NUMERI INTERI, RAZIONALI E IRRAZIONALI DOTATI DI SEGNO (POSITIVO O NEGATIVO)

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1 NUMERI RELATIVI NUMERI INTERI, RAZIONALI E IRRAZIONALI DOTATI DI SEGNO (POSITIVO O NEGATIVO) L INSIEME DEI NUMERI RELATIVI Z COMPRENDE I NUMERI INTERI POSITIVI E NEGATIVI RAPPRESENTAZIONE SULLA RETTA DEI NUMERI RELATIVI: -1,5-1/2 0,5 1, OPERAZIONI: CARATTERISTICHE: MODULO (O VALORE ASSOLUTO) SEGNO IN RELAZIONE AL PROPRIO SEGNO DUE NUMERI RELATIVI POSSONO ESSERE: CONCORDI DISCORDI CORRISPONDE AL NUMERO PRIVATO DEL SEGNO ED INDICA L ENTITÀ DEL NUMERO HANNO LO STESSO SEGNO (ENTRAMBI + O ENTRAMBI - ) UNO HA SEGNO + E UNO HA SEGNO - DUE NUMERI DISCORDI AVENTI UGUALE VALORE ASSOLUTO SI DICONO OPPOSTI (O SIMMETRICI) SOMMA ALGEBRICA: Sopprimo il segno di operazione e tolgo le parentesi seguendo 2 regole: 1) Se tolgo il segno di addizione il numero dentro la parentesi mantiene il suo segno. (+3) + (-2) = +3-2 = + 1 2) Se tolgo il segno di sottrazione il numero dentro la parentesi cambia di segno. (+3) - (-2) = = + 5 oppure (+3) - (+2) = +3-2 = + 1 MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI: La moltiplicazione (o la divisione) si effettuano moltiplicando (o dividendo) i moduli, il segno del prodotto (o quoto) è dato dalle regole in tabella. POTENZA: il modulo della potenza di un numero relativo è la potenza del modulo ed il segno è sempre positivo tranne quando il numero relativo ha segno negativo e la potenza ha esponente dispari. X / :

2 IDENTITA UGUAGLIANZA DI DUE ESPRESSIONI (DI CUI ALMENO UNA LETTERALE) CHE È VERIFICATA DA QUALUNQUE VALORE ATTRIBUITO ALLA LETTERA O ALLE LETTERE CHE VI FIGURANO. 2x + x = 3x QUESTA SCRITTURA RISULTA VERA PER QUALUNQUE VALORE DI x (x=0,1,2,3, ) EQUAZIONE È UNA UGUAGLIANZA DI DUE ESPRESSIONI (DI CUI ALMENO UNA LETTERALE) VERIFICATA SOLO DA PARTICOLARI VALORI ATTRIBUITI ALLA LETTERA O ALLE LETTERE CHE VI FIGURANO. 4x + x = 10 QUESTA SCRITTURA RISULTA VERA SOLO PER x = 2 infatti 4 * = 10 x 2 1 = 2x MEMBRO 2 MEMBRO LA LETTERA VIENE DETTA INCOGNITA (PERCHÉ BISOGNA TROVARE QUANTO VALE!) NELL ESEMPIO DI LATO è LA x I TERMINI CHE NON CONTENGONO LETTERE SONO DETTI TERMINI NOTI NELL ESEMPIO DI LATO LO SONO: -1 E +2 IL GRADO DELL EQUAZIONE è IL GRADO COMPLESSIVO DEL MONOMIO DI MASSIMO GRADO CHE VI COMPARE NELL ESEMPIO DI LATO IL MONOMIO DI MASSIMO GRADO È x 2, QUINDI IL GRADO DELL EQUAZIONE È 2. I VALORI CHE RENDONO VERA L EQUAZIONE SI DICONO RADICI DELL EQUAZIONE. IN QUESTO CASO LO È AD ESEMPIO IL VALORE +3 INFATTI: x 2 1 = = 8 E 2x + 2 = 2*3 + 2 = 8 EQUAZIONI EQUIVALENTI SONO EQUAZIONI CHE HANNO LE STESSE SOLUZIONI. 2x -3 = x E x + 14 = 5x + 2 ENTRAMBE RISULTANO SODDISFATTE PER x= 3

3 COME RISOLVERE LE EQUAZIONI TRASFORMO L EQUAZIONE DI PARTENZA IN UN ALTRA AD ESSA EQUIVALENTE DI SEMPLICE SOLUZIONE. PER TRASFORMARLA MI SERVO DI DUE PRINCIPI DI EQUIVALENZA: PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: ADDIZIONANDO O SOTTRAENDO AD ENTRAMBI I MEMBRI DI UN EQUAZIONE UNA STESSA ESPRESSIONE ALGEBRICA LETTERALE (O UNO STESSO NUMERO) OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE. PRENDIAMO 2X -3 = X CHE HA SOLUZIONE X=3. AGGIUNGIAMO AD ENTRAMBI I MEMBRI +4 2X = X + 4 SOMMIAMO ALGEBRICAMENTE I TERMINI NOTI 2X + 1 = X + 4 QUEST ULTIMA EQUAZIONE HA ANCORA SOLUZIONE X = 3. CONSEGUENZE: 1) LA LEGGE DEL TRASPORTO: UN TERMINE PUÒ ESSERE PORTATO DAL PRIMO AL SECONDO MEMBRO (E VICEVERSA) SEMPLICEMENTE CAMBIANDOLO DI SEGNO. PRENDIAMO 2X -3 = 5 CHE HA SOLUZIONE X=4. TRASPORTO -3 DAL PRIMO MEMBRO AL SECONDO MEMBRO CAMBIANDOLO DI SEGNO: 2X = 5 + 3, CALCOLO: 2X = 8. LA SOLUZIONE è ANCORA X=4 2) LA SOPPRESSIONE DI TERMINI UGUALI: SE IN ENTRAMBI I MEMBRI DI UN EQUAZIONE CI SONO DUE TERMINI UGUALI, ESSI POSSONO ESSERE SOPPRESSI. PRENDIAMO 2X +3 = 6 +3 CHE HA SOLUZIONE X=3. SOTTRAENDO AL PRIMO E AL SECONDO MEMBRO 3 OTTENIAMO: 2X = 6. LA SOLUZIONE E ANCORA X=3

4 COME RISOLVERE LE EQUAZIONI TRASFORMO L EQUAZIONE DI PARTENZA IN UN ALTRA AD ESSA EQUIVALENTE DI SEMPLICE SOLUZIONE. PER TRASFORMARLA MI SERVO DI DUE PRINCIPI DI EQUIVALENZA: SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: MOLTIPLICANDO O DIVIDENDO ENTRAMBI I MEMBRI DI UN EQUAZIONE PER UNO STESSO NUMERO (DIVERSO DA ZERO) OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA. PRENDIAMO 2X -3 = X CHE HA SOLUZIONE X=3. MOLTIPLICHIAMO ENTRAMBI I MEMBRI PER 2 (2X 3)*2 = X*2, VIENE: 4X 6 = 2X QUEST ULTIMA EQUAZIONE HA ANCORA SOLUZIONE X = 3. CONSEGUENZE: 1) IL CAMBIAMENTO DEI SEGNI: CAMBIANDO IL SEGNO AD OGNI TERMINE DI UN EQUAZIONE OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA. PRENDIAMO L EQUZIONE -2X=2. LA SOLUZIONE E X=-1 (INFATTI (-2)*(-1) = 2) CAMBIANDO I SEGNI A TUTTI I TERMINI A PRIMO E A SECONDO MEMBRO OTTENGO: 2X=-2 ANCORA UNA VOLTA X=-1 E LA SOLUZIONE: 2(-1)=-2 2) LA RIDUZIONE A FORMA INTERA: SE L EQUAZIONE CONTIENE DELLE FRAZIONI POSSO RIDURRE L EQUAZIONE A TERMINI INTERI MOLTIPLICANDO TUTTI I SUOI TERMINI PER IL m.c.m DI TUTTI I DENOMINATORI. PRENDIAMO L EQUZIONE 6/3X=1/2. FACCIO IL MINIMO COMUNE MULTIPLO TRA I DENOMINATORI mcm(3;2)=6 RISCRIVO LE FRAZIONI CON QUESTO DENOMINATORE: 12/6X=3/6. PER IL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA MOLTIPLICO TUTTI I TERMINI PER UNO STESSO NUMERO (IN QUESTO CASO 6) E OTTENGO ANCORA UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA: 12X=6 (CIOE UN EQUAZIONE DI UGUALE SOLUZIONE). LA SOLUZIONE E X=1/2.

5 MONOMI ESPRESSIONE LETTERALE CONTENENTE NUMERI E LETTERE LEGATE DALLA SOLA MOLTIPLICAZIONE. I NUMERI (CON SEGNO) SONO DETTI COEFFICIENTI E LE LETTERE (CON ESPONENTE) SONO DETTE PARTE LETTERALE MONOMI SIMILI: HANNO STESSA PARTE LETTERALE MONOMI UGUALI: HANNO STESSA PARTE LETTERALE E STESSO COEFFICIENTE MONOMI OPPOSTI-: HANNO STESSA PARTE LETTERALE E COEFFICIENTI OPPOSTI (STESSI NUMERI E SEGNO OPPOSTO) GRADO RELATIVO AD UNA LETTERA: E L ESPONENTE CON CUI COMPARE QUELLA LETTERA NEL MONOMIO GRADO COMPLESSIVO DEL MONOMIO: E LA SOMMA DEGLI ESPONENTI DELLE LETTERE DEL MONOMIO POLINOMI COSTITUITO DA PIU MONOMI LEGATI DA SOMMA ALGEBRICA (SOMMA O SOTTRAZIONE) RIDOTTO: SE NON CONTIENE MONOMI SIMILI BINOMIO: UN POLINOMIO RIDOTTO CONTENENTE 2 TERMINI TRINOMIO: UN POLINOMIO RIDOTTO CONTENENTE 3 TERMINI QUADRINOMIO: UN POLINOMIO RIDOTTO CONTENENTE 4 TERMONI E DETTO COMPLETO RISPETTO AD UNA LETTERA: SE TALE LETTERA COMPARE CON TUTTI I SUOI GRADI DA QUELLO DI GRADO MASSIMO A QUELLO DI GRADO ZERO. ORDINATO RISPETTO AD UNA LETTERA: SE TALE LETTERA COMPARE NEL POLINOMIO CON ESPONENTI DISPOSTI IN ORDINE (CRESCENTE: DAL PIU PICCOLO AL PIU GRANDE, O DECRESCENTE). NON IMPORTA CI SIANO TUTTI I GRADI. OMOGENEO SE TUTTI I MONOMI DEL POLINOMIO HANNO LO STESSO GRADO COMPLESSIVO GRADO RELATIVO AD UNA LETTERA: E L ESPONENTE CON CUI COMPARE QUELLA LETTERA NEL POLINOMIO GRADO COMPLESSIVO DEL POLINOMIO: E IL MAGGIORE TRA I GRADI COMPLESSIVI DEI MONOMI CHE COMPONGONO IL POLINOMIO

6 SOMMA ALGEBRICA POSSO SOMMARE SOLO MONOMI SIMILI TRA LORO DEI MONOMI SIMILI SOMMO SOLO LA PARTE DEI COEFFICIENTI E RISCRIVO SENZA MODIFICARLA LA PARTE LETTERALE. - 3 ab + 5 a 2 2 ab 2 a 2 = (cerco ed evidenzio i monomi simili) - 3 ab + 5 a 2 2 ab 2 a 2 = (sommo i coefficienti e riscrivo la parte letterale) = (- 3 2 ) ab + (5 2) a 2 = (svolgo i conti) = 5 ab + 3 a 2 PRODOTTO NON IMPORTA SE I MONOMI SONO SIMILI O MENO. TRA DUE MONOMI: MOLTIPLICO I COEFFICIENTI E RISCRIVO TUTTE LE LETTERE PRESENTI NEI DUE MONOMI PRESE UNA SOLA VOLTA CON ESPONENTE PARI ALLA SOMMA DEGLI ESPONENTI. - 3 ab * 5 a 2 = (moltiplico i segni, poi i numeri e infine riscrivo tutte le lettere una sola volta sommando gli esponenti) = (- *+) (3*5) a 1+2 b = - 15 a 3 b TRA UN POLINOMIO E UN MONOMIO: MOLTIPLICO IL MONOMIO PER TUTTI I TERMINI DEL POLINOMIO SEGUENDO LA REGOLA DELLA MOLTIPLICAZIONE TRA DUE MONOMI. - 3 ab * (5 a 2-2bc) = (moltiplico il monomio per il primo termine e poi per il secondo termine del polinomio mettendo SEMPRE tra le due moltiplicazioni il segno +) = (- 3 ab) * (5 a 2 ) + (- 3 ab) * (- 2 bc) = = (svolgo la moltiplicazione tra due monomi) (- *+) (3*5) a 1+2 b + (-*-) (3*2) (ab 1+1 c) = - 15 a 3 b + 6 ab 2 c TRA DUE BINOMI: MOLTIPLICO CIASCUN TERMINE DEL PRIMO POLINOMIO PER TUTTI I TERMINI DEL SECONDO POLINOMIO SEGUENDO LE REGOLE DELLA MOLTIPLICAZIONE TRA DUE MONOMI. ( 2a + 3ab) * (5 a 2-2bc) = (moltiplico il primo termine del primo binomio per il secondo binomio poi moltiplico il secondo termine del primo binomio per il secondo binomio mettendo tra le due moltiplicazioni sempre il segno +) = (2a ) * (5 a 2-2bc) + (+ 3 ab) * (5 a 2-2bc) = (svolgo la moltiplicazione monomio per binomio come il caso precedente) = (2a) * (5 a 2 ) + (2a) * (- 2 bc) + (+ 3 ab) * (5 a 2 ) + (+3 ab) * (- 2 bc) = (svolgo la moltiplicazione tra due monomi) = (+ *+) (2*5) a (+*-) (2*2) (ab 1+1 c) + (+*+) (3*5) a 1+2 b + (+*-) (3*2) (ab 1+1 c) = +10 a 3-4 abc +15 a 3 b - 6 ab 2 c

7 QUOZIENTE NON IMPORTA SE I MONOMI SONO SIMILI O MENO. TRA DUE MONOMI: DIVIDO I COEFFICIENTI E RISCRIVO TUTTE LE LETTERE PRESENTI NEI DUE MONOMI PRESE UNA SOLA VOLTA CON ESPONENTE PARI ALLA DIFFERENZA DEGLI ESPONENTI a 4 b : 5 a 2 = (divido i segni, poi i numeri e infine riscrivo tutte le lettere una sola volta sottraendo gli esponenti) = (- : +) (10*5) a 4-2 b = - 2 a 2 b TRA UN POLINOMIO E UN MONOMIO: DIVIDO TUTTI I TERMINI DEL POLINOMIO PER IL MONOMIO SEGUENDO LA REGOLA DELLA DIVISIONE TRA DUE MONOMI. (15 a 2 b 6abc) : (- 3 ab) = (divido il primo termine del polinomio per il monomio e poi il secondo termine del polinomio per il monomio mettendo SEMPRE tra le due divisioni il segno +) = (15 a 2 b) : (- 3 ab) + (- 6 abc) : (- 3 ab) = = (svolgo la divisione tra due monomi) (+: -) (15*3) a 2-1 b (-*-) (6*3) (a 1-1 b 1-1 c) = - 5 a 1 b a 0 b 0 c = c POTENZA NON IMPORTA SE I MONOMI SONO SIMILI O MENO. MONOMIO: LA POTENZA DI UN MONOMIO E UN MONOMIO CHE HA COME COEFFICIENTE LA POTENZA DEL COEFFICIENTE E COME PARTE LETTERALE TUTTE LE LETTERE DEL MONOMIO PRESE UNA SOLA VOLTA CON ESPONENTI PARI AL PRODOTTO DELL ESPONENTE DELLA LETTERA PER L ESPONENTE DELLA POTENZA. (- 3 a 3 b) 2 = (- 3) 2 a 3*2 b 1*2 = +9 a 6 b 2 BINOMIO: PER FARE LA POTENZA DI UN BINOMIO DEVO MOLTIPLICARE IL BINOMIO PER SE STESSO SEGUENDO LE REGOLE DELLA MOLTIPLICAZIONE DEI POLINOMI VISTE ALLA PAGINA PRECEDENTE OPPURE POSSO APPLICARE LE FORMULE NOTE COME SEGUE: ( 2a + 3b) 2 = (2a) 2 + (3b) * (2a) * (3b) ( 2a - 3b) 2 = (2a) 2 + (-3b) 2-2 * (2a) * (3b) (ATTENZIONE: la differenza è in un segno!)