Esercizi-Calcolo diretto di campo elettrico

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Fiora Nobile
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1 1 CALCOLO DIRETTO CAMPO ELETTRICO Parte I Esercizi-Calcolo diretto di campo elettrico 1 Calcolo diretto campo elettrico Problema svolto 22.2 In figura vi sono due cariche q 1 = +8q e q 2 = 2q la prima si trova nell origine del sist. di rif. la seconda sull asse x a distanza L. In che punto possiamo collocare una carica positiva qualunque in modo che resti in equilibrio? 1.1 Problema Una bacchetta isolante di lunghezza L possiede una carica q uniformemente distribuita sulla sua lunghezza. Determinare il campo su un punto P posto sullo stesso asse della bacchetta e a distanza a da uno degli estremi, usando i seguenti valori: q= C, L=10cm e a=5cm. 1.2 Es.1.15 Es.1.15-Mazzoldi Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio R=1 cm, ha una carica che varialungolacirconferenzasecondolalegge: λ = Asinθ dovea = 10 9 C/m θ e θ è l angolo con l asse delle x per cui la carica è positiva per y > 0 e negativa per y < 0. Determinare: 1. la carica totale di mezzo anello per y > 0; 2. il campo elettrico al centro dell anello Mazzoldi-Vol2-Elettrostatica Esercizi Riepilogo 1

2 ESERCIZI TEOREMA GAUSS Parte II Esercizi-Teorema Gauss ed elettrostatica (cap3) 2 Esercizi teorema gauss 2.1 3.19 24.16-esercizio lezione-vedi es.3.19 Su un un cavo sottile rettilineo molto lungo è presente una carica negativa con λ = 3.

2 2 ESERCIZI TEOREMA GAUSS Parte II Esercizi-Teorema Gauss ed elettrostatica (cap3) 2 Esercizi teorema gauss esercizio lezione-vedi es.3.19 Su un un cavo sottile rettilineo molto lungo è presente una carica negativa con λ = 3.6nC/m. Il cavo viene circondato con una distribuzione uniforme cilindrica di raggio 1.5cm e coassiale al cavo. Scegliere la densità di carica superficiale σ del cilndro in modo che il flusso del campo elettrico dal cilindro sia nullo. Determinare inoltre il campo elettrico sul cilindro se σ = C/m 2 Φ tot = E tot A cil = q i ǫ 0 Φ tot = 0 q i = 0 ma la somma delle cariche è q i = λ L+σ 2πRL = 0 λ+σ 2πR = 0 σ = λ 2πR = σ C/m 2 b) Se σ = C/m 2 allora il campo elettrico è dal t. di gauss: Φ e = q i ǫ 0 con Φ E = E2πRL 2.2 Es. 6 - lezione Es. 6-svolto a lezione Su una superficie piana isolante molto estesa è distribuita uniformemente una carica con densità σ. Un piccolo foro circolare di raggio R viene ricavato nel punto centrale del foglio, come mostrato in figura. Si ignori la distorsione delle linee di campo su tutti i bordi e si calcoli il campo elettrico nel punto P, a una distanza z dal centro del foro lungo il suo asse Es.3.18 All interno di un guscio sferico non conduttore di raggi R 1 = 10cm e R 2 = 20cm è distribuita una carica elettrica con densità volumetrica ρ = ρ 0 = Mazzoldi-Vol2-Elettrostatica Esercizi Riepilogo 2

3 3 ESERCIZI POTENZIALE C/m 3. Calcolare: il campo elettrico in due punti P1 e P2 situati rispettivamente alle distanze di 15cm e 50cm dal centro del guscio; 2.4 Es.83 Es.83 Una sfera solida non conduttrice uniformemente carica di raggio R ha il proprio centro nell origine degli assi del sistema di riferimento. Se viene ricavata una cavità dalla sfera di partenza di raggio R/2 e con centro il punto x = R 2, calcolare il campo elettrico nei punti dell asse x (in particolare nell origine e nel punto con x=r) e su quelli dell asse y in O : E O = E 1 + E 2 = ρr/2 3ǫ 0 +0 Per cui modulo direzione e verso del campo elettrico risultano identici sia in O che O e diretti come l asse x. Parte III Esercizi sul potenziale (cap2) 3 Esercizi Potenziale Esercizio Elettrostatica 3.20 Una sfera di raggio R ha una carica positiva distribuita nel suo volume secondo la legge ρ = A r con r la distanza dal suo centro. Calcolare l espressione de campo elettrico all interno della sfera e il potenziale nel punto r=r/2 rispetto l infinito Una asta sottile di lunghezza l=20cm ha una carica q=60nc uniformemente distribuita su di essa. Calcolare il potenziale rispetto all infinito di un punto posto nella direzione dell asse della bacchetta e distante a=15 cm dall estremo della bacchetta stessa. Mazzoldi-Vol2-Elettrostatica Esercizi Riepilogo 3

4 4 ESERCIZI CONDENSATORI E CONDUTTORI Parte IV Esercizi-Conduttori e condensatori 4 Esercizi condensatori e conduttori Es Mazzoldi Due conduttori sferici (vedi figura libro), cavi e molto sottili, concentrici e di raggi R 1 = 10cm e R 2 = 20cm sono sostenuti da un supporto isolante. La carica q 1 = 20nC viene trasferita su C1 e la carica q 2 = +50nC su C2. Calcolare la V tra C1 e C2. Successivamente un conduttore sferico C3 di raggio R 3 = 5cm, anch esso sospeso ad un supporto isolante, ma molto lontano dai primi due, viene collegato con un conduttore a C2. Calcolare il potenziale V rispetto a di C2 e C3, la variazione di energia elettrostatica avvenuta nel contatto Esercizio 4.24 Due piccole sfere conduttrici C1 e C2 di raggi R1=6cm e R2=12cm, hanno la medesima carica q=60nc e molto distanti tra loro. Le sfere vengono collegate con un filo conduttore. Calcolare le cariche q1 e q2 presenti alla fine Esercizio 4.25 Due piccole sfere conduttrici identiche sono cariche con cariche q1 e q2 e si attraggono con una forza F=0.108N, quando la loro distanza è 50cm. Le due sfere vengono collegate tra loro con un sottile filo conduttore, che di seguito viene rimosso. Ora le due sfere si respingono con F=0.036N. Calcolare q1 e q Esercizio 4.26 Due piccole sfere conduttrici di raggi R1=6cm e R2=4cm, sono poste ad una distanza d R 1. Una carica q=0.1nc viene trasferita sulla prima sfera, e Mazzoldi-Vol2-Elettrostatica Esercizi Riepilogo 4

5 5 RIEPILOGO CONDENSATORI DIELETTRICI successivamente si collegano le due sfere con un filo conduttore. Calcolare la carica sulle due sfere, il loro potenziale e l energia elettrostatica persa nel collegamento. 4.5 Problema Un conduttore sferico di raggio R 1 è concentrico ed interno ad un conduttore sferico cavo di raggio interno R 2 ed esterno R 3. Se una carica q=10 8 C viene poggiata sulla sfera interna, quale sarà il potenziale della sfera interna rispetto all infinito? 4.6 Esercizio Condensatori Esercizio Due condensatori C1=40pF e C2=120pF sono entrambi inizialmente caricati ad una ddp di 100V e poi isolati. Vengono quindi collegati in modo da unire direttamente con conduttori le loro armature di segno opposto. Qual è la ddp finale? 5 Riepilogo condensatori dielettrici Riepilogo condensatori con dielettrici Quando il dielettrico riempe interamente lo spazio tra le armature la capacità diventa C = kc 0 con k costante dielettrica relativa e C 0 la capacità nel vuoto se il dielettrico è posto solo parzialmente tra le armature si dimostra (vedi es. succ.) che il condensatore risulta equivalente ad una serie Mazzoldi-Vol2-Elettrostatica Esercizi Riepilogo 5

6 5 RIEPILOGO CONDENSATORI DIELETTRICI o parallelo o entrambi della parte con solo aria + la parte con solo P E dielettrico Ad esempio 5.1 Esercizio 26.6-lezione dielettrici Es. 26.6P Tra le lamine di area 115 cm 2 di un condensatore piano, distanti d=1.24 cm, viene inserito un dielettrico di spessore b=0.78 cm e costante dielettrica relativa ǫ r = Prima dell inserimento il condensatore è stato caricato a V=85.5 V e tenuto isolato. Qual è la ddp dopo l inserimento del dielettrico? = 8.85 pf = 8.21 pf e la carica La capacità iniziale è C 0 = ǫ 0S d sul condensatore è q 0 = C 0 V = 702 pc. Dopo l inserimento il condensatore complessivo equivale a dei condensatori in serie. Supponiamo di poggiare il dielettrico contro un armatura: allora si evidenziano 2 condensatori in serie (1 pieno d aria e l altro pieno di dielettrico) (si dimostra che il risultato non cambia anche quando la lamina dielettrica è a una posizione x qualunque dall armatura)lacapacitàequivalenteè: 1 C eq = d b ǫ 0 S + b ǫ rǫ 0 S quindic eq = 13.4pF e la ddp finale si ottiene da C eq = q 0 = 52.3 V Ana- V f V f = q 0 logamente se il dielettrico riempe totalmente solo metà (a destra o sinistra) di tutto lo spessore del condensatore esso si comporterà come 2 condensatori in parallelo (la metà riempita con dielettrico in parallelo all altra metà con l aria) C = 702 p eq 13.4 p Es Un condensatore piano ad armature quadrate di area 400cm 2 e armature distanti d=5mm, è riempito per metà del suo spessore con un dielettrico di Mazzoldi-Vol2-Elettrostatica Esercizi Riepilogo 6

7 6 ESERCIZI CORRENTI costante k 1 = 5 e per metà di costante k 2 = 2. Determinare la capacità del condensatore. Parte V Esercizi correnti 6 Esercizi correnti Esercizio Corrente1 Un filo di rame (ρ 0 cu = Ωm) di raggio a=0.25mm è ricoperto da una guaina di alluminio (ρ 0 Al = Ωm) di raggio esterno b=0.4mm. Il filo è percorso da una corrente di 2A. Calcolare le correnti i1 e i2 che percorrono i due materiali. Esercizio Corrente2 Un elemento riscaldante viene fatto funzionare mantenendo una ddp V=75V su un filo conduttore di resistività Ωm e raggio r. Se l elemento riscaldante dissipa una potenza di 5000W, quanto è lungo il filo? Mazzoldi-Vol2-Elettrostatica Esercizi Riepilogo 7

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