LA SIMILITUDINE ( ), ( ) = (, )

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1 Sched di mtemtic Prof. Angelo Angeletti Liceo Scientifico G.Glilei Mcert LA SIMILITUDINE L similitudine è un prticolre trsformzione geometric, nel pino o nello spzio, che conserv i rpporti tr le distnze. Questo vuol dire che, per ogni similitudine f, esiste un numero rele positivo k tle che per ogni coppi di punti ( A, B ). Tringoli simili ( ), ( ) = (, ) d f A f B k d A B Figur 1 Due tringoli sono simili se hnno ordintmente i tre ngoli congruenti. Ne seguono i seguenti corollri: Corollrio 1. Due tringoli equilteri sono simili Corollrio 2. Due tringoli rettngoli, con un ngolo cuto congruente, sono simili. Corollrio 3. Due tringoli isosceli, con gli ngoli l vertice congruenti, sono simili. Si possono dimostrre tre criteri di similitudine: 1. Due tringoli ABC e DEF sono simili se hnno due ngoli ordintmente congruenti. 2. Due tringoli ABC e DEF sono simili se hnno due lti ordintmente in proporzione e gli ngoli fr essi compresi congruenti. Ad esempio se AB = BC e gli ngoli in B e in E sono uguli llor i due tringoli sono DE EF simili. Corollrio. Due tringoli rettngoli sono simili se hnno i cteti in proporzione 3. Due tringoli ABC e DEF sono simili se hnno i tre lti ordintmente proporzionli, ossi se AB BC AC = =. DE EF DF 1

2 L ELLISSE In geometri, un'ellisse è un figur che ssomigli d un cerchio llungto in un direzione. Quest figur è un esempio di sezione conic e può essere definit come il luogo dei punti, in un pino, l cui somm delle distnze d due punti fissi dti (detti fuochi) è costnte. Secondo le leggi di Keplero, l'orit di un pinet è un'ellisse, con il Sole in uno dei due fuochi. Figur 2 Se i due fuochi coincidono, si h un circonferenz, che può considerrsi quindi un cso prticolre di ellisse. Il segmento AB che pss di due fuochi è detto sse mggiore ed è nche il più lungo segmento contenuto nell'ellisse. Il segmento CD pssnte per il centro, ortogonle ll'sse mggiore, è l'sse minore. Il semisse mggiore è un delle metà dell'sse mggiore; prte dl centro, pss ttrverso un fuoco e v fino ll'ellisse. Anlogmente il semisse minore è metà dell'sse minore. I due ssi sono l'equivlente per l circonferenz del dimetro, mentre i due semissi sono l'equivlente del rggio. L dimensione e l form di un'ellisse sono determinte d due costnti, dette convenzionlmente e. L costnte è l lunghezz del semisse mggiore; l costnte è l lunghezz del semisse minore. Se fissimo un sistem di ssi crtesini con l sse delle che pss per i fuochi e l sse delle y che pss per il punto medio dei fuochi, se i fuochi hnno coordinte F 1 (-c;0) e F 2 (c;0), si può determinre l'equzione dell'ellisse eguglindo l somm delle distnze fr i fuochi e un punto generico P(;y) e il doppio del semisse mggiore. PF1 + PF2 = 2 2

3 Sviluppndo i clcoli si ottiene l equzione: ( ) ( ) ( ) ( ) y y + + y y = Dove = + c. 2 2 y + = c L eccentricità e è un numero che ci dice qunto l ellisse è schiccit: si definisce come e =. L'eccentricità è un numero positivo compreso tr 0 e 1, (se è 0, l'ellisse è un circonferenz, se è 1 è degenert in un segmento di lunghezz 2). Mggiore è l'eccentricità, mggiore è il rpporto tr e, quindi l'ellisse è più llungt. L're rcchius dell ellisse è π. 3

4 Si consideri l'uguglinz esponenzile LOGARITMI dove e sono numeri reli positivi noti. Assegnti > 0 e c qulunque, il prolem mmette sempre un soluzione. c =, Il prolem inverso, ovvero: qule vlore isogn ttriuire ll'esponente c ffinché, noto, si poss ottenere un dto vlore port ll definizione del logritmo. Si h inftti per definizione che c = log che si legge "c ugule l logritmo in se di " ( si chim rgomento del logritmo). Per esempio, è elementre osservre che: 2 = log in qunto 100 = 10 2, oppure 3 = log3 27. M, qunto vle c in modo che 7 = 2 c? il vlore di c, che è irrzionle, lo esprimimo scrivendo c = log 7. 2 É possiile definire un funzione f: R + R dt d y = log. Tle funzione è dett funzione logritmic e gode delle seguenti proprietà: l funzione è definit ppunto per ogni > 0 e ssume ogni vlore di ; per = 1, y = 0; se > 1 l funzione è crescente in > 0 e si h lim log = e lim log = se 0 < < 1 l funzione è decrescente in > 0 e si h lim log = + e lim log =. + Grfico dell funzione logritmo per = 2 Grfico dell funzione logritmo per = ½. Proprietà fondmentli dei logritmi 1) Dll definizione di logritmo segue che: log 1 0 = log = 1 = log = log = log 4

5 2) Il logritmo di un prodotto è ugule ll somm dei logritmi dei fttori; in simoli log y = log + log y. ( ) 3) Il logritmo di un quoziente è ugule ll differenz dei logritmi dei termini; in simoli log = log log y. y 4) Dlle proprietà 2) e 3) deriv che il logritmo di un potenz con esponente intero è ugule l prodotto dell'esponente dell potenz per il logritmo dell se; in simoli n log = n log. ( ) 5) L proprietà 4) vle nche per un potenz con esponente rele qulsisi. 6) Cmimento di se. Dll definizione di logritmo si h che: log log =. log L proprietà 6) è molto utile in qunto per il clcolo dei logritmi si f generlmente uso di tvole o di un clcoltrice che consentono tle clcolo solo per l se 10 (in genere indict con log o Log) e l se cosiddett nturle e[ 1 ] (in genere indict con ln o log). 1 Il numero e è detto numero di Nepero ed è definito dll relzione: n 1 e = lim 1 2, n + + = n 5

6 ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA Si consideri l circonferenz di rggio r e centro O di figur 1; su di ess si prendno due punti, A e B. Allor si può ndre d A verso B percorrendo due strde, un in senso ntiorrio, l'ltr in senso orrio. A- gli rchi AB corrispondono due ngoli AÔB. Si stilisce che si l misur dell'ngolo AÔB si l misur dell'rco AB sino espresse d un numero positivo qundo sono percorsi in senso ntiorrio, sino espresse d un numero negtivo qundo sono percorsi in senso orrio. Per l misur degli ngoli si possono usre due sistemi. Il primo è il sistem sessgesimle, l cui unità di misur è il grdo (simolo ), definito come l 360ª prte dell'ngolo giro; il grdo h come sottomultipli il primo (l sessntesim prte del grdo, simolo ') e il secondo (l sessntesim prte del primo, simolo "). Su di un pino crtesino si consideri or l circonferenz di centro l'origine e rggio r. Un semicirconferenz di rggio r è lung πr e tle rco corrisponde un ngolo pitto (180 ), si h che, se d un rco di lunghezz l corrisponde un ngolo di mpiezz π, vle l seguente proporzione: D quest relzione si ricv che: πr : 180 = l : α l π (1) = α r 180 l qule indic che, qulunque si il rggio dell circonferenz, uno stesso ngolo di misur α dà sempre lo stesso rpporto l/r. Tle vlore può quindi essere preso come misur di un ngolo. L'unità si ottiene prendendo un rco l cui lunghezz è ugule l rggio e tle unità viene chimt rdinte; l misur di un ngolo in rdinti è quindi espress d un numero rele che verrà indicto con α, mentre per l misur in grdi si frà uso del simolo α. Dll (1) si ricv l formul di trsformzione d grdi rdinti: π (2) α rd = α. 180 Nell Tell 1 vengono riportte le misure in rdinti di lcuni ngoli. Si consideri un tringolo rettngolo ABC, sino,, c i suoi lti e α, β, γ gli ngoli (vedi figur 2). Figur 1 - Archi orientti su di un circonferenz α α π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 180 π 270 3π/ π Tell 1 Si definisce seno dell ngolo α (si scrive senα) il rpporto tr il cteto opposto ll ngolo e l ipotenus, cioè: senα =. Si definisce coseno dell ngolo α (si scrive cosα) il rpporto tr il cteto dicente e l ipotenus, cioè: c Figur 2 - Gli elementi di un tringolo cos α =. Dlle definizioni si ricvno fcilmente i due cteti, se conoscimo l ipotenus e l ngolo α: = senα e c = cos α. Applicndo inoltre il teorem di Pitgor l tringolo rettngolo ABC si ricv l prim relzione fondmentle dell goniometri: sen α + cos α =

7 Si definisce tngente dell ngolo α (si scrive tgα o nche tnα) il rpporto tr il cteto opposto ll ngolo e il cteto dicente, cioè: tgα =. Utilizzndo le relzioni trovte sopr per e c si ricv l second c senα relzione fondmentle dell goniometri: tgα = cos α. Si osservi che si il seno che il coseno, essendo il rpporto tr un cteto e l ipotenus di un tringolo rettngolo, non potrnno mi essere mggiori di 1. Con considerzioni geometriche si può determinre l tell 2. Il clcolo dei vlori di seno, coseno e tngente di ngoli non riportti nell tell possono essere clcolti con l clcoltrice. Per esempio sen(37 ) = 0, il vlore è in genere un numero irrzionle (con infinite cifre dopo l virgol); nei clcoli, per evitre pprossimzioni troppo grossolne, è consigliile prendere 5 cifre dopo l virgol. Noto il vlore dell tngente o del seno o del coseno, si può ricvre l ngolo fcendo uso dell clcoltrice. Per esempio, se nel tringolo di figur 2 si h: = 10 cm e c = 50 cm, llor 10 tg α = = 0, 2 ; con l clcoltrice, fcendo tn 1 di 0,2 si h α = 50 11, Tle vlore è in grdi e frzione di grdi. Se voglimo l ngolo in grdi primi e secondi isogn operre come segue: 1. l prte inter del numero (nel nostro esempio 11) sono i grdi; 2. si toglie dl numero l prte inter (11, ) e si moltiplic il risultto per 60, in effetti si f l seguente proporzione 0, : 1 = : 60 ; 3. l prte inter del numero ottenuto (18, ) sono i primi (18); 4. si toglie ncor dl numero ottenuto l prte inter (18, ) e si moltiplic il numero così ottenuto ncor per 60, in effetti si f l seguente proporzione 0, : 1 = : 60 ; 5. quelli ottenuti sono i secondi (35, ). Non vendo senso portrsi dietro un infinità di cifre dopo l virgol si può pprossimre il risultto 35,8. Si h quindi che α = Un prolem che spesso si present in stronomi è l misur di un oggetto not l su distnz e le sue dimensioni ngolri. 7

8 Per esempio sppimo che l Cr Neul (vedi figur 3), il resto dell supernov esplos nel 1054 che si trov nell costellzione del Toro 6500 ± 1600 nni luce (ovvero 2,0 ± 0,5 kpc), è ll incirc un ellisse di ssi Voglimo trovre le dimensioni lineri degli ssi. Considerimo prim l sse mggiore. Nell figur 4 è riportto lo schem dell situzione: T è l posizione dell terr, A e B gli estremi dell sse dell neulos, l ngolo è ovvimente esgerto. Essenzilmente si trtt di determinre l lunghezz del segmento AB noto TH e l ngolo α. Dll trigonometri possimo osservre che α AH tg =, quindi AB = 2 AH = 2 TH tg α. 2 TH 2 Attenzione che l clcoltrice può clcolre l tngente di un ngolo solo qundo questo è espresso in grdi o in rdinti (vle l stess cos per il seno e il coseno). Trsformimo quindi l ngolo in grdi medinte l relzione: (3) α = α" 3600 in qunto, ricordimo, 1 = Si h pertnto: 420 AB = tg = 13, 2 nni luce Osservimo or un cos molto utile che semplific notevolmente questo tipo di clcolo. Se misurimo l ngolo in rdinti invece che in grdi, llor è fcile rendersi conto che per ngoli piccoli vle l pprossimzione: (4) tgα = senα = α. Figur 3 L Cr Neul Figur 4 Schem per l determinzione delle dimensioni lineri di un oggetto stronomico not l distnz e le dimensioni ngolri. Nel cso dell esempio dto sopr sono circ 0, ,00141 rdinti 2 e quindi molto piccoli. Per esempio: si h tg 0, = 0, e sen 0, = 0, Molto più rpidmente quindi si h: α α AB = 2AH = 2 TH tg = 2 TH = TH α = , = 13, 2 nni luce. 2 2 Con questo metodo è nche fcile stimre l errore che è , = 3, 2 nni luce e quindi l sse mggiore dell neulos è (13,2 ± 3,2) nni luce. L sse minore è 0,00141 (6500 ± 1600) = (9,2 ± 2,3) nni luce. Un ltro esempio. Sppimo che l stell di Brnrd è quell che si muove più velocemente in cielo. H un componente trsversle dell velocità che f sì che in un nno si sposti di 10,3 e dist 5,9 nni luce. Voglimo clcolre di qunti chilometri si spost, trsverslmente, in un nno. Utilizzndo lo schem di figur 4, T è l posizione dell terr, A e B l posizione inizile e quell finle (dopo un nno) dell stell di Brnrd; nche in questo cso l ngolo è esgerto. Si trtt di determinre l lunghezz del segmento AB noto TA e l ngolo α. 2 dopo ver trsformto i secondi in grdi medinte l (3) si sono trsformti i grdi in rdinti con l (2). 8

9 α AH Dll trigonometri imo che sen =, quindi AB = 2 AH = 2 TA sen α. 2 TA 2 Ricordndo di trsformre in grdi si h: 10, 3 9 AB = 2 5, 9 sen = 0, nni luce = 2,8 10 km. Si è utilizzto 1 nno luce = 9, km Utilizzndo il metodo rpido 10,3 = 0, rdinti, quindi 9 AB = 5, 9 0, = 0, nni luce = 2,8 10 km. 9