Lezione 14. Polinomi a coefficienti interi

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Maria Teresa Spada
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1 Peequt: Nume m Lezo - Lezoe 4 Polom a coeffcet te I queta lezoe tudamo le fattozzazo d olom a coeffcet azoal Cacuo d quet uò eee tafomato u olomo a coeffcet te tamte la moltlcazoe e u umeo teo o ullo Qud og olomo d Q [ X ] è aocato ad u olomo d Z [ X ], co l quale ha comue le adc e tutt fatto ducbl Nel oto tudo oamo qud lmtac a codeae olom a coeffcet te, tato ù che, come coegueza del omo eucato, (d cu omettamo la dmotazoe) og olomo o cotate d Z [ X ] oede ua fattozzazoe cu tutt fatto aategoo a Z [ X ] Teoema 4 (Teoema d Gau) Sa f ( X ) Z [ X ], e ao g( X ), h( X ) Q [ X ] tal che f ( X ) = g( X ) h( X ) Alloa ete * c Q tale che, oto g * ( X ) = cg( X ) e abba che g * * ( X ), h ( X ) Z [ X ] (olte, atualmete, a f ( X ) = g ( X ) h ( X )) Eemo 4 Sa * h X c h X ( ) = ( ), 4 f ( X ) = X + X + 4 Z [ X ] Alloa f ( X ) = g( X ) h( X ), ove 8 g( X ) = X +, h( X ) = X + 9 S eda c =, c = Alloa e g X 8 X X X h X = X + = X + Z X f ( X ) = g( X ) h( X ) = g( X ) h( X ) = g ( X ) h ( X ) ( ) = + = + 4 Z[ ], ( ) 9 6 [ ], Dal Teoema 4, co u facle agoameto duttvo, deduce l eguete Coollao 4 Sa f ( X ) Z [ X ] o cotate Sa f ( X ) = ( X ) ( X ) ua ua fattozzazoe Q [ X ] Alloa etoo ( X ) = c ( X ) Z [ X ] e c,, c f ( X ) = ( X ) ( X ) Q tal che, e og =,,, Petato, l oblema della fattozzazoe d u olomo Q [ X ] coduce al oblema d detemae, e u olomo d Z [ X ], ua fattozzazoe olom aateet a Z [ X ] I aagg oo eguet:

2 ) Dato f ( X ) Q [ X ], detema m Z tale che f ( X ) = mf ( X ) Z [ X ] ) S tova ua fattozzazoe d f ( X ) Z [ X ] ) S tafoma tale fattozzazoe ua fattozzazoe d f ( X ) dvdedo uo de fatto e m Pe l aaggo fodametale ) etoo vald metod, alcabl co buoa geealtà I bae al mo coollao al Teoema d Ruff (Coollao 7), detemae fatto ducbl d gado uo d u olomo d Z [ X ] equvale a detemae le adc Q Poozoe 44 (Eteza d adc azoal) Sa α = (,,, MCD(, ) = ) f ( X ) = a X Z [ X ], o cotate e a Z ua ua adce Alloa dvde a ed dvde a = Dmotazoe: Pe ote ha = f ( α ) = a = a Qud α = = = a = a = a + a + a = = = Il umeo teo dvde tutta la omma, ed ache cacuo de tem d dc =,, Segue che dvde ache l'addedo a Eedo ed com, vtù della Poozoe 64, egue che dvde a Iolte, ache dvde tutta la omma, ed ache cacuo de tem d dc =,, Segue che dvde ache l'addedo a Da cò deduce come oa che dvde a Eemo 45 Sa f ( X ) = X + X Z[ X ] Se α = (, Z,, MCD(, ) = ) è ua adce d f ( X ), alloa dvde a = ed dvde,,,,, Segue che α,,, Oa f () = + = a = Duque { } { } f ( ) = = 4 f = + = f = = 4 4 Qud f ( X ) o ha adc azoal Pe l ecodo coollao al Teoema d Ruff (Coollao 9), eedo deg( f ) =, egue che f ( X ) è ducble Q[ X ]

3 Teoema 46 (Cteo d ducbltà d Eete) Sa Sa u umeo mo tale che f ( X ) = a X Z [ X ] o cotate = a) o dvde a ; b) dvde a e og =,, ; c) o dvde a Alloa f ( X ) è ducble Q [ X ] Dmotazoe: I bae alla a), a, qud deg( f ) = Suoamo e audo che, elle ote aegate, f ( X ) a ducble Q[ X ] Alloa f ( X ) è odotto d due olom o cotat d Q[ X ] I bae al Teoema 4 etoo qud g( X ), h( X ) Z [ X ] o cotat tal che f ( X ) = g( X ) h( X ) Sao g( X ) b X, h( X ) =c X, ove b Z e og =,, e c Z = = e og =,, Suoamo olte che deg( g) =, deg( h) =, coì che b, c Alloa, bae alla fomula del gado e l odotto d olom, = +, ove, Iolte a = b c Dalla codzoe b) e dalla defzoe d umeo mo = (Defzoe 7) egue che dvde b oue dvde c ; d'alta ate, vtù d c), o uò dvdel etamb Poamo uoe, eza ledee la geealtà, che dvda b e o dvda c Oa, ha a = b c, e qud, bae ad a), o dvde vuoto, e duque ammette u mmo S ot che S ha b Alloa l'eme { } / b N è o a = b c = b c = b c + b c j + j= = = Oa, e la codzoe b), dvde la omma a e, e defzoe d, dvde b e og =,,, e qud dvde m added della omma Segue che dvde ache l'addedo b c Cò, eò, è moble, dato che è mo e o dvde euo de due fatto b e c Abbamo coì tovato la cotaddzoe cecata, e ovato che f ( X ) è ducble Q[ X ] Eemo 47 Pe og umeo mo ed og teo otvo, l olomo f ( X ) = X + Z [ X ] oddfa le codzo a), b), c) del Teoema 46, ed è qud ducble Q[ X ] Cò mota che, cotaamete a quato avvee C [ X ] (dove, bae al Coollao 6, olom ducbl hao tutt gado uo) o R [ X ] (dove, bae alla Poozoe 9, olom ducbl hao gado al ù due), Q [ X ] etoo olom ducbl d qualuque gado otvo 4 Eemo 48 Il olomo f ( X ) = 5X + X 4X + 6 Z [ X ] è ducble Q [ X ] Ifatt eo vefca le ote del Cteo d Eete co = Oevazoe 49 Il cteo d Eete è u cteo olo uffcete, e o eceao, d ducbltà Q [ X ] I alt tem, u olomo f ( X ) Z [ X ] uò eee ducble Q [ X ] u o vefcado le codzo a), b) e c) e alcu mo Come abbamo vto ell'eemo

4 45, l olomo f ( X ) = X + X Z [ X ] è ducble Q[ X ], eò o vefca la codzoe b) e alcu mo, oché eu mo dvde l teme oto Itoducamo oa l metodo della duzoe modulo Defzoe 4 Sa f ( X ) = a X Z [ X ] Sa u umeo mo Alloa l olomo = dce la duzoe modulo d f ( X ) f ( X ) = [ a ] X Z [ X ] = Pe emlctà, el eguto dcheemo le cla d eto co u oaego Eemo 4 Sa f ( X ) = X + X 5X + 4 Z [ X ] Alloa la ua duzoe modulo è ( ) = + Z [ ], la ua duzoe modulo è la ua duzoe modulo 5 è ( ) = + + Z [ ], ( ) = Z 5[ ] Poozoe 4 (Iducbltà e duzoe modulo ) Sa mo tale che o dvde a Sa = f ( X ) = a X Z [ X ] e a u f ( X ) = a X Z [ X ] la duzoe d f ( X ) modulo Alloa, e f ( X ) è ducble Z [ X ], f ( X ) è ducble Q [ X ] Dmotazoe: Suoamo che f ( X ) a ducble Q [ X ] Alloa, vtù del Teoema 4, etoo g( X ), h( X ) Z [ X ], d gad, ettvamete, tal che f ( X ) = g( X ) h( X ) Sao b e c coeffcet detto d g( X ) ed h( X ) ettvamete Alloa a = bc, qud o dvde é b é c Petato b, c Z, e qud deg( f ) =,deg( g) = Iolte ha Qud f ( X ) è ducble Z [ X ] f ( X ) = g( X ) h ( X ) = Eeczo 4* Povae che l olomo 4 f ( X ) = X + X + Z [ X ] è ducble Q [ X ] (Suggemeto e lo volgmeto Povae che la ua duzoe f ( X ) modulo è ducble Z [ X ], vefcado, co ootu calcol, che ea o decomoe é el odotto d u fattoe leae ed u fattoe d gado, é el odotto d due fatto d gado due)

5 Oevazoe 44 Il cteo d Eete ed l metodo d duzoe modulo hao, geeale, cam d alcabltà dve Ad eemo, e f ( X ) = X + 6X +, l cteo d Eete, alcato e =, c coete d cocludee che f ( X ) è ducble Q [ X ] Pe coto, o è utle effettuae la duzoe modulo ( f ( X ) = X Z [ X ] è ducble) o la duzoe modulo ( f ( X ) = X + Z [ X ] è ducble, quato oede la adce Z )

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