La casualità nello spazio o nel tempo: la distribuzione di Poisson

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1 La casualità nello spazio o nel tempo: la distribuzione di Poisson

2 Cosa potrebbero rappresentare questi punti? o Organismi o eventi presenti in una certa area Per esempio, ci interessa capire come avviene un processo di colonizzazione Per esempio, ci interessa capire se gli avvistamenti di una specie sono distribuiti casualmente nello spazio geografico Potrebbero essere anche osservazioni lungo una linea, un volume, o nel tempo Per esempio, ci interessa studiare il posizionamento di uccelli lungo il filo della luce Per esempio, ci interessa capire se esistono disomogeneità non casuali in volumi Per esempio, ci interessa capire come sono distribuiti nel tempo eventi di estinzione, mutazioni, incidenti, avvistamenti, ecc. Ma possiamo anche pensare all esempio visto con i nidi e gli uccellini sopravvissuti se i singoli nidi non avessero lo stesso n, ovvero lo stesso valore massimo per la variabile o Lo spazio qui è rappresentato dall insieme di tutti i nidi

3 In pratica, consideriamo per esempio una situazione nella quale l interesse è rivolto verso la posizione di un certo numero di organismi in una certa area, e suddividiamo l area in sotto-aree uguali ORA: se la probabilità di presenza di un individuo è la stessa in ogni infinitesimo punto dello spazio, e se il fatto che ci sia un individuo in un infinitesimo punto dello spazio non modifica la probabilità che ce ne sia un altro nello stesso punto o nelle vicinanze allora la distribuzione di frequenza del numero di individui osservati in un campione di sottoaree uguali definite nell area studiata tenderà alla distribuzione di Poisson

4 La distribuzione di Poisson ha la seguente funzione dove X è la variabile numero di osservazioni per sotto-area, λ è il numero medio di individui per sotto-area, ed e è la base dei logaritmi naturali. E una distribuzione discreta E il limite della distribuzione binomiale quando n tende ad infinito e π tende a 0 o Immaginiamo che ogni sotto-area sia composta da infinite posizioni dove si può trovare un individuo, e che in ciascuna di queste infinite posizioni ipotetiche si possa al massimo osservare un solo individuo e con probabilità bassissima. Varia tra 0 e infinito E definita da un solo parametro, la media λ Si può approssimare con la distribuzione gaussiana per valori di λ non troppo piccoli (>10), sempre facendo attenzione che la gaussiana è continua e Poisson è discreta E fondamentale capire l analogia delle sotto-aree con frazioni di una curva o di una retta, con porzioni di volume o con intervalli di tempo

5 Più in generale, possiamo dire che la distribuzione di Poisson descrive il numero di successi in intervalli spaziali o temporali quando i successi si verificano indipendentemente l'uno dall'altro e con uguale probabilità in ogni punto dello spazio o del tempo il successo nell esempio visto è la presenza di ciascun individuo per sotto-area gli intervalli nell esempio di prima sono le sotto-aree cosa sono successi e intervalli in atre situazioni? Esempi di 3 diverse distribuzioni di Poisson

6 La differenza tra la distribuzione di Poisson e la gaussiana con stessa media e varianza

7 Altre variabili che dovrebbero seguire la distribuzione di Poisson se intervenisse solo il caso nel definire il valore che assume la variabile in diverse osservazioni o numero di semi di una pianta infestante per unità di volume di terriccio in vendita o numero di mutazioni per intervallo di tempo o numero di casi di influenza in un paese per settimana o numero di incidenti stradali mortali al mese in una città o numero di figli per individuo o numero di pezzi difettosi al giorno, o all'ora, prodotti da una fabbrica Quali sarebbero in questi casi le diverse osservazioni? o un certo numero di unità di volume di terriccio o un certo numero di intervalli di tempo o un certo numero di settimane nelle quali sono stati registrati i casi di influenza o Ecc.

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9 Esempio numerico di goodness-of-fit dove applicare la poissoniana I dati osservati sono i seguenti: La variabile potrebbe essere o pulcini sopravvissuti per nido, osservata in 20 nidi (il nido è l'unità campionaria) oppure o numero di piante per metro quadro, osservata in 20 sotto-aree di 1 m2 (la sotto-area è l'unità campionaria)

10 Tabella di frequenza: Attenzione alle numerosità attese troppo piccole!

11 Altro esempio di goodness-of-fit test con la poissoniana

12 Attenzione anche qui alle numerosità attese troppo basse quando si applica il test di χ quadrato

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