Università del Piemonte Orientale. Corso di dottorato in medicina molecolare. a.a Corso di Statistica Medica. Inferenza sulle medie

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1 Università del Piemonte Orientale Corso di dottorato in medicina molecolare aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie Statistica U Test z Test t campioni indipendenti con uguale varianza Test t campioni indipendenti con varianza disuguale Test t campioni appaiati Dottorato di medicina molecolare

2 Popolazione: - insieme di tutti i valori realizzati o possibili di una variabile ; insieme che raccoglie tutte le osservazioni possibili, di una data variabile o un dato fenomeno - può essere finita (comunque molto grande) o infinita Campione: - Raccolta finita di elementi estratti da una popolazione - Lo scopo dell estrazione è quello di ottenere informazioni sulla popolazione - Pertanto il campione deve essere rappresentativo della popolazione da cui viene estratto ( non viziato, cioè non affetto da errore sistematico) - Per corrispondere a queste esigenze il campione viene individuato con un campionamento casuale - In un campionamento casuale semplice tutti gli individui nella popolazione hanno uguale probabilità di essere inclusi nel campione Data una popolazione con N individui (N molto grande rispetto alla dimensione del campione) la probabilità per l i-esimo individuo è 1/N Dottorato di medicina molecolare

3 Come misuriamo la probabilità di osservare un dato valore, assumendo una data distribuzione? Se la distribuzione dei valori nella popolazione segue una forma Normale (Gaussiana) possiamo stimare la probabilità di osservare un valore compreso in un dato intervallo usando la statistica U Distribuzione gaussiana: f ( x) = σ ( ) 2 x 2 / 1 µ σ π e Dottorato di medicina molecolare

4 u = x µ σ dove: x: valore cui siamo interessati σ: deviazione standard nella popolazione µ: media nella popolazione u: deviata normale standardizzata corrispondente ai valori dati per (x, σ, µ) Il valore U, letto sulle apposite tabelle indica la probabilità di osservare un valore compreso tra x e (oppure tra 0 ed x, prestate attenzione alle spiegazioni fornite insieme alle tavole), data una distribuzione normale con media µ e deviazione standard σ In alternativa usate la funzione distribnormst di EXCEL (o analoghi) Dottorato di medicina molecolare

5 Dottorato di medicina molecolare

6 Dottorato di medicina molecolare

7 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard La tavola indica il valore di Q(z), dato il valore di z Second digit of Z z Dottorato di medicina molecolare

8 Esercizio Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190? U = ( ,5) / 6,25 = 2,8 Da cui p= 0,00256 Dottorato di medicina molecolare

9 Se la distribuzione non è gaussiana? 1 Applicare una trasformazione matematica (logaritmo, radice quadrata) ai dati originali in modo da ottenere una distribuzione simile alla gaussiana (i tests per valutare l adattamento alla distribuzione gaussiana saranno visti in una prossima lezione) 2 Calcolare una distribuzione cumulativa empirica e riferirsi a quella (operazione molto pericolosa, da tentare solo se si dispone di un grande numero di osservazioni) Dottorato di medicina molecolare

10 Il campione corrisponde alla popolazione? Con questo problema passiamo dall uso della distribuzione gaussiana a scopo descrittivo all uso a scopo inferenziale Per procedere dobbiamo esaminare la relazione tra la distribuzione di una variabile in una popolazione ed i valori della variabile nei campioni (statistici) estratti da tale popolazione Dottorato di medicina molecolare

11 Cosa ci aspettiamo da un singolo campione estratto da una popolazione? - Il valore atteso della media campionaria 1 è la media della popolazione, in altre parole la media campionaria è una stima non distorta della media della popolazione - Il valore atteso della varianza campionaria 2 (calcolata con n-1) è la varianza della popolazione, in altre parole la varianza campionaria (calcolata con n-1) è una stima non distorta della varianza della popolazione 1 media dei valori della variabile tra i soggetti che compongono il campione 2 varianza dei valori della variabile tra i soggetti che compongono il campione Dottorato di medicina molecolare

12 La distribuzione di frequenza dei campioni Cioè costruiamo una popolazione di campioni (ripetendo infinite volte il campionamento dalla stessa popolazione) Consideriamo una popolazione di individui (unità statistiche); per ciascuno sia noto il valore di una data variabile numerica La distribuzione della variabile nella popolazione è normale (Gaussiana) con media µ e deviazione standard δ Si estraggano ripetuti campioni di dimensione n da tale popolazione Definiamo media campionaria la media calcolata per le osservazioni che compongono il campione osserviamo che: la distribuzione delle medie campionarie sarà normale (Gaussiana), con media µ e deviazione standard δ/ n Dottorato di medicina molecolare

13 - La forma della distribuzione di frequenza delle medie campionarie è normale Questo accade anche se la distribuzione nella popolazione non è normale (Teorema del limite centrale ) - La variabilità della distribuzione delle medie campionarie è inferiore alla variabilità nella popolazione Campioni più grandi avranno variabilità inferiore La deviazione standard delle medie campionarie viene indicata anche come Errore Standard della Media (spesso abbreviato in Errore standard) Errore standard = deviazione standard della popolazione / (numerosità campionaria) =δ/ n Dottorato di medicina molecolare

14 - Dottorato di medicina molecolare

15 Dottorato di medicina molecolare

16 Dottorato di medicina molecolare

17 La variabilità della distribuzione delle medie campionarie è inferiore alla variabilità nella popolazione Campioni più grandi avranno variabilità inferiore La deviazione standard delle medie campionarie viene indicata anche come Errore Standard della Media (spesso abbreviato in Errore standard) Errore standard = deviazione standard della popolazione / (numerosità campionaria) =δ/ n Dottorato di medicina molecolare

18 Dottorato di medicina molecolare

19 Dottorato di medicina molecolare

20 Verifichiamo queste assunzioni su un ulteriore esempio: L istogramma presenta la distribuzione di frequenza di osservazioni distribuite in modo uniforme La variabile considerata (indicata come I) assume i soli valori interi tra 0 e 9 L esempio è analogo a quello presentato nel testo di PArmitage e GBerry Statistical Methods in Medical Researchs (editaliana McGraw-Hill) Alcune statistiche descrittive della Variabile I nella popolazione N Mean 45 Std Deviation Variance Skewness 0 Kurtosis La distribuzione è Uniforme Dottorato di medicina molecolare

21 Dottorato di medicina molecolare FREQUENCY popol azi one

22 Estraiamo da questa distribuzione campioni ripetuti di diversa numerosità (n=5, n=10, n=20, ciascuno ripetuto 5000 volte) Esaminiamo le caratteristiche delle distribuzioni di frequenza delle medie campionarie Dottorato di medicina molecolare

23 Distribuzione e variabilità dei Campioni con n=5 Variable: md (media campionaria) N 5000 Mean 45 Std Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff Variation Median Mode Range Interquartile Range Dottorato di medicina molecolare

24 Distribuzione e variabilità dei Campioni con n=10 Variable: md (media campionaria) N 5000 Mean 45 Std Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff Variation Median Mode Range Interquartile Range Dottorato di medicina molecolare

25 Distribuzione e variabilità dei Campioni con n=20 Variable: md (media campionaria) N 5000 Mean 45 Std Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff Variation Median Mode Range Interquartile Range Dottorato di medicina molecolare

26 da distribuzione uniforme (interi da 0 a 9) µ=4,5 δ=2, n=5 /10 / Dottorato di medicina molecolare

27 Conclusione / ripasso La distribuzione di probabilità rilevante per condurre inferenze sulle medie è la distribuzione gaussiana perché: - la distribuzione gaussiana è la forma limite delle distribuzioni di frequenza campionarie, quale che sia la distribuzione originale delle osservazioni, purché i campioni siano di numerosità sufficiente Inoltre, se la distribuzione di frequenza della popolazione è gaussiana, la distribuzione delle medie campionarie è gaussiana anche per n piccoli Inoltre: - la distribuzione di frequenza di molte variabili biologiche è Gaussiana; - la distribuzione degli errori casuali è Gaussiana; Dottorato di medicina molecolare

28 Rivediamo le caratteristiche principali della distribuzione gaussiana Formula: f(x) = (1/σ 2π)*exp[-1/2(x-µ) 2 /σ 2 ] µ (media) e σ (deviazione standard) sono i parametri che definiscono la distribuzione - il dominio della funzione è - <= x <= - L area compresa tra - e ha valore unitario, - f(x) è un valore di probabilità e viene anche indicato con la lettera p - La distribuzione è simmetrica, media = mediana = moda La distribuzione gaussiana con µ=0 e δ = 1 viene definita Deviazione Normale Standard Dottorato di medicina molecolare

29 Il grafico seguente mostra due curve normali con DS=1 (curva nera) e DS=2 (curva rossa) Entrambe hanno media=0 y x0 Dottorato di medicina molecolare

30 In questo grafico si mostra la relazione tra funzione di densità di probabilità gaussiana (curva a campana, corrisponde ad una distribuzione normale standard) e la corrispondente funzione cumulativa (curva sigmoide) GS X Dottorato di medicina molecolare

31 Il processo di verifica dell ipotesi: Il processo serve a valutare la probabilità di ottenere / estrarre un campione con media campionaria x, data una popolazione con media µ e varianza σ 2 Procediamo in modo analogo a quanto avevamo visto per la statistica U (probabilità di ottenere un singolo risultato) ma Utilizziamo le caratteristiche della distribuzione dei campioni invece che quelle delle osservazioni nella popolazione Statistiche Singole osservazioni nella Campioni estratti dalla popolazione popolazione Tendenza centrale µ: Media dei valori nella popolazione Media delle medie campionarie Variabilità σ: Deviazione standard dei valori nella popolazione Deviazione standard delle medie campionarie -> Errore standard Dottorato di medicina molecolare

32 L ipotesi di lavoro: il campione non proviene dalla popolazione considerata ma di un altra popolazione, con media differente Siamo interessati al confronto tra la media campionaria e la media della popolazione I parametri della distribuzione di probabilità della variabile nella popolazione (µ e σ) sono noti L ipotesi nulla: il campione estratto ha media uguale a quella della popolazione (corrisponde cioè ad un campione tratto dalla popolazione) Dottorato di medicina molecolare

33 Gli errori di primo e di secondo tipo e la dimensione del campione vengono definiti Nel calcolo della dimensione del campione occorre anche considerare che la distribuzione di frequenza di campioni piccoli si differenzia dalla distribuzione gaussiana maggiormente che la distribuzione di frequenza di campioni grandi L esperimento consiste nell estrazione di un campione e nel calcolo della media campionaria Dottorato di medicina molecolare

34 Il test statistico consiste nel calcolo della deviata normale standardizzata: Z = (X - µ)/ (σ/ n) = (X - µ)/ ES Dove X: media campionaria µ: media della popolazione (σ/ n): errore standard della media (cioè deviazione standard della media campionaria) σ: deviazione standard della popolazione n: numerosità del campione Il test è di tipo parametrico, cioè è valido a condizione che siano validi i presupposti relativi alla distribuzione di probabilità (gaussiana) L assunzione è generalmente vera dato il teorema del limite centrale (sempre che n sia sufficientemente grande e la forma della distribuzione della popolazione non sia troppo asimmetrica) Dottorato di medicina molecolare

35 Il valore di probabilità corrispondente al valore Z (valore assoluto di Z) così ottenuto si legge dalla tabella della distribuzione normale standard Se Z>0 viene letto il valore di probabilità compreso tra Z e Se Z<0 viene letto il valore di probabilità compreso tra Z e - Dottorato di medicina molecolare

36 Esempio 1 Confronto della pressione sistolica tra un gruppo di pazienti affetti da una nuova forma di arteriopatia con la popolazione generale H lavoro= i soggetti considerati, affetti da una rara malattia delle arterie hanno pressione arteriosa (sistolica) diversa dalla popolazione generale L ipotesi è nata osservando che i primi casi avevano valori pressori molto elevati H0= media della popolazione: pressione sistolica 145 mmhg test a due code (sebbene l ipotesi di lavoro sia indirizzata maggiormente verso un rialzo pressorio, non ho informazioni sufficientemente forti da scegliere un test ad una coda) errore 1 tipo =005 numerosità campionaria non modificabile poichè sono inclusi tutti i pazienti disponibili Non è stata calcolata la potenza statistica Test statistico: test Z (confronto tra una media campionaria e la media della popolazione) Dottorato di medicina molecolare

37 Requisiti del test scelto: La deviazione standard della misura della pressione della popolazione è nota da precedenti studi ed è pari a 2,53 mmhg; La distribuzione della variabile nella popolazione è gaussiana, pertanto anche piccoli campioni saranno distribuiti secondo tale distribuzione Dottorato di medicina molecolare

38 I dati: Obs pressure (mmhg) Dottorato di medicina molecolare

39 Le statistiche campionarie necessarie per il test N 15 Media mmhg (calcolo omesso) I parametri necessari per il test µ=145 mmhg δ=2,53 mmhg Il valore della statistica Z (errore 1 tipo <= 0,05 e test a due code) = 1,960 Dottorato di medicina molecolare

40 Il calcolo del test Z = (X - µ)/ (σ/ n) Z = ( ) / (2,53/ 15) = = 6, Conclusione = rifiuto l ipotesi nulla Dottorato di medicina molecolare

41 Esempio 2 In questo esercizio si fa ricorso alla trasformazione logaritmica Una compagnia di assicurazioni intende controllare quali agenzie sono troppo severe oppure troppo disponibili nella valutazione dei danni Viene effettuato un campione delle pratiche seguite da ciascuna agenzia Per rendere omogenea la popolazione di provenienza vengono esclusi gli incidenti con feriti e quelli in autostrada Il costo medio nella popolazione (tutte le pratiche della compagnia di assicurazione) (in migliaia di euro) = 1,6 Deviazione standard della popolazione (in migliaia di euro) = 3,4 H lavoro: L'agenzia xxyy si discosta dai parametri definiti sulla base della popolazione di tutti gli incidenti dell'anno in corso H0: l'agenzia non si discosta Dottorato di medicina molecolare

42 test a due code (interessano entrambi gli scostamenti) errore 1 tipo =010 (dato il piano di lavoro di controllo) numerosità campionaria 20 pratiche Non è stata calcolata la potenza statistica Test statistico: test Z (confronto tra una media campionaria e la media della popolazione) Dottorato di medicina molecolare

43 Requisiti del test scelto: La deviazione standard del costo medio è nota, poichè il centro di calcolo della compagnia ha tutte le pratiche La distribuzione della variabile nella popolazione è asimmetrica con coda a destra (valori elevati), come indicato dal centro di calcolo Viene effettuata una trasformazione logaritmica per renderla simile alla gaussiana: dopo la trasformazione anche piccoli campioni si distribuiscono secondo la distribuzione gaussiana Il centro di calcolo fornisce µ e σ della popolazione, con i dati trasformati su scala logaritmica Dottorato di medicina molecolare

44 I dati Obs costo lcosto Dottorato di medicina molecolare

45 The UNIVARIATE Procedure Variable: costo Stem Leaf # Boxplot * *--+--* Dottorato di medicina molecolare

46 The UNIVARIATE Procedure Variable: lcosto Stem Leaf # Boxplot *--+--* Dottorato di medicina molecolare

47 Variable: lcosto (log e del costo) Moments N 22 Mean Dottorato di medicina molecolare

48 Il calcolo del test Indico media e Ds della popolazione calcolati dai logaritmi dei dati originali µ = 0, σ = 0, x = 0,216 Z = (X - µ )/ (σ / n) Z = (0,216-0,262364) / (0,875469/ 22) = = - 0,2484 Conclusione = non rifiuto l ipotesi nulla Dottorato di medicina molecolare

49 Intervalli di confidenza Abbiamo visto che la media campionaria costituisce la stima migliore della media della popolazione ma questo non significa che la media campionaria sia priva di errore campionario: si osserva facilmente che campioni ripetuti danno medie campionarie diverse L intervallo di confidenza fornisce una indicazione della precisione della stima L intervallo di confidenza fornisce un espressione formale dell incertezza che deve essere aggiunta alla media campionaria a causa del semplice errore di campionamento (Armitage) Dottorato di medicina molecolare

50 L intervallo di confidenza della media campionaria è un intervallo di valori intorno alla media campionaria; tale intervallo ha una probabilità definita di includere il parametro (valore della statistica nella popolazione) Dottorato di medicina molecolare

51 Estrazione di 50 campioni di numerosità 20 da distribuzione gaussiana con µ=0 e δ=1 Le barre rappresentano l intervallo di confidenza al 95% M D ID Dottorato di medicina molecolare

52 L intervallo di confidenza è definito in modo tale da soddisfare la seguente equazione: [X - Z α/2 *(σ/ n)] < µ < [X + Z α/2 *(σ/ n)] Dove: X: media campionaria µ: media della popolazione (σ/ n): errore standard della media (cioè deviazione standard della media campionaria) Z α/2 = valore della deviata normale standardizzata corrispondente all errore di 1 tipo scelto Limite fiduciale superiore = X + Z α/2 *(σ/ n) Limite fiduciale inferiore = X - Z α/2 *(σ/ n) Di solito l intervallo di confidenza intorno alla media viene indicato come: X ± Z α/2 *(σ/ n) Dottorato di medicina molecolare

53 Un altra definizione dell intervallo di confidenza è l intervallo di valori della media campionaria che non avrebbe portato al rifiuto dell ipotesi nulla Ripetendo un campionamento dalla stessa popolazione ci aspettiamo che, se vale l ipotesi nulla, la proporzione di campioni il cui intervallo di confidenza non comprende il valore della media corrispondente all ipotesi nulla sia pari al valore dell errore di 1 tipo Dati i 50 campioni dell esercizio precedente, osserviamo che in tre casi l intervallo di confidenza non comprende la media Dottorato di medicina molecolare

54 Esempio: calcolo dell intervallo di confidenza nel caso del primo esempio: N 15 Media campionaria mmhg (calcolo omesso) µ=145 mmhg δ=2,53 mmhg Limite superiore = *(2,53/ 15) = 147,85 Limite inferiore = *(2,53/ 15) = 150,41 147,85 <= µ <=150,41 Dottorato di medicina molecolare

55 Il test t di Student Spesso non abbiamo informazioni sul parametro e la statistica campionaria è calcolata proprio per avere informazioni relative al valore (ignoto) del parametro In questo caso la soluzione adottata è quella di stimare la varianza della popolazione in base alla varianza del campione Si dimostra infatti che l Atteso della varianza campionaria è la varianza della popolazione, se il denominatore è (n-1) La varianza del campione però è affetta da variabilità casuale rispetto alla varianza della popolazione, a causa del campionamento Pertanto non potremo usare statistiche basate sulla distribuzione normale standardizzata, che risulterebbe troppo poco conservativa Gosset (che pubblicava con lo pseudonimo di Student) propose di utilizzare una famiglia di distribuzioni, con forma simmetrica e con ampiezza dipendente dal numero di osservazioni del campione: le funzioni di distribuzione t (o t di Student) Dottorato di medicina molecolare

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57 La distribuzione t per 30 gradi di libertà è praticamente una distribuzione normale standardizzata Si noti che i valori di probabilità cumulativa esterni ad un dato valore di X sono maggiori man mano che si riduce il numero di gradi di libertà La probabilità corrispondente all intervallo tra un dato X e si legge su apposite tabelle Si noti che i valori di probabilità corrispondenti ad un dato valore di t cambiano con il numero di gradi di libertà Dottorato di medicina molecolare

58 Dottorato di medicina molecolare

59 Dottorato di medicina molecolare

60 Dottorato di medicina molecolare

61 Possiamo anche utilizzare la funzione distribt di EXCEL (o analoghi), che fornisce il valore di probabilità corrispondente Dottorato di medicina molecolare

62 Inferenza sulle medie basata sull uso della distribuzione t Nell inferenza sulle medie basata sull uso della distribuzione t dobbiamo distinguere tre diversi casi: - Confronto tra un campione e la media della popolazione - Confronto tra due campioni indipendenti - Confronto tra due campioni appaiati Dottorato di medicina molecolare

63 Confronto tra un campione e la media della popolazione test t Il test è analogo al test Z ma tiene conto del fatto che la varianza è stimata dal campione: t gl = (X - µ)/ (s/ n) X: media campionaria µ: media della popolazione s: deviazione standard del campione (s/ n): errore standard della media (cioè deviazione standard della media campionaria) n: numerosità del campione il numero di gradi di libertà è gl= n-1 Il test è di tipo parametrico, cioè è valido a condizione che: Dottorato di medicina molecolare

64 - nella popolazione la variabile sia distribuita secondo la distribuzione di probabilità gaussiana; - il campione abbia la stessa varianza della popolazione La prima assunzione è generalmente vera dato il teorema del limite centrale (sempre che n sia sufficientemente grande e la forma della distribuzione della popolazione sia simmetrica o almeno non sia troppo asimmetrica) La seconda è vera se vale H0 (il campione appartiene alla popolazione), mentre non è valutabile altrimenti Dottorato di medicina molecolare

65 Esempio Confronto della pressione sistolica tra un gruppo di pazienti affetti da una nuova forma di arteriopatia con la popolazione generale (è l esempio precedente, sviluppato senza fare uso della informazione sulla deviazione standard della popolazione) H lavoro= i soggetti considerati, affetti da una rara malattia delle arterie hanno pressione arteriosa (sistolica) diversa dalla popolazione generale L ipotesi è nata osservando che i primi casi diagnosticati avevano valori pressori molto elevati H0= media della popolazione: pressione sistolica 145 mmhg test a due code (sebbene l ipotesi di lavoro sia indirizzata maggiormente verso un rialzo pressorio, non ho informazioni sufficientemente forti da scegliere un test ad una coda) errore 1 tipo =005 numerosità campionaria non modificabile poichè sono inclusi tutti i pazienti disponibili Non è stata calcolata la potenza statistica Dottorato di medicina molecolare

66 Test statistico: test t(confronto tra una media campionaria e la media della popolazione, senza dati sulla deviazione standard della popolazione) Requisiti del test scelto: La deviazione standard della misura della pressione della popolazione non è nota La distribuzione della variabile nella popolazione è gaussiana, pertanto anche piccoli campioni saranno distribuiti secondo tale distribuzione Dottorato di medicina molecolare

67 I dati individuali: Obs pressure (mmhg) Dottorato di medicina molecolare

68 Le statistiche campionarie N 15 Mean Std Deviation Variance I parametri necessari per il test µ=145 mmhg s= Std Deviation Il valore della statistica t (errore 1 tipo <= 0,05 e test a due code, 14 gl) = 2,145 Dottorato di medicina molecolare

69 Il calcolo del test t 14 = (X - µ)/ (s/ n) t 14 = ( ) / (107/ 15) = = 1,496 Conclusione = non rifiuto l ipotesi nulla Dottorato di medicina molecolare

70 Intervallo di confidenza basato sul test t Possiamo anche definire un intervallo di confidenza della media campionaria basandoci sul test e sulla distribuzione t L intervallo di confidenza è definito in modo tale da soddisfare la seguente equazione: [X - t gl,α/2 *(s/ n)] < µ < [X + t gl,α/2 *(s/ n)] Dove: t gl,α/2 = valore della funzione t con il numero dato di gradi di libertà corrispondente all errore di 1 tipo scelto Limite fiduciale superiore = X + t gl,α/2 *(s/ n) Limite fiduciale inferiore = X - t gl,α/2 *(s/ n) Dottorato di medicina molecolare

71 Esempio: calcolo dell intervallo di confidenza Risultati: N 15 Media campionaria 1491 mmhg (calcolo omesso) µ=145 mmhg s= 1072 mmhg Il valore della statistica t (errore 1 tipo <= 0,05 e test a due code, 14 gl) = 2,145 Limite superiore = ,145 *( 1072/ 15) = 154,56 mmhg Limite inferiore = ,145 *( 1072/ 15) = 143,71 mmhg Dottorato di medicina molecolare

72 Estrazione di 50 campioni di numerosità 20 da una distribuzione gaussiana con µ=0 e δ ignota L errore standard è stato calcolato in base alla distribuzione t Le barre rappresentano l intervallo di confidenza al 95% Si noti che le barre sono di ampiezza diversa tra loro µ ID Dottorato di medicina molecolare

73 Confronto tra due campioni indipendenti test t Il caso dei campioni con la stessa varianza Nel caso del confronto tra due campioni indipendenti il test è costruito per valutare la probabilità (data H0) della differenza osservata tra le medie dei due campioni, correggendo per l errore standard Il calcolo della differenza tra le due medie non pone difficoltà x = (X 1 X 2 ); Il calcolo dell errore standard richiede l individuazione di un valore comune della varianza Questo valore può essere stimato se i due campioni appartengono alla stessa popolazione (H0) oppure a due popolazioni diverse (H1) ma con varianza uguale In tal caso si potrà calcolare uno stimatore comune dell errore standard Dottorato di medicina molecolare

74 Dottorato di medicina molecolare Nel caso di due campioni con varianza comune, lo stimatore migliore della varianza comune è la media delle due varianze campionarie, pesata per il numero di gradi di libertà di ciascun campione ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σ Σ = + + = n n x x x x n n s n s n S = somma delle devianze / gradi di libertà Si consideri che: n n x x var σ = σ + Quindi ES(X 1 X 2 ) = (s 2 /n 1 + s 2 /n 2 ) = s 2 * (1/n 1 + 1/n 2 ) t gl = (X 1 X 2 ) / ES(X 1 X 2 ) = (X 1 X 2 ) / [ s 2 * (1/n 1 + 1/n 2 )]

75 Esempio: In un laboratorio si intende confrontare l effetto di due differenti diete sulla crescita di ratti La tabella indica l incremento di peso conseguito in 60 giorni H lavoro: la dieta 1 consente una più veloce aumento di peso H0: le due diete sono uguali per quanto riguarda l aumento di peso Test a 2 code Errore di primo tipo= 005 Numerosità campionaria definita in base al numero di animali già trattati con le due diete Errore di 2 tipo non misurato Test t-student (confronto tra medie di 2 campioni indipendenti) requisiti La distribuzione del peso degli animali è gaussiana Gli animali sono dello stesso ceppo, si suppone quindi che la varianza del peso sia la stessa e che le due diete non modifichino la varianza comune Dottorato di medicina molecolare

76 I dati: Dieta 1 Dieta X 1 = 1200 X 2 = 1010 n 1 = 12 n 2 = 7 Dottorato di medicina molecolare

77 S 2 = {Σ(x 1 X 1 ) 2 + Σ(x 2 X 2 ) 2 } / [(n 1 + n 2-2)] Σ(x 1 X 1 ) 2 = 5032,00 Σ(x 2 X 2 ) 2 = 2552,00 S 2 = { } / 17 = ES(X 1 X 2 ) = s 2 * (1/n 1 + 1/n 2 ) ES(X 1 X 2 ) = * (1/12 + 1/7) = = 1004 t 17 = ( ) / 1004 = 189 p=0076 Dottorato di medicina molecolare

78 Il test t può essere agevolmente calcolato utilizzando la funzione testt di Excel (o analoghi) La stessa funzione effettua il test t nelle tre diverse condizioni, assegnando i codici appropriati al campo Tipo (1= appaiato; 2 non appaiato omoscedastico; 3: non appaiato eteroscedastico) Dottorato di medicina molecolare

79 Calcolo dell intervallo di confidenza sulla differenza tra le medie test t L intervallo di confidenza viene calcolato rispetto alla differenza delle medie campionarie Indichiamo tale differenza come X [ X - t gl,α/2 *(s/ n)] < (x 1 x 2 ) < [ X + t gl,α/2 *(s/ n)] Dove: t gl,α/2 = valore della funzione t (con il numero dato di gradi di libertà) corrispondente all errore di 1 tipo scelto s: deviazione standard comune n: (1/n 1 + 1/n 2 ) Limite fiduciale superiore = X + t gl,α/2 *(s/ n) Limite fiduciale inferiore = X - t gl,α/2 *(s/ n) Dottorato di medicina molecolare

80 Calcolo dell intervallo di confidenza (continua dall esempio precedente) [ X - t gl,α/2 *(s/ n)] < (x 1 x 2 ) < [ X + t gl,α/2 *(s/ n)] X = (x 1 x 2 ) = 190 t 17,005/2 = 2110 ES(X 1 X 2 ) = ES( X) = 1004 Limiti di confidenza= 190 ± 2110 *1004 = -22; 402 Dottorato di medicina molecolare

81 Confronto tra due campioni appaiati E (X 1 X 2 ) = µ 1 - µ 2 Ma s s 2 2 < δ δ 2 2 Calcolo differenze d tra le osservazioni appaiate d 1 = x 1 - x 2 calcolo quindi media e varianza di d, usando le formule consuete Calcolo quindi la statistica t con gl= (nosservazioni 1) Dottorato di medicina molecolare

82 I dati trattamento placebo diff Differenza media = - 1,30 n = 10 S 2 = Σ(d 1 D) 2 / (n) = 186,1 / 9 = 20,68 ES(d) = s 2 / 1/n = 20,68 / 10 = 2,068 = 1,438 t 9 = -1,30 / 1,438 = - 0,90 p=039 Dottorato di medicina molecolare

83 Calcolo dell intervallo di confidenza sulla differenza tra le medie L intervallo di confidenza viene calcolato rispetto alla differenza media [D - t gl,α/2 *(s/ n)] < (x 1 x 2 ) < [D + t gl,α/2 *(s/ n)] Dove: t gl,α/2 = valore della funzione t (con il numero dato di gradi di libertà) corrispondente all errore di 1 tipo scelto s: deviazione standard della differenza n = numero di osservazioni Limite fiduciale superiore = D + t gl,α/2 *(s/ n) Limite fiduciale inferiore = D - t gl,α/2 *(s/ n) Dottorato di medicina molecolare

84 Calcolo dell intervallo di confidenza (continua dall esempio precedente) D = - 1,30 T 9,005/2 = 2262 ES(D) = 1,438 Limiti di confidenza= -1,30 ± 2262*1,438 = -4,55; 1,95 Dottorato di medicina molecolare

85 La verifica dei requisiti di normalità sarà considerata in una delle prossime lezioni In modo approssimato si può: 1 tenere conto che la distribuzione di campionamento è sempre normale quando i campioni sono grandi n> 30 garantisce la anormalità della distribuzione dei campioni anche se la distribuzione di base è asimmetrica 2 Disegnare un istogramma, che deve essere simmetrico 3 Utolizzare una procedura (grafici QQ o PP in SPSS) che effettua il test di normalità Dottorato di medicina molecolare

86 Dottorato di medicina molecolare

87 Il caso di due campioni con varianze diverse esula da questo programma (si può comunque affrontare con i test non parametrici, considerati nelle prossime lezioni Dottorato di medicina molecolare