Meccanica. 10. Pseudo-Forze. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia

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1 Meccanica 10. Pseudo-Forze Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 17 febbraio 2017

2 Traccia 1. Le Pseudo-Forze 2. Esempi 3. Pseudo-Forze nel Riferimento Terrestre 2

3 Cambiamento di Sistema di Riferimento Come cambia la descrizione del moto passando da un SdR a un altro? In particolare, come cambia la descrizione del moto passando da un SdR inerziale a un SdR non-inerziale? Per quanto riguarda la cinematica, sappiamo che: a = a + a T + a C ovvero l accelerazione a nel SdR fisso è la somma dell accelerazione a nel SdR mobile, dell accelerazione di trascinamento a T e dell accelerazione complementare a C. 3

4 SdR in Moto Traslatorio Rettilineo Uniforme Supponiamo che il riferimento O x y z sia inerziale. Se il moto di Oxyz rispetto a O x y z è traslatorio, rettilineo e uniforme, si ha: a T = a }{{} O + ω }{{} r + }{{} ω ( ω r) = a = a a C = 2 }{{} ω v = 0 0 Il punto materiale ha la medesima accelerazione nei 2 SdR. 4

5 SdR in Moto Traslatorio Rettilineo Uniforme (II) Se il punto P non è soggetto a forze la sua accelerazione è nulla in O x y z : Perché O x y z è inerziale. Poiché a = a, l accelerazione del punto P è nulla anche in Oxyz: Quindi anche il riferimento Oxyz è inerziale. Inoltre, essendo la forza F e la massa m indipendenti dal SdR, dalla relazione a = a, troviamo che il II principio della dinamica vale in entrambi i riferimenti: F = m a, F = m a 5

6 SdR in Moto Accelerato Se il moto di Oxyz rispetto a O x y z non è traslatorio rettilineo e uniforme e il SdR O x y z è inerziale, allora il SdR Oxyz non è inerziale, poiché risulta: a = a + a T + a C a Se l accelerazione è nulla in O x y z, non lo è in Oxyz: P ha accelerazioni diverse nei due SdR; Tuttavia P è soggetto alla stessa forza nei due SdR: La forza non dipende dal Sistema di Riferimento. Segue che il II principio della dinamica vale nel SdR O x y z ma non nel SdR Oxyz: F = m a, F m a Stessa forza, diverse accelerazioni nei due SdR. 6

7 SdR in Moto Accelerato (II) Spesso tuttavia risulta più semplice o più comodo operare in un SdR non inerziale. Come si può scrivere la legge della dinamica in un SdR non inerziale? Possiamo provare a scriverla sommando alla risultante delle forze F un termine vettoriale Φ che rappresenta la risultante delle pseudo-forze che si presentano nel SdR non inerziale: F = m a, F + Φ = m a Dalla relazione a = a a T a C otteniamo: F + Φ = m a = m a m a T m a C = = F m a T m a C da cui: Φ = m a T m a C 7

8 SdR in Moto Accelerato (III) Ovvero, definite le pseudo-forze: Φ T = m a T = m î a O + ω r + ω ( ω r) ó Φ C = m a C = 2m ω v dette rispettivamente pseudo-forza di trascinamento e pseudo-forza complementare o pseudo-forza di Coriolis, si ottiene: Φ = Φ T + Φ C F + Φ = m a Si può scrivere la legge fondamentale della dinamica in un SdR non inerziale sommando alla risultante F delle forze la risultante Φ delle pseudo-forze. 8

9 SdR in Moto Accelerato (IV) Nell espressione della pseudo-forza di trascinamento: Φ T = m a T = m î a O + ω r + ω ( ω r) ó il termine: Φ centrifuga = m ω ( ω r) è detto pseudo-forza centrifuga, mentre il termine: Φ Eulero = m ω r è detto pseudo-forza di Eulero (anche pseudo-forza trasversale o pseudo-forza azimutale). 9

10 SdR in Moto Accelerato (V) Le pseudo-forze Φ (dette anche forze inerziali, forze apparenti, forze fittizie o forze di d Alambert): Non dipendono dalla presenza di altri corpi con cui il punto materiale P interagisce, dunque non sono vere forze. Sono tuttavia misurabili con un dinamometro (a dispetto degli attributi pseudo, fittizie e apparenti ) nel SdR non-inerziale; Sono assenti nei SdR inerziali: N. B.: La pseudo-forza centrifuga, essendo una pseudo-forza è sempre assente nei SdR inerziali. Devono essere considerate e sommate vettorialmente alle forze F quando si affronta un problema di fisica in un SdR non-inerziale. 10

11 Esempio SdR che Trasla Rispetto a un SdR Inerziale Moto Rettilineo Uniforme Consideriamo un punto materiale libero sul pavimento di un treno che si muove a velocità costante: F = F P + R Φ = Φ n = 0 T + Φ C Φ [ T = m a O + ω ] r + ω ( ω r ) ω 0, a O = 0 Φ = 0 Se il punto P è inizialmente in quiete rispetto al treno, esso continua a rimanere in quiete rispetto al treno: O x y z : v v O a 0 F = 0 Oxyz : v 0 a 0 F + Φ = 0 Φ C = 2m ω v 11

12 Esempio SdR che Trasla Rispetto a un SdR Inerziale Moto Rettilineo Accelerato. Punto Libero Consideriamo un punto materiale libero sul pavimento di un treno che frena con accelerazione costante a O : Φ F = F P + R = Φ T + Φ C n = 0 Φ [ T = m a O + ω ] r + ω ( ω r ) ω 0, a O 0 Φ = m a O Φ C = 2m ω v Quindi detto t = 0 l istante in cui il treno inizia a frenare: O x y z : v v O (0) a 0 F = 0 Oxyz : v = a O t a a O F + Φ = m ao Osservatore a terra: il punto P, inizialmente in moto con velocità v = v O (0), continua a muoversi con velocità v = v O (0). Osservatore sul treno: il punto P, inizialmente in quiete, inizia a muoversi in avanti a causa della pseudo-forza di trascinamento: Φ = Φ accelerazione del treno T = m a O massa del punto materiale 12

13 Esempio SdR che Trasla Rispetto a un SdR Inerziale Moto Rettilineo Accelerato. Punto Trattenuto Consideriamo un punto materiale trattenuto da una molla sul pavimento di un treno che frena con accelerazione costante a O : F = F P + R n + F e = F e 0 ω 0, a O 0 Φ = m a O Quindi: O x y z : v = v O = a O t a a O F = Fe 0 Φ = Φ T + Φ C Φ T = m [ a O + ω r + ω ( ω r ) ] Φ C = 2m ω v Oxyz : v = 0 a 0 F + Φ = Fe m a O = 0 Osservatore a terra: il punto P, inizialmente in moto con velocità v = v O (0), decelera a causa della molla che lo trattiene. Osservatore sul treno: il punto P, rimane in quiete in quanto la pseudo-forza di trascinamento è equilibrata dalla forza elastica della molla: F e = Φ T = m a O F e + Φ T = 0 13

14 Esempio SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale Punto Trattenuto, in Quiete nel SdR Mobile Consideriamo un punto materiale trattenuto da una molla sul pavimento di una giostra che ruota uniformemente. Supponiamo che il punto P sia in quiete rispetto alla giostra. Osservatore a terra: P si muove di moto circolare uniforme. La forza elastica (centripeta) della molla è uguale al prodotto della massa del punto per la sua accelerazione: F = F P + R n + F e = F e 0 ṡ = r ω F = m a = m ṡ2 r ˆn = m ω2 r ˆr OP = m ω 2 r }{{ OP } centripeta Per l osservatore a terra non sono elastica presenti altre forze. Per l osservatore a terra le forze non sono equilibrate: Se fossero equilibrate il moto sarebbe rettilineo e uniforme, non circolare. 14

15 Esempio SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale Punto Trattenuto, in Quiete nel SdR Mobile (II) Osservatore sulla giostra: P è in quiete. F + Φ = m ω 2 r }{{ OP m ω ( ω r } OP ) = }{{} centripeta centrifuga elastica = m ω 2 r OP + m ω 2 r OP = 0 La forza elastica (centripeta) della molla è equilibrata dalla pseudo-forza di trascinamento (centrifuga). Per l osservatore sulla giostra le forze sono equilibrate (la risultante è nulla). Il punto materiale può rimanere in quiete proprio perché la risultante è nulla. Φ = Φ T + Φ C Φ T = m [ a O + ω r + ω ( ω r ) ] Φ C = 2m ω v a O = 0 (moto rotatorio giostra), ω cost. (moto uniforme giostra), ω = 0, v = 0 (punto P in quiete). 15

16 Esempio SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale Punto Trattenuto, in Quiete nel SdR Mobile (III) Osservatore a terra: P si muove di moto circolare uniforme. Le forze non sono equilibrate: F = F P + R n + F e = F e = m ω 2 r OP 0 L accelerazione è diversa da zero e centripeta: F a = m = ω2 r OP = ṡ2 r ˆn 0 Osservatore sulla giostra: P è in quiete. Forze e pseudo-forze sono equilibrate: F + Φ = F P + R n + F e + Φ T = 0 L accelerazione è nulla (P rimane in quiete): a = F + Φ m = 0 SdR a terra: Forza centripeta: presente; Forza centrifuga: assente; Forza totale: non nulla; Moto: circolare uniforme. SdR della giostra: Forza centripeta: presente; Forza centrifuga: presente; Forza totale: nulla; Moto: assente. 16

17 Esempio SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale Punto Vincolato in una Scanalatura Radiale Consideriamo un punto materiale P vincolato da una scanalatura radiale sul pavimento di una giostra che ruota uniformemente. Osservatore a terra: P si muove lungo una traiettoria a spirale, sottoposto alla forza (tangenziale) del vincolo che si modifica nel tempo: F = R n = R n ĵ Osservatore sulla giostra: F + Φ = R n + Φ T + Φ C = m ω ( ω r OP ) La pseudo-forza di Coriolis è equilibrata dalla reazione vincolare della scanalatura: R n = Φ C = 2m ω v P si muove accelerando in direzione radiale lungo la scanalatura, soggetto alla pseudo-forza di trascinamento. Φ = Φ T + Φ C Φ T = m [ a O + ω r + ω ( ω r ) ] Φ C = 2m ω v a O = 0 (moto rotatorio giostra), ω cost. (moto uniforme giostra), ω = 0. 17

18 Dipendenza di g dalla Latitudine Se il SdR terrestre fosse inerziale, l accelerazione di caduta dei gravi, g, sarebbe determinata, in ogni luogo, soltanto dalla forza gravitazionale. In realtà il SdR terrestre non è perfettamente inerziale, innanzitutto a causa della rotazione attorno al proprio asse. Se un punto P sulla superficie terrestre è in quiete ( v = 0), la pseudo-forza di Coriolis è nulla, mentre la pseudo-forza di trascinamento (centrifuga) Φ T vale: Φ T = m ω ( ω r OP ) Φ = Φ T + Φ C Φ T = m [ a O + ω r + ω ( ω r ) ] Φ C = 2m ω v a O = 0 (moto rotatorio Terra), ω cost. (moto uniforme Terra), ω = 0, v = 0 (punto in quiete). 18

19 Dipendenza di g dalla Latitudine (II) Per la regola della mano destra (si veda figura), Φ T è perpendicolare all asse terrestre e giace nel piano individuato da P, O e N. Il modulo di Φ T è: Φ T = m ω 2 R cos θ La forza peso m g è la risultante dell attrazione gravitazionale m g e della pseudo-forza centrifuga Φ T : m g = m g + Φ T Separando le componenti parallela e perpendicolare a r OP si ha: { m g cos ϕ = m g Φ T cos θ m g sin ϕ = Φ T sin θ ω r OP = ω R cos θ ω ( ω r OP ) = ω 2 R cos θ 19

20 Dipendenza di g dalla Latitudine (III) { m g cos ϕ = m g Φ T cos θ m g sin ϕ = Φ T sin θ g cos ϕ = g Φ T m cos θ = g ω 2 R cos 2 θ g sin ϕ = Φ T m sin θ = ω2 R cos θ sin θ Poiché ϕ 2 mrad cos ϕ sin ϕ, si ha: g (θ) g (θ) ω 2 R cos 2 θ legge verificata sperimentalmente. All equatore risulta: g (0) m/s 2 g (0) m/s 2 ω 2 R m/s 2 Φ T = m ω 2 R cos θ 20

21 Ancora su Massa Inerziale e Massa Gravitazionale Per essere più precisi, la forza peso è data da: m (i) g = γ m(g) T m(g) ˆR m (i) R 2 ω ( ω r OP ) Se la massa inerziale non fosse proporzionale alla massa gravitazionale, allora la direzione della forza peso, nello stesso luogo, varierebbe al variare della massa del corpo. Misurando la costanza della direzione della forza peso al variare della massa si conferma sperimentalmente la proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale. 21

22 Effetti della Pseudo-Forza di Coriolis Deviazione verso Oriente dei Gravi in Caduta Libera In entrambi gli emisferi un corpo in caduta libera devia verso est. SdR terrestre (non inerziale): è l effetto della pseudo-forza di Coriolis: ω v è diretto verso ovest; Φ C = 2m ω v è diretto verso est. SdR inerziale: Il grave, se parte in quiete rispetto alla Terra, nel SdR inerziale ha una velocità iniziale v 0 verso est che non è modificata dalla gravità durante il moto di caduta. La velocità angolare ω = v0 R T +h perciò aumenta quando il grave diminuisce l altezza h, diventando superiore a quella terrestre. 22

23 Effetti della Pseudo-Forza di Coriolis Deviazione dei Moti sulla Superficie Terrestre Se invece un corpo si muove sulla superficie terrestre, è deviato: Verso destra (rispetto al verso del moto) nell emisfero Nord; Verso sinistra (rispetto al verso del moto) nell emisfero Sud. Φ C = 2m ω v emisfero nord: moto verso nord deviato verso est emisfero nord: moto verso sud deviato verso ovest 23

24 Effetti della Pseudo-Forza di Coriolis Deviazione dei Moti sulla Superficie Terrestre (II) Nei moti in direzione est-ovest la pseudo-forza di Coriolis, oltre alla componente orizzontale ha anche una componente verticale. Φ C = 2m ω v emisfero nord: moto verso est deviato verso sud emisfero nord: moto verso ovest deviato verso nord 24

25 Effetti della Pseudo-Forza di Coriolis Deviazione dei Moti sulla Superficie Terrestre (III) Maggior consumo delle sponde destre dei fiumi (emisfero Nord). Maggior consumo delle rotaie destre dei binari dei treni (emisfero Nord). Moto di cicloni e anticicloni. Il vento è deviato: Verso destra nell emisfero nord; Verso sinistra nell emisfero sud. Φ C = 2m ω v ciclone anticiclone ciclone anticiclone emisfero nord emisfero sud 25

26 Effetti della Pseudo-Forza di Coriolis Pendolo di Foucault Il piano di oscillazione di un pendolo ruota nel tempo: Osservatore nel SdR inerziale: il piano di oscillazione del pendolo rimane costante (perché forza e velocità giacciono sullo stesso piano), ma la Terra ruota rispetto a esso. Osservatore nel SdR terrestre: il piano di oscillazione del pendolo ruota perché in ogni movimento il pendolo è deviato verso destra (nell emisfero Nord) dalla pseudo-forza di Coriolis. curvatura verso destra esagerata nella figura 26

27 Effetti della Pseudo-Forza di Coriolis Pendolo di Foucault (II) Calcoliamo la rotazione del piano di oscillazione del pendolo nel SdR inerziale: Il piano di oscillazione del pendolo, al polo, compie un giro completo in un giorno sidereo. All equatore il piano di oscillazione del pendolo non ruota. Alla latitudine intermedia ϕ la rotazione dα del piano di oscillazione del pendolo è minore della rotazione terrestre dα : ds = r dα ds = DP dα = r sin ϕ dα dα = sin ϕ r ds = sin ϕ r r dα = sin ϕ dα 27

28 Effetti della Pseudo-Forza di Coriolis Pendolo di Foucault (III) Otteniamo quindi: {}}{{}}{ dα = (sin ϕ) dα rotazione del piano del pendolo rotazione della Terra ω = ω sin ϕ velocità angolare della Terra velocità angolare di rotazione del piano del pendolo A 45 di latitudine, il piano del pendolo ruota in un giorno sidereo di un angolo pari a: 2 α =

29 Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia domenico.galli@unibo.it