Esercitazione 1.3. Indici di variabilità ed eterogeneità. Prof.ssa T. Laureti a.a

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Massimo Brunelli
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1 Corso di Statistica Esercitazione.3 Indici di variabilità ed eterogeneità Concentrazione Asimmetria Prof.ssa T. Laureti a.a

2 Esercizio Si considerino i seguenti dati relativi al numero di addetti nelle imprese presenti in un determinato comune Determinare: la media aritmetica la mediana il range la varianza 2 2

3 a) Calcolo della media aritmetica Per un insieme di n=5 valori osservati del carattere quantitativo addetti la formula della media aritmetica è la seguente: n xa = (x + x x n ) = x i n n Quindi: i= x a = 5 ( ) = 0 3 3

4 b) Calcolo della mediana Per individuare la posizione mediana è necessario ordinare le osservazioni in senso non decrescente: Posizione mediana La posizione i centrale per n dispari i (n=5) è data da ( n + ) 2 6 = = 8 Quindi Me=

5 Addetti x j d) Calcolo del range L indice di variabilità range espresso dalla differenza tra il valore massimo e il valore minimo della distribuzione, ossia range = x max x min Min=3 Max=9 6 3 Quindi: 9 2 range = 9 3 = Nella distribuzione considerata si ha: 5 5

6 Addetti x i Scarti dalla media (x i -µ) Quadrato degli scarti (x i -µ) n d) Calcolo della varianza 2 ( xi x) = Dev(X) = 332 i= 2 σ n ( ) = xi x = = 22,3 n n i= n σ = n i= = 22,3 ( x x) i = 4,70 2 = 6 6

7 Esercizio 2. La seguente distribuzione riporta il numero di chilometri percorsi in una settimana da 3 rappresentanti di commercio di una nota marca di occhiali da sole. Classi di chilometri [ ) 6 [ ) 9 [ ) 7 [ ) 6 [ ) ) 3 totale 3 7 7

8 A) Calcolare le frequenze relative, le frequenze percentuali e le frequenze relative cumulate B) Determinare il numero medio di chilometri percorsi. C) Calcolare la mediana e il primo quartile. D) Misurare la variabilità della distribuzione utilizzando la deviazione standard 8 8

9 A) Calcolo delle frequenze relative, frequenze percentuali e relative cumulate 6 9 f = = 0,94 f2 = = 3 3 n j 0,290 Classi di fj pj chilometri [ ) 6 0,94 9,4 0,94 [ ) 9 0,290 29,0 0,484 [ ) 7 0,226 22,6 0,70 [ ) 6 0,94 9,4 0,903 [ ) ) 3 0,097 9,7,000 totale 3,000 00,0 Fj 9 9

10 B) Calcolo della media aritmetica Classi di Valore c j *n j chilometri centrale nj classi (cj) x j x j+ [ ) [ ) ) [ ) [ ) [ ) totale x a K c jn j= n j = = 50,48 0 0

11 C) Calcolo della mediana. Individuazione della classe mediana Classi di chilometri nj Nj [ ) 6 6 0,94 [ ) 9 5 0,484 [ ) ,70 [ ) ,903 [ ) 3 3,000 totalet 3 Fj n rango mediana = = = La mediana è contenuta nella classe

12 C) Calcolo della mediana 2. Individuazione della mediana nella classe sotto l ipotesi di distribuzione uniforme (applicazione della formula) Classi di chilometri Me I m 0,5 F + F F nj m m m Nj m Fj I m =estr inf della classe mediana=500 F m- =freq rel cum fino alla classe precedente a quella mediana =0,484 [ ) 6 6 0,94 [ ) 9 5 0,484 [ ) ,70 F [ ) ,903 [ ) 3 3,000 totale 3 0,5 F m 0,5 0,484 Me I m + m = = Fm Fm 0,70 0,484 F m =freq rel cum fino alla classe mediana=0,70 m =ampiezza della classe mediana= = =50 503,57 2 2

13 C) Calcolo del primo quartile Q è il primo valore xi in corrispondenza del quale la frequenza cumulata relativa 0, 25 Classi di chilometri nj Nj Fj F j Q [ ) 6 6 0,94 [ ) 9 5 0,484 [ ) ,70 [ ) ,903 [ ) 3 3,000 totale 3 0, 25 F Q 0, 25 0,94 I + Q , 72 Q FQ F = + Q 0, 484 0,94 = 3 3

14 D) Calcolo della deviazione standard Classi di n j Valore (c j -µ) 2 (c j -µ) 2 *n j chilometri centrale classi (cj) [ ) , ,8 [ ) ,8 329,2 [ ) ,8 475,6 [ ) , ,8 [ ) , ,4 totale ,8 σ = x = 50, ,8 a 2 K 2 σ = ( c x) n 3902,5 j j = = 3902,5 = 62,47 n j= 3 4 4

15 Esercizio 3 Si consideri la seguente distribuzione di 00 imprese per classi di fatturato: N. Classi di fatturato imprese (migliaia di euro) (0-20] 30 (20-50] 50 (50-00] 20 Totale 00 a) Rappresentare graficamente la distribuzione b) Determinare la moda 5 5

16 a) Costruzione dell istogramma. Le classi hanno diversa ampiezza. E necessario calcolare la densità di frequenza Classi di fatturato (migliaia di euro) nj Ampiezza classe (a j ) Densità di freq (h j ) , , ,4 Totale 00 b) La classe modale è quella che ha la densità di frequenza maggiore. Quindi la classe modale è

17 ISTOGRAMMA h i,7,5 0,

18 Esercizio 4 Si consideri la distribuzione degli alunni della scuola secondaria di primo grado per giudizio riportato all esame di Stato nell Anno scolastico 2006/07 in Italia (dati Istat) Giudizio Licenziati Sufficiente 37, Buono 26,4 Distinto 9,2 Ottimo 7,3 00,00 Determinare la moda e la mediana. Misurare l eterogeneità della distribuzione 8 8

19 Si tratta di una distribuzione percentuale Giudizio i Licenziatii Sufficiente 37, 0,37 0,37 Buono 26,4 0,264 0,635 Distinto 9,2 0,92 0,827 Ottimo 7,3 0,73 fj 00,0,000 La moda, ossia la modalità più frequente è sufficiente Per il calcolo l della mediana sulla colonna delle frequenze relative cumulate si individua la prima F j che è uguale o maggiore di 0,5 La mediana è Buono Fj 9 9

20 b) Eterogeneità della distribuzione Giudizio i Licenziatii fj f 2 j Sufficiente 37, 0,37 0,376 Buono 26,4 0,264 0, Distinto 9,2 0,92 0,0369 Ottimo 7,3 0,73 0, ,0,000 0,274 K 2 E = f j = 0,274 = e j= 0,7259 0,75 = = 0,968 0,7259 K 3 0 E = = 0,75 K

21 Esercizio Le retribuzioni, in migliaia a di euro, di 5 dipendenti dpe de di un grande ga magazzino risultano le seguenti: a) Disegnare la curva di Lorenz; b) Misurare la concentrazione. 2 2

22 Per la distribuzione precedente è necessario ordinare innanzitutto le intensità del carattere. Quindi si procede al calcolo di Fi e Qi Retribuzioni (valori ordinati) Intens. ass. cum. A i Freq. rel. cum. F F i Intens. rel. cum. Q i F i -Q i 8 8 0,20 0,00 0, ,40 0,225 0, ,60 0,400 0, ,80 0,650 0, ,00,000 F i = i 3 n = 5 Q A 32 i = i = A 80 n 22 22

23 a) Curva di Lorenz Q i,000 0,650 superficie di concentrazione 0,400 0,225 0,00 0,2 0,4 0,6 0,8,0 F i b) n- i= R = ( Fi Qi) 0,625 = =0,325 n 2 Fi Si è in presenza di una modesta concentrazione i= 23 23

24 Esercizio 2 Si consideri la seguente distribuzione delle industrie del legno per classi di fatturato in migliaia e fatturato totale per classe (milioni): Classi di fatturato n J Fatturato totale Oltre Determinare il rapporto di concentrazione

25 Per il calcolo dell indice di concentrazione deve essere utilizzato il fatturato totale che è noto (intensità) Classi di fatturato n J N j Fatturato totale (intensità Aj) F i = N j /n ,397 0,02 Q j = A j /A K ,69 0, ,825 0, ,92 0,82 Oltre ,000,

26 Quindi: Classi di fatturato F i = N j /n Q j = F j+ -F j Q j+ +Q j (F j+ -F j )(Q j+ +Q j ) A j /A K 0-5 0,397 0,02 0,397 0,02 0, ,69 0,056 0,222 0,076 0, ,825 0,24 0,206 0, , ,92 0,82 0,095 0,305 0,029 Oltre 50,000,000 0,079,82 0,094 0,85 R = 0,85 = 0,85 Elevata concentrazione del fatturato tra le imprese 26 26

27 Esercizio 3 Si consideri la seguente distribuzione delle famiglie per classi di reddito mensile in migliaia di euro Classi di reddito Famiglie n j A) Disegnare la curva di Lorenz B) Misurare la concentrazione del reddito 27 27

28 Classi c j n J N j F i = N j /n c j *n j Aj Q j = A j /A K , /48=0, , /48=0, , /48=0, , /48=, ,000 Q i i superficie di 0,83 concentrazione 0,375 0,042 P i 0,2 0,6 0,9,

29 (Fj+- Fj) (Qj++Qj) (F - Classi F i = Q j = N j/n A j/a K j+ F j )(Q j+ +Q j ) 0-2 0,2 0,042 0,2 0,042 0, ,6 0,375 0,4 0,47 0, ,9 0, ,3,8888 0, ,0,000 0,,83 0,83 R R k ( F j + F j )( Q j+ + Q j ) = 0, 729 = + j= 0 = 0,287 = Modesta concentrazione 29 29

30 Esercizio 4 Si consideri la seguente distribuzione di 20 imprese secondo il numero di addetti: Addetti N. imprese Misurare l asimmetria della distribuzione 30 30

31 Si può procedere ad una rappresentazione grafica per valutare il grado di simmetria della distribuzione Imprese secondo il numero di addetti

32 Addetti N imprese N ( x 3 X) ( 3 j ) j Addetti N. imprese N J x X n j X = 3 σ = 274 2,74 M = M = o M e β = M = = 3 20,57 σ, 53 La distribuzione è asimmetrica positiva 32 32

33 Indagine Bankitalia sul reddito delle famiglie italiane nel 2006 (tiene conto della composizione i demografica della famiglia) entrambe le distribuzioni sono asimmetriche positive 33 33

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