TRACCIA DI STUDIO. Sintesi dei dati. aver eliminato una uguale percentuale di valori estremi sia in basso sia in alto.

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1 TRACCIA DI STUDIO Sintesi dei dati Per concentrare l inormazione di una serie di misure, è necessario identiicare un indice in grado di rappresentare correttamente la tendenza di un enomeno con una perdita minima di inormazione. Una sintesi viene ornita dalla tendenza centrale che può essere espressa in varie orme con indicazioni speciiche. Medie analitiche Hanno signiicato solo per dati quantitativi. Si ottengono attraverso l elaborazione matematica di tutte le misure e rappresentano il valore da attribuire a ciascuna misura se queste ossero tutte uguali. Media aritmetica semplice Si tratta della media più nota e acile da calcolare. Viene sempre utilizzata salvo che: in presenza di misure di ordine di grandezza molto diverse; in presenza di valori estremi molto scostati o indeterminati. Media aritmetica ponderata È una media aritmetica che attribuisce a ogni valore un peso o importanza. Nei casi più semplici il peso è costituito dalla requenza dei singoli valori, in altri rangenti è determinato dall importanza che si vuole o si deve attribuire a ciascun valore. Media troncata Per ridurre l inluenza sulla media di dati molto scostati, la media aritmetica viene calcolata dopo aver eliminato una uguale percentuale di valori estremi sia in basso sia in alto. Media mobile Si tratta di una orma di correzione dei dati di una serie temporale per attenuare la variabilità casuale ed evidenziare la tendenza principale del enomeno. Media geometrica Si utilizza al posto della media aritmetica in presenza di misure di ordini di grandezza molto diversi o per dati ottenuti come indici (rapporti tra misure). Per il calcolo si utilizzano i logaritmi delle misure. Media armonica Di uso meno requente, si impiega in sostituzione della media aritmetica in presenza di valori estremi indeterminati (per esempio, tempi teoricamente ininiti). Medie o indici di posizione Forniscono indicazione sulla tendenza centrale senza ricorrere all elaborazione di tutte le misure. Di elezione per le misure qualitative, sono spesso impiegate anche per misure quantitative. Moda Si tratta del valore o la modalità più rappresentato. È l unico indice utilizzabile per le misure nominali. Mediana Indicata per misure almeno ordinali, si usa al posto della media aritmetica in presenza di valori

2 estremi molto scostati. Occupa il valore centrale di una serie ordinata di misure e la divide in due parti uguali (50% con valore ineriore e 50% con valore superiore). Quantili In analogia alla mediana, sono i valori che suddividono in modo preordinato una serie di dati. I più utilizzati sono: quartili (Q 1, Q 2, Q 3 ), che dividono in 4 parti; decili (D 1, D 2,, D 9 ), che dividono in 10 parti; percentili (P 1, P 2,, P 99 ), che dividono in 100 parti; Q 2, D 5 e P 50, coincidono con la mediana. Indici di tendenza e distribuzione dei dati In una distribuzione unimodale e simmetrica, i tre indici moda, media e mediana sono coincidenti. Quanto più i tre indici si scostano tanto più la distribuzione diventa asimmetrica. ESERCIZI 1. Un indice di tendenza centrale è un valore che si usa per sintetizzare l inormazione contenuta nell insieme dei dati; si deve ricavare in modo tale da minimizzare la perdita delle inormazioni. Vero o also? 2. Gli indici di tendenza centrale si dividono in due gruppi: medie di posizione e medie analitiche. Vero o also? 3. La moda è il miglior indice di tendenza centrale per dati di tipo semiquantitativo? 4. Gli indici di tendenza centrale più indicati per sintetizzare dati di tipo quantitativo sono le medie di posizione. Commentare questa aermazione. 5. Calcolare moda, media aritmetica e mediana delle seguenti misure (mm): x neonati pretermine vengono classiicati in relazione al rischio di sviluppare problemi neurologici: Livello di rischio 0 Nullo 7 1 Scarso 18 2 Medio 30 3 Alto 12 Deinire il tipo di variabile e calcolare gli indici di tendenza centrale utilizzabili. 7. Un controllo dei vetrini allestiti da un tecnico di laboratorio ha evidenziato i seguenti motivi di inadeguatezza del preparato: Causa di inadeguatezza 1 Scarsità del materiale 8 2 Materiale amoro 14 3 Materiale mal strisciato 4 4 Dietti di issazione o di colorazione 18 Deinire il tipo di classiicazione e calcolare gli indici di tendenza centrale utilizzabili.

3 8. Cinque dietologi rilevano la circonerenza addominale (indice di valutazione del grasso addominale) delle loro pazienti prima di un trattamento dimagrante. Noto il valore medio delle pazienti di ciascun dietologo: Dietologo A B C D E N. pazienti Circonerenza media è possibile determinare la circonerenza media generale di tutte le pazienti? 9. Trovare la media più opportuna delle seguenti concentrazioni anticorpali: 50, 2, 50, 10, 10 e Date le seguenti misure (giorni di degenza dei ricoverati in un reparto ospedaliero): a) organizzare una distribuzione di requenza con 10 classi; b) calcolare le percentuali di ciascuna classe; c) determinare entro quante giornate di ricovero è compreso l 80% dei pazienti; d) calcolare media, mediana e moda della distribuzione di requenze. 11. Sette pazienti sono stati sottoposti a una prova da sorzo la cui durata massima è limitata a 30 minuti. Un paziente ha desistito dopo 3 minuti, un altro dopo 10, un altro ancora dopo 15, due dopo 20, mentre per gli altri due la prova è stata sospesa al tempo limite stabilito. Determinare il tempo medio di resistenza dei sette pazienti. 12. I ricoverati di un reparto di degenza in quattro anni consecutivi sono risultati rispettivamente: 214, 285, 246 e 321. Calcolare media aritmetica e media geometrica degli indici di variazione relativa di anno in anno e veriicare quale delle due medie risulta più corretta per rappresentare i dati. 13. Dimostrare che Q 3 e P 75 sono coincidenti. 14. Calcolare la media geometrica e la mediana dei seguenti valori quantitativi: 7, 5, 0, 12, 2, 9, 120 e Data la seguente distribuzione di requenze: ml calcolare, arrotondando al secondo decimale: a) media aritmetica, utilizzando anche media arbitraria A e unità arbitraria u; b) P 62.

4 RISPOSTE 1. Vero. Un indice di tendenza centrale deve essere compreso nell intervallo dei valori o tra le modalità rilevate e ornire indicazioni su dove le misure tendono a concentrarsi, con il minimo errore possibile. 2. Vero. Le medie di posizione sono: la moda (il valore più requente di una distribuzione) e la mediana (il valore che occupa la posizione centrale, cioè che divide esattamente a metà il numero delle osservazioni). Le medie analitiche, calcolabili solo in presenza di misure quantitative, sono invece indici ottenuti analizzando tutti i dati; sono state prese in considerazione la media aritmetica, la media geometrica e la media armonica. 3. La moda è l unico indice di tendenza centrale calcolabile per dati di tipo qualitativo. Le misure di tipo semiquantitativo possono essere ordinate; quindi, oltre alla moda, è possibile calcolare la mediana, che è il miglior indice per tale tipo di misure. 4. In presenza di misure quantitative che contengono il massimo delle inormazioni, è preeribile applicare indici di tendenza centrale di tipo analitico. Tuttavia, le medie di posizione possono essere comunque calcolate; solo in alcune circostanze è preeribile l uso della mediana o dei quantili. 5. La prima serie (x) rappresenta i valori con cui si riscontra la variabile in esame; la seconda ( ) la requenza con cui si presenta ogni valore. Trattandosi di misure quantitative di rapporto (millimetri), possono essere calcolati tutti gli indici di tendenza centrale. La moda in questo caso non esiste, in quanto non igura un valore più rappresentato degli altri (al massimo, si potrebbe parlare di distribuzione bimodale per la presenza dei valori 4 e 7 entrambi con requenza 5). La media aritmetica si può calcolare come media ponderata per la presenza di misure ripetute; il totale delle osservazioni è la sommatoria delle requenze (N ): x i x i 1 x 1 2 x 2 3 x 3 8 x Il calcolo della mediana richiede l ordinamento dei dati della variabile x.; non bisogna conondere la variabile con le requenze. Occorre anche calcolare le requenze cumulate: x cum La posizione della mediana risulta N La 12 a osservazione ha valore 4, la mediana è quindi 4 mm Più correttamente, si dovrebbe parlare di mutabile in quanto ci rieriamo a misure di tipo semiquantitativo (ordinale), dal momento che due valori (o meglio, modalità) si possono dierenziare in base a un criterio di priorità. I valori numerici 0, 1, 2 e 3 rappresentano una orma di codiica di tali modalità e assumono un signiicato di ordinamento. La tendenza centrale in una classiicazione ordinale può essere espressa come moda e mediana. La moda risulta livello di rischio medio. La mediana, dal momento che i dati sono già ordinati, si calcola utilizzando le requenze cumulate:

5 Livello di rischio cum 0 Nullo Scarso Medio Alto La posizione della mediana coincide con l osservazione 34 localizzata nella modalità livello medio. Moda e mediana, in questa casistica, risultano coincidenti. 7. La classiicazione è qualitativa (nominale o categorica) in quanto tra due misure è possibile solo un conronto uguale/diverso e non di priorità; la numerazione attribuita alle modalità della mutabile (variabile qualitativa) è una codiica di signiicato esclusivamente classiicatorio e non di ordine di importanza. L unico indice di tendenza centrale utilizzabile è la moda. La requenza maggiore è 18, per cui la classiicazione corrispondente, dietti di issazione o di colorazione, rappresenta la moda della casistica. 8. Per ogni gruppo sono noti circonerenza media e numero di pazienti. Una proprietà della media permette, con tali inormazioni, di calcolare la media generale come media ponderata delle medie: x i x i i Le concentrazioni sono espresse su scala di rapporto e quindi si possono usare tutti gli indici di tendenza centrale. La media aritmetica, pari a 20.67, risulta molto spostata verso i valori alti e lascia quattro valori al di sotto del suo. Non sembra un indice di tendenza centrale adatto. Inatti, i dati sono piuttosto dierenziati per ordini di grandezza (d altra parte, trattandosi di concentrazioni, i valori sono compatibili con diluizioni costanti). Appare più opportuno il calcolo della media geometrica. Con i dati del problema è acile il calcolo in base alla deinizione: MG Abitualmente, però, la MG è calcolata come media aritmetica dei logaritmi dei valori, ponderata in questo rangente, essendo in presenza di misure ripetute: 2 ln 2 2 ln 10 2ln 50 ln 2 ln 10 ln ln MG da cui MG e Il tipo di logaritmi da utilizzare è libero; in questo caso, come si comprende dal ormalismo, sono stati impiegati i logaritmi naturali. In alternativa, potrebbe essere presa in considerazione la mediana, la cui posizione è N e il valore a) Il primo passo consiste nell identiicare i valori minimo (1) e massimo (18) e quindi deinire il campo di variazione della variabile ( ). Il numero delle classi è già stabilito in 10 per cui si tratta di deinirne le opportune ampiezze. Per coprire tutto l intervallo, sarebbe suiciente una ampiezza 1.7; dal momento però che l intervallo può essere più ampio di quello strettamente necessario, sembra conveniente optare per una ampiezza più maneggevole nei calcoli, per esempio c 2, e coprire un intervallo di valori da 0 a 19. In considerazione delle domande successive, dopo aver eettuato lo spoglio dei dati, è consigliabile completare la tabella con le requenze percentuali, di composizione e cumulate:

6 Classe Limiti Conini Spoglio % cum % cum x c II IIII IIII I IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII I IIII IIII IIII IIII III IIII IIII IIII IIII IIII II IIII IIII II III I b) Il calcolo delle percentuali è stato anticipato completando la tabella della distribuzione in classi: ; c) Si deve ricorrere al calcolo analitico dell 80 centile (P 80 ): i 80 pos N (N ) 1 00 cum P 80 L 1 c gg. 27 med d) La media calcolata come media ponderata è: x i c x i gg Per mediana e moda si utilizzano le ormule per le distribuzioni di requenze: N N cum 2 mediana L 1 c gg; 23 me d 1 moda L 1 c (27 23) (27 12) gg.

7 11. La variabile è il tempo di resistenza. Il quadro delle misure rilevate risulta: Minuti > 30 2 Totale 7 Il tempo di 30 minuti è il limite imposto alla prova da sorzo; in realtà, per i pazienti che hanno terminato la prova, la durata di resistenza è un valore indeterminato, comunque superiore a 30 e, agli eetti dei tempi di osservazione, è teoricamente ininito. In questo caso, la media più opportuna è la media armonica MA che utilizza il reciproco dei dati: i MA i i 1 x i Quindi il tempo medio di resistenza dei sette pazienti è stato di circa 12 min. Come indice di tendenza centrale si sarebbe potuto prendere in considerazione la mediana (20 min) corrispondente alla 4 a posizione. 12. Gli indici di variazione relativa risultano: (33.18%); (13.68%); (30.49%) La media aritmetica degli indici di variazione vale (16.66%), mentre per la media geometrica si ottiene: ln ln ln ln MG MG e (14.48%). La semplice osservazione dei valori medi non permette di stabilire quale dei due sia il migliore. Solo attraverso una veriica si può stabilire quale rappresenta meglio la variazione complessiva. P Applicando la ormula N F N I , si ottiene: N F con la media aritmetica, N F con la media geometrica. Mentre la media aritmetica degli indici di variazione porta a un valore inale superiore a quello osservato, con la media geometrica si perviene al valore inale corretto. La tendenza centrale di una serie di indici relativi, e di percentuali, va calcolata come media geometrica.

8 13. Le posizioni dei due quantili risultano coincidenti in quanto: per singole misure Q 3 (N 1) 3 4 e P (N 1) (N 1) ; per distribuzioni in classi Q 3 N 3 4 e P N N Per le misure intervallari non si può usare la media geometrica, che richiede una scala di rapporto; comunque, non poteva essere utilizzata per la presenza di un valore nullo. È possibile, invece, calcolare la mediana, che risulta il miglior indice di tendenza centrale: la media aritmetica in questa situazione è sconsigliabile per la presenza di una misura, 120, particolarmente scostata dalle altre. Dopo aver ordinato i valori in ordine crescente: Posizione 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a Valore Posizione della mediana N La mediana si localizza tra la quarta e la quinta posizione e il valore corrisponde alla media dei valori in tali posizioni: L uso della media arbitraria A comporta la trasormazione della variabile x in x A, dove A rappresenta un valore qualsiasi, ma per opportunità di calcolo è conveniente arla coincidere con il valore centrale della classe centrale (se il numero delle classi è dispari, come in questo caso con A 22) o con una delle due centrali (se il numero delle classi è pari). L unità u comporta invece la trasormazione u x A dove c rappresenta l ampiezza di classe. c L uso di queste due metodiche ha un signiicato se le classi sono tutte di uguale ampiezza e appare vantaggioso per la sempliicazione dei calcoli nel caso di elaborazioni manuali. Per il calcolo della media con i vari modi, è opportuno completare la tabella come segue: Classe Conini cum x c x c x A (x A) u u a) Media aritmetica: x i i x i 45 con media arbitraria:

9 x ( x A) A N 45 con unità u: x u c A N 45 Il risultato è lo stesso con i tre metodi di calcolo. b) P Posizione: N Valore:

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