Sviluppo in serie di Fourier

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1 ... Sviluppo in serie di Fourier Consideriamo una funzione periodica f di periodo T: f(t) = f(t+t) t Qualunque funzione periodica di periodo T può essere rappresentata mediante lo sviluppo in serie di Fourier: f(t) = n= n= c ne jnω t dove ω = π e jωt = cos(ωt)+j sin(ωt) T Lo sviluppo in serie di Fourier può essere rappresentato con formule equivalenti: f(t) = n= n= c ne jnω t f(t) = a + n= n= r n cos(nω t+ϕ n ) f(t) = a + n= n= a n cos(nω t)+b n sin(nω t) Ilterminecostantea èdettocomponente continuaecoincide conilvalore medio di f(t) in un periodo. Qualunque funzione periodica è quindi scomponibile nella somma di infinite funzioni sinusoidali con periodo (componente continua), T, T/,..., T/n,... o equivalentemente con pulsazione, ω, ω,..., nω,... Le componenti sinusoidali di un segnale periodico sono dette armoniche. La sinusoide r cos(ω t+ϕ ) avente lo stesso periodo della funzione f(t) è detta armonica fondamentale. La sinusoide r n cos(nω t + ϕ n ) si dice n-esima armonica. R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA

2 .. ANALISI ARMONICA. Consideriamo come esempio un impulso rettangolare periodico: [rad/s] radici Esempio di segnale periodico Segnale Segnale periodico e somma delle armoniche R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA

3 .. ANALISI ARMONICA. Ampiezza moduli Segnale periodico e somma delle armoniche Segnale periodico e somma delle armoniche R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA

4 .. ANALISI ARMONICA. 4 Ampiezza moduli Segnale periodico e somma delle armoniche Segnale periodico e somma delle armoniche R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA

5 .. ANALISI ARMONICA. 5 Consideriamo come esempio un impulso triangolare periodico: [rad/s] radici Esempio di segnale periodico Segnale Segnale periodico e somma delle armoniche R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA

6 .. ANALISI ARMONICA. 6 Ampiezza moduli Segnale periodico e somma delle armoniche Segnale periodico e somma delle armoniche R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA

7 .. ANALISI ARMONICA. 7 ase Tipicamente le prime armoniche di un segnale periodico presentano un ampiezza r n superiore rispetto alle armoniche con pulsazione più elevata. Le armoniche ad alta frequenza di segnali che variano rapidamente hanno tipicamente un ampiezza maggiore rispetto alle corrispondenti armoniche di segnali che variano lentamente. Impulso periodico rettangolare(b) e triangolare(r) Segnale Spettro impulso periodico rettangolare(b), triangolare(r).4. Ampiezza armoniche Armonica [n] R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA

8 .. ANALISI ARMONICA. 8 Trasformata di Fourier Anche le funzioni f(t) non periodiche si possono scomporre nella somma di funzioni sinusoidali. In questo caso si parla di trasformata di Fourier: F(jω) = + f(t)e jωt dt F(jω) è una funzione complessa della variabile reale ω. La funzione F(jω) si dice spettro di f(t). Il modulo di F(jω) è detto spettro di ampiezza. L argomento di F(jω) è detto spettro di fase. Detta F(s) la trasformata di Laplace di f(t), la trasformata di Fourier si ottiene direttamente come: F(jω) = F(s) s=jω La funzione f(t) si ricava dallo spettro F(jω) tramite l antitrasformata di Fourier: f(t) = + F(jω)e jωt dω π L antitrasformata di Fourier è l analogo per le funzioni non periodiche della serie di Fourier: f(t) = n= n= c ne jnω t Perlefunzionif(t)realièsufficienteconoscereF(jω)perω inquanto vale la relazione: f(t) = + [ F(jω)e jωt +F (jω)e jωt] dω π Lo spettro F(jω) si rappresenta solitamente con due grafici: ) Il diagramma delle ampiezze rappresenta il modulo F(jω) espresso solitamente in db in funzione del log ω. F(jω) db = Log F(jω) ) Ildiagramma delle fasirappresentaargf(jω)(inradiantioingradi) in funzione del log ω. R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA

9 .. ANALISI ARMONICA. 9 Fase Mentre per i segnali periodici si ha uno spettro discreto, per i segnali non periodici lo spettro è continuo. Valgono comunque considerazioni analoghe a quelle dei segnali periodici. Tipicamente segnali che variano rapidamente hanno spettri di ampiezza significativi anche alle alte frequenze. Impulso rettangolare(b) e triangolare(r).6.4. Segnale Impulso rettangolare(b), triangolare(r) Spettro delle Ampiezze [db] ω R. Zanasi - Controlli Automatici - /. ANALISI ARMONICA