Soluzioni della prima prova di accertamento Fisica Generale 1

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1 Corso di Laurea in Ineneria Biomedica, dell Informazione, Elettronica e Informatica Canale 2 (S. Amerio, L. Martucci) Padova, 20 aprile 2013 Soluzioni della prima prova di accertamento Fisica Generale 1 Problema 1 (6 punti) Un punto materiale di massa m = 1k sale luno un piano inclinato scabro (anolo di inclinazione θ = 30, coefficiente di attrito dinamico µ d = 0.6). Nell istante in cui inizia a salire la velocità è v A = 4.28 m/s. Alla fine del piano inclinato è posta una molla di costante elastica k = 30 N/m. Il punto materiale raiune la molla e prima di fermarsi la comprime di l = 10 cm. Determinare: 1. la risultante (direzione, verso, modulo) delle forze aenti sul punto durante la salita; 2. la quota h raiunta dal punto nel momento di massima compressione della molla. Soluzione: Consideriamo le basi di versori ortoonali introdotte in fiura. 1. Durante la salita sul punto aiscono la forza peso F = msenθ u x m cos θ u y, la componente normale della reazione del piano N = N u y e la forza di attrito dinamico F ad = N u x. Luno y la risultante è nulla, da cui N = m cos θ, mentre luno x si ha, in modulo, R = msenθ + µ d m cos θ 10 N. La risultante è quindi R = m(senθ + µ d cos θ)u x 10N u x. 2. In A il punto possiede solo eneria cinetica E k (A) = 1 2 mv2 A. Nel punto di massima compressione B la velocità è nulla. La forza di attrito dinamico ha fatto lavoro W ad = µ d m cos θ h senθ e il punto ha acquisito eneria potenziale ravitazionale E p, (B) = mh ed elastica E p,el (B) = 1 2 k l2. Quindi Risolvendo rispetto a h si ottiene E m (B) E m (A) = E p, (B) + E p,el (B) E k (A) = W ad h = mv 2 A k l2 2m(1 + µ d / tan θ) 0.45 m 1

2 Problema 2 (6 punti) Una sferetta di massa m = 340 è sospesa al soffitto del vaone di un treno tramite un filo inestensibile di massa trascurabile, luno L = 50 cm. Il treno inizia a muoversi con moto rettilineo uniformemente accelerato e dopo 20 secondi raiune una velocità di 36 km/h, proseuendo successivamente a velocità costante. Durante la fase di accelerazione, la sferetta assume una nuova posizione di equilibrio, con la corda che forma un anolo θ 0 rispetto alla verticale. 1. Determinare il valore di θ Discutere la traiettoria della sferetta, rispetto ad un osservatore solidale con il vaone, nella fase in cui il treno si muove di moto rettilineo uniforme. Soluzione 1. Se u x indica il versore che punta nella direzione e verso della velocità del treno e u z il versore verticale, come in fiura, l accelerazione del treno è a t = a t u x, con a t = v x t = 36 km h 1 20 s = (36/3.6) m s 1 20 s = 0.5 m s 2 Usiamo il sistema di riferimento non inerziale solidale con il vaone. Sulla sferetta aiscono le seuenti forze vere: F = m u z T = T (senθ ux + cos θ u z ) dove = 9.8 ms 2 e T è la tensione del filo. Inoltre, sulla sferetta aisce anche una forza apparente di trascinamento F t = m a t Quindi, nel sistema di riferimento solidale con il vaone, la sferetta si trova in equilibrio ad un anolo θ 0 tale che F + T + F t = 0 che è equivalente al sistema di equazioni da cui si ottiene tan θ 0 = a t T senθ 0 = m a t θ 0 = arctan T cos θ 0 = m ( ) at rad Dall istante in cui il treno smette di accelerare il sistema di riferimento solidale con il treno diventa inerziale e la forza apparente di trascinamento non è più presente. Quindi la sferetta inizia a oscillare come un pendolo semplice, con anolo massimo di oscillazione θ 0. Poiché θ 0 è molto piccolo, sceliendo t = 0 come l istante in cui il treno smette di accelerare, il moto è ben approssimato da un moto armonico: θ(t) = θ 0 cos ωt dove ω = L = 19.6 s s 1 T = 2π ω 1.42 s 2

3 Problema 3 (7 punti) Un blocchetto di massa m = 0.5 k viene lanciato con velocità di modulo v 0 verso una uida semicircolare di raio R = 2 m come in fiura. Si suppona che l attrito sia trascurabile. 1. Trovare il valore minimo v min 0 di v 0 per il quale il blocchetto raiune il punto più alto della uida. 2. A quale distanza dalla uida il blocchetto tocca di nuovo terra se v v min 0? In particolare, valutare il risultato per v 0 = 20R. Soluzione 1. Tenendo conto che la reazione vincolare non compie lavoro, se arriva al punto più alto della uida il punto avrà una velocità ˆv determinata dalla conservazione dell eneria meccanica E m = 1 2 m v2 + mz: 1 2 m ˆv2 + 2mR = 1 2 m v2 0 v 2 0 = ˆv 2 + 4R (1) Supponiamo ora che il blocchetto sia arrivato nel punto più alto. In questo punto la forza peso e la reazione vincolare sono entrambe centripete e, per la II lee di Newton, il modulo della loro risultante è uuale a ma N = m ˆv 2 /R. La velocità minima ˆv min possibile si ha per reazione vincolare nulla ed è quindi data da m (ˆvmin ) 2 R Quindi, dalla (1) otteniamo v min 0 = = m (ˆv min ) 2 = R (ˆv min ) 2 + 4R = 5R 9.9 ms 1 2. Introduciamo un sistema di riferimento cartesiano come in fiura. Dopo che il blocchetto si è staccato dalla uida, su di esso aisce solo la forza peso F = m u z. In componenti, la II lee di Newton m a = F si scrive dv x dt = 0 mdv z dt = m Quindi v x ˆv = v0 2 4R rimane costante. D altra parte, nella direzione z, il corpo si muove con accelerazione, partendo con una componente v z inizialmente nulla. Quindi z(t) = 2R 1 2 t2, assumendo t = 0 come istante in cui inizia a cadere, e il corpo tocca terra dopo un intervallo di tempo t = 2 R/. Da ciò seue che il corpo tocca terra a una distanza d = x = v x t = 2 Rv 2 0 Nel caso particolare in cui v 0 = 20R = 2v min 0 si ha 4R 2 d = x = v x t = 8R = 16 m 3

4 Problema 3 (8 punti) Due blocchetti hanno massa m 1 e m 2 rispettivamente. Essi sono colleati da un filo inestensibile di massa trascurabile e sono posizionati su un cuneo come in fiura. Le facce su cui scorrono i due blocchetti formano un anolo θ rispetto al piano orizzontale su cui è fissato il cuneo. 1. Se i corpi partono da fermi, supponendo che li attriti siano trascurabili, che velocità hanno raiunto dopo aver percorso una distanza D? Applicare la formula ottenuta al caso in cui m 1 = 1 k, m 2 = 2 k, θ = 30 e D = 20 cm. 2. Supponiamo ora che l attrito tra i blocchetti e la superficie del cuneo non sia trascurabile e abbia un coefficiente di attrito statico µ s. Se sono inizialmente fermi, per quale anolo massimo θ 0 i due blocchetti rimanono in equilibrio? Valutare θ 0 per µ s = 0.5, m 1 = 1 k e m 2 = 3 k. Soluzione: 1. Usando le basi di versori ortoonali introdotte in fiura, le forze risultanti che aiscono sui due blocchetti sono F 1 = (T m 1 senθ)u x F2 = (m 2 senθ T )u x dove T è la tensione del filo; inoltre si è tenuto conto che le componenti delle forze peso ortoonali alle facce del cuneo sono bilanciate dalle reazioni vincolari N 1 = m 1 cos θ u z N2 = m 2 cos θ u z Dalla II lee di Newton, m 1 a 1 = m 1 a x,1 u z = F 1 e m 2 a 2 = m 2 a x,2 u z = F 2 e quindi, poiché si deve avere a x,1 = a x,2, si ottiene e quindi T m 1 senθ = senθ T m 2 T = 2m 1m 2 senθ a 1 = 1 m 1 F1 = m 2 m 1 senθ u x a 2 = 1 m 2 F2 = m 2 m 1 senθ u x L accelerazione dei due corpi è dunque a = m 2 m 1 m 1 +m 2 senθ. Ma e quindi a = dv dt = dx dv dt dx = v dv dx = dv 2 2 dx = m 2 m 1 senθ dv 2 dx 4

5 Interando questa equazione seue che dopo una distanza D i corpi hanno raiunto una velocità v = 2D senθ m 2 m 1 Nel caso in cui m 1 = 1 k, m 2 = 2 k, θ = 30 e D = 20 cm si ottiene: v = m s 0.8 m s 2. Supponiamo ora che ci sia attrito statico con coefficiente µ s. Supponendo che ci sia equilibrio, otteniamo i seuenti valori per i moduli delle forze di attrito statico (sempre sceliendo m 2 m 1 ): F as,1 = T m 1 senθ F as,2 = m 2 senθ T D altra parte sappiamo che possiamo solo avere F as,1 µ s N 1 = µ s m 1 cos θ e F as,2 µ s m 2 cos θ, da cui si ricava che la tensione deve essere compresa nel seuente intervallo: m 2 (senθ µ s cos θ) T m 1 (senθ + µ s cos θ) Questa condizione fisica può essere soddisfatta solo se m 2 (senθ µ s cos θ) m 1 (senθ + µ s cos θ) tan θ m 2 m 1 µ s Quindi, l anolo massimo per il quale i due blocchetti rimanono in equilibrio è ( ) m1 + m 2 θ 0 = arctan µ s m 2 m 1 Si noti che se m 2 = m 1 allora θ 0 = π/2. Inoltre nel limite m 1 /m 2 0 si ha tan θ 0 = µ s. In questi sottocasi troviamo dunque il risultato aspettato. Per µ s = 0.5, m 1 = 1 k e m 2 = 3 k si ottiene θ 0 = π 4 rad = 45. 5