Ipotesi statistiche (caso uno-dimensionale) Ipotesi poste sulla (distribuzione di) popolazione per raggiungere una decisione sulla popolazione stessa

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1 Ipotesi statistiche (caso uno-dimensionale) Ipotesi poste sulla (distribuzione di) popolazione per raggiungere una decisione sulla popolazione stessa L ipotesi che si vuole testare: H 0 (ipotesi nulla) L ipotesi che si prende in caso si scarti H 0 : H 1 (ipotesi alternativa) es. Moneta truccata? p=prob. testa. H 0 : p = 0.5, H 1 : p > 0.5, oppure H 1 : p = 0.7, H 1 : p

2 Test di significatività 1. Si suppone H 0 vera 2. Si considera il campione con le statistiche di H 0 3. Si verifica se il campione differisce significativamente dalla popolazione Per limitare l errore, allargare il campione Livello di Significatività α: Regione critica z : P ( z > z 0 ) < α Evento con probabilità < α Evento improbabile 76

3 La distribuzione normale standard P ( 1.96 z 1.96) = 0.95 P ( z 2.576) = 0.99 P ( 3 z 3) = P ( z 3.291) = Nota: L evento di essere al di fuori di (-1.96, 1.96) è improbabile, se è stato scelto il 5% di livello di significatività. Test ad una e a due code L ipotesi alternativa H 1 influenza l ampiezza della regione critica Test a due code. Zona critica comprende entrambi gli estremi (es. Distr. normale) Test ad una coda. Zona critica comprende un solo estremo (es. Distr. normale ad una coda, o Distr. χ 2 ) 77

4 Esempio In una certo laghetto un ecologo ha trovato parecchi pesci appartenenti ad una certa specie. Nel laghetto vicino, dopo alcune ore di ricerca ha recuperato solo un pesce che assomiglia alla specie del laghetto vicino. I pesci del primo laghetto hanno lunghezza media 12 cm e varianza 0.64 cm 2, con distribuzione apparentemente normale. La lunghezza del nuovo pesce è 13.3 cm. Il nuovo pesce è della stessa razza degli altri? Soluzione: H 0 = il pesce è della stessa razza dei pesci dell altro laghetto, con media 12cm H 1 = Il pesce è dello stesso tipo, ma di razza diversa, con media 12cm Test a due code. Sotto H 0, la lunghezza standardizzata è z = ( )/0.8 = Usando un livello di significatività 5%, la regione critica è data dai valori di z tali che z > 1.96, e quindi il nostro valore di z non rientra in tale intervallo. Sulla base di questo test possiamo confermare, con una confidenza del 95%, che il pesce trovato appartiene alla razza dell altro laghetto. 78

5 Intervalli di confidenza (uno-dimensionali) Stime per µ incognita: intervallo Campione {x 1,..., x N } da distr. N (µ, σ 2 ) ( X µ)/(σ/ N) è N (0, 1) Da cui P 1.96 X «µ σ/ N 1.96 = 0.95 X 1.96 σ N µ X σ N disuguaglianza vera con probabilità 95% 79

6 Test sulla media di una popolazione (unodim.) x 1,..., x n campione di popolazione in N (µ, σ 2 ) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (due code) nx Statistica (t di Student): t = x µ 0 s/ n, x = 1 n j=1 s 2 = 1 n 1 x j nx (x j x) 2 j=1 Se t t (n 1) (α)? Scarta H 0 Test (una coda): t 2 = ( x µ 0) 2 s 2 /n t 2 (t (n 1) ` α 2 = n( x µ 0 )(s 2 ) 1 ( x µ 0 ) )2? 80

7 Generalizzazione della t di Student: Test sulla media µ x 1, x 2,..., x n camp. da popolazione multinormale N p (µ, Σ) Distanza Statistica T 2 di Hotelling «1 1 T 2 := ( x µ 0 ) n S ( x µ 0 ) T = n( x µ 0 )S 1 ( x µ 0 ) T x R p, S R p p, µ 0 R p, 1 n S Cov( x) = 1 n Σ Se T 2 troppo grande H 0 : µ = µ 0 scartata 81

8 La distribuzione T 2 T 2 è distribuita come T 2 α = (n 1)p (n p) F p,n p(α) F ν1,ν 2 distribuzione (di Fisher): variabile casuale : χ 2 ν 1 /ν 1 χ 2 ν 2 /ν 2 α = P T 2 > «(n 1)p n p F p,n p(α) 82

9 Esempio. Sia X = p = 2, n = 3 campione multivariato da distribuzione multinormale. Sia µ 0 = [9, 5] x T = 4 8 5, S = , S 1 = /3 T 2 si comporta come una distribuzione (3 1)2/(3 2)F 2,3 2, e si ha T 2 = n( x µ 0 )S 1 ( x µ 0 ) T = 3[8 9, 6 5] = / Per un livello di sign. 10%: (3 1)2 (3 2) F 2,3 2 = 4F 2,1 = T 2 è decisamente sotto il livello critico. Non si scarta µ 0. 83

10 Regione di confidenza multivariata p = 1 intervallo di confidenza p > 1 regione di confidenza: regione di valori probabili per un insieme di parametri Esempio: regione di confidenza al 100(1 α)% per media µ: h i P n( x µ) T S 1 ( x µ) Tα 2 = 1 α T 2 α = (n 1)p (n p) F p,n p(α) (distribuzione multinormale) La regione di confidenza comprende tutti i µ 0 per i quali il test T 2 non scarta l ipotesi H 0 : µ = µ 0 per lo stesso α 84

11 Esempio (Es. n.5.3): Radiazione di forni a microonde. Radiazione misurata con sportello chiuso (x 1 ) ed aperto (x 2 ) x 1 = 4 x 1, x 2 = 4 x 2, n = x T A S = A (n 1)p n p F p,n p(α) = = 6.62 α = 0.05 n(x x)s 1 (x x) T

12 *: µ T = (0.562, 0.589) : x 0.7 Intervallo di confidenza al 95% x x 1 Un test H 0 α = 0.05 : µ T = (0.562, 0.589) non scarterebbe l ipotesi, con 86

13 Affermazioni simultanee su intervalli di confidenza Informazioni sulle singole componenti: X in N p (µ, Σ) Z = Xa = a 1 X 1 + a 2 X a p X p a R p µ Z = E[Z] = a T µ σ 2 Z = V ar[z] = a T Σa Z in N (a T µ, a T Σa) Z 1, Z 2,..., Z n campione (Z j = a T X j ). Statistiche campionarie: z = a T x s 2 z = a T Sa Al variare di a: Intervalli di confidenza simultanei da intervalli di a T µ 87

14 Intervalli di confidenza per componenti Fissato a. Intervallo di confidenza per µ Z = a T µ: z t n 1 (α/2) s z n µ Z z + t n 1 (α/2) s z n z = a T x, s 2 z = a T Sa dalla valutazione della t di Student: t 2 = ( z at µ) 2 s 2 z /n t 2 n 1(α/2) Esempio: a T = [1, 0,..., 0] Nota: la confidenza globale non è 1 α 88

15 Intervalli T 2 di confidenza simultanei Nota: una regione di confidenza è ottenuta dall insieme dei a T µ tali che t 2 sia piccolo per ogni a: X 1,..., X n campione casuale da N p (µ, Σ). Allora, per ogni a, l intervallo s (a T x l, a T p(n 1) x + l) l = (n p) F p,n p(α) at Sa n contiene a T µ con probabilità 1 α. Nota: L intervallo vale per qualsiasi a (comb. lineari di µ 1,..., µ p ) Nota: Intervalli più grandi 89

16 Esempio precedente. T 2 -Intervalli di confidenza al 95%: Per x 1 : (a = (1, 0)) (.516,.612) Per x 2 : (a = (0, 1)) (.555,.651) Nota: Intervalli distinti (uno-alla-volta) con t di Student Per x 1 : (a = (1, 0)) (.527,.601) Per x 2 : (a = (0, 1)) (.564,.639) 90

17 x x 1 91

18 Altre tecniche Metodo di Bonferroni r r (a T at Sa x γ n, at Sa at x + γ n ) γ = t n 1 α 2p Grandi campioni (n p grande)... (n 1)p n p F p,n p(α) χ 2 p(α) 92