendicolari all asse dà tutte sezioni quadrate. Si calcoli il volume di W. Consideriamo la figura seguente: La retta OQ ha equazione per cui il lato del quadrato sezione è se L ( ) cui corrisponde l area del quadrato se A ( ) L ( ) ( ) d d + ( ) V A 6 + se. Integrando tale area otteniamo il volume richiesto se d
7 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 PROBLEMA Nel piano riferito a un sistema O di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: a e a, con a > : Punto a Si disegnino le due parabole e si denoti con A il loro punto di intersezione diverso dall origine O. La parabola di equazione a ha asse coincidente con l asse delle ascisse e vertice in (,); la parabola di equazione a ha asse coincidente con l asse delle ordinate e vertice in (,). Le intersezioni si ricavano dal sistema a a da cui ( a ) a O(,) a a (, a ) A a. Punto b Sia B la proiezione ortogonale di A sull asse. Si dica se il segmento OB risolve il problema della duplicazione del cubo di spigolo a. Posto a e non disponendo di una calcolatrice come si può procedere per avere l approssimazione di a meno di Il punto B ha coordinate ( a,) B per cui OB a.? Il problema della duplicazione del cubo consiste nella la costruzione di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di spigolo dato. Nel caso in esame lo spigolo dato misura a ed il volume del cubo corrispondente è V a mentre il cubo di spigolo OB a ha volume ( a ) a V che è il doppio del volume V. Quindi il segmento OB risolve il problema della duplicazione del cubo di spigolo a. 7
8 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 Per avere l approssimazione di notiamo che è l unica soluzione dell equazione cioè è l unico zero della funzione h ( ). Infatti la funzione ( ) h assume valori discordi agli estremi dell intervallo [,] dal momento che ( ) <, h( ) 6 > h per cui a norma del teorema degli zero tale zero si trova in (,) ed inoltre ( ) h è strettamente crescente in R per cui lo zero è unico. Applichiamo il metodo delle tangenti o di Newton di punto iniziale con la formula ricorsiva tale metodo si ha: ) ( n ) n n + n '( ) h n+ n. Sviluppando h n n n ) + + ). + ). 6 Poiché.. allora una soluzione a meno di è α.. < Punto c Sia D la parte di piano delimitata dagli archi delle due parabole di estremi O e A. Si determini l area di D. La parabola di equazione a nel primo quadrante è rappresentata dall equazione a a a a a a per cui l area della regione D è S a d a. a Analogamente possiamo calcolare l integrale nel modo seguente: a S a d a a 6a a a a a Punto d Si calcoli il volume del solido generato da D in una rotazione completa attorno all asse. Il volume richiesto è dato dalla differenza del volume generato dalla rotazione intorno all asse di a a ed il volume generato dalla rotazione intorno all asse di, cioè è pari a: a 8
9 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 V ( a ) a a a a π d d π ad a a π a π a a πa πa a πa d QUESTIONARIO Quesito Un tetraedro regolare e un cubo hanno superfici equivalenti. Calcolare il rapporto dei rispettivi spigoli. Un cubo di spigolo a ha superficie totale pari a S C 6a, mentre quella di un tetraedro di spigolo l è S T l. Imponendo S C ST si ricava 6a l l a per cui il rapporto tra gli l spigoli è. a Quesito Si dimostri che l equazione: ha una sola radice compresa fra e. La funzione ( ) f è un polinomio di grado dispari, che ha quindi almeno una soluzione reale. Si può osservare anche che è una funzione continua e derivabile per ogni reale. Dunque possiamo dimostrare facilmente, attraverso lo studio del segno della derivata prima f ' ( ) +, che essa è strettamente crescente, e dunque iniettiva, per cui l equazione data ha un unica soluzione reale. Si osserva poi che ( ) 7 <, f ( ) > degli zeri la funzione presenta un unico zero in (, ). Quesito Si determini il campo di esistenza della funzione: f : ln f per cui per il teorema ( + + 6) Il dominio è dato dalle soluzioni della disequazione ( + + 6) > ( ) ( )( + ) <, quindi (,). Quesito Qual è il periodo della funzione cos ( + ) Una funzione è periodica di periodo T se f ( ) f ( + kt )? Si dia ragione della risposta., cioè con k Z. Nel caso in esame, ricordando che il coseno è periodico di π, deve aversi 9
10 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 ( ) cos( + + h ) cos( + kt ) cos + π + e cioè + + hπ + + kt. Per h k si π ricava T. Quesito α Si sa che una grandezza fisica dipende da un altra secondo una legge k dove k e α sono costanti incognite. Una misura simultanea di e, eseguita in due diverse situazioni, ha dato i risultati riportati nella tabella seguente: Si calcolino k e α. k Si ha k α α 6,. Dal rapporto tra le due equazioni del sistema si ricava,, α 9 da cui α e sostituendo in una delle due equazioni del sistema, ad esempio la prima, si ricava 6, 6, k,6 α. Quesito 6 Si calcoli: cos lim Moltiplicando numeratore e denominatore per ( + cos ) si ha: cos lim lim ( cos )( + cos ) sin sin lim lim lim ( + cos ) ( + cos ) ( + cos ) in cui si sin è sfruttato il limite notevole lim. Applicando il teorema di de l Hospital si giunge al medesimo risultato: cos sin lim lim sin lim Quesito 7 Dati due punti A e B distanti tra loro dm, si dica qual è il luogo dei punti C dello spazio tali che il triangolo ABC sia rettangolo in A ed abbia area uguale a Consideriamo la figura seguente. cm?
11 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 B A C Ragioniamo in centimetri come unità di misura. In questo modo l area pari a cm, il cateto AC misura AC cm AB cm, e dovendo essere. Affinché i triangoli ABC siano rettangoli in A, i punti C devono appartenere al piano α passante per A perpendicolare alla retta AB. Affinché l area del triangolo sia uguale a cm i punti devono appartenere alla circonferenza contenuta in α di centro A e raggio uguale ad AC cm. Cioè nel riferimento cartesiano di cui sopra, indicando A a, b il vertice in cui il triangolo ABC è rettangolo, il luogo richiesto è la circonferenza di con ( ). In altro modo, affinché il triangolo ABC sia rettangolo in A ed abbia area costante e pari a cm, la distanza di C da A deve essere costantemente pari ad equazione ( a) + ( b) AC cm e cioè, ricordando la definizione di distanza si deve avere ( a) + ( b), da cui elevando al quadrato ambo i membri si riottiene il luogo di equazione. ( a) + ( b) Quesito 8 Si determini il cilindro di massimo volume inscrivibile in una sfera di 6 cm di raggio. Qual è la capacità di tale cilindro, espressa in litri? Si consideri la figura seguente rappresentante in sezione la sfera ed il cilindro in essa inscritto.
12 Sessione ordinaria all estero (EUROPA) 8-9 Poniamo OH con < < 6. Di conseguenza l altezza del cilindro è h OH mentre per il teorema di Pitagora HC OC OH 6 per cui il volume del cilindro è V ( ) HC ( OH) π( 6 ) massimizzazione di g( ) ( 6 ) con < 6 g( ) ( 6 ) è g' ( ) ( ) per cui g( ) ( 6 ) (, ) e strettamente decrescente in (,6) ; inoltre ''( ) < π e la massimizzazione del volume è equivalente alla <. La derivata prima della funzione è strettamente crescente in g per cui il volume massimo lo si ha per e misura ma ( ) 96 π [ cm ] 96 π [ dm ] 96 [ litri].[ litri] V V π in quanto dm litro.
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