CENTRO SALESIANO DON BOSCO TREVIGLIO Corso di Informatica
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- Gianpiero Rizzi
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1 Da u mazzo di carte (3 carte er quattro semi di cui due eri e due rossi, co 3 figure er ogi seme si estragga ua carta. Calcolare la robabilità che a si estragga u re ero b si estragga ua figura rossa, saedo che è stata estratta ua carta di seme rosso a cosideriamo gli eveti E esce ua carta col seme ero E esce u re Si deve calcolare la robabilità dell eveto rodotto E E, ( E E. Poiché i casi favorevoli dell eveto rodotto logico E E soo, {re di icche, re di fiori} e i casi ossibili soo le carte, si ha ( E E I tale caso si uò rocedere ache alicado il cocetto di robabilità codizioata Ifatti dalla relazioe della robabilità codizioata ( ( E E ( E E E E otteiamo E E ( ( ( E E ( E ( E E Nel ostro caso si ha ( E, oiché le carte col seme ero soo sul totale di Per l eveto E codizioato a E, essedo uscita ua carta era, i casi ossibili soo, metre i favorevoli soo, quidi risulta ( E E. 3 Pertato ( E ( ( E E E E. 3 b cosideriamo gli eveti E esce ua figura e E esce ua carta col seme rosso Si calcolare la robabilità dell eveto E saedo che si è verificato l eveto E, ovvero la E E Dalla relazioe della robabilità codizioata ( ( E E E E ( E Nel ostro caso ( E 3 ( E E i quato i casi favorevoli soo le figure di seme rosso (3 er i due semi rossi. 3 robabilità dell eveto E codizioato all eveto E, ( Pertato otteiamo ( E E ( E E 3 ( E 3 Probabilità_ /
2 U ura cotiee allie umerate da a. Si calcoli la robabilità che estraedo ua allia essa rechi u umero multilo di 3, saedo che è uscito u umero disari. Cosideriamo gli eveti A la allia reca u umero multilo di 3 B la allia reca u umero disari Si tratta di calcolare la robabilità dell eveto A codizioata all eveto B, ( A B Dalla relazioe della robabilità codizioata ( ( A B A B ( B Alichiamo la relazioe al ostro esemio Si ha ( B i quato i casi favorevoli a tale eveto soo gli umeri disari sul totale dei casi ossibili Per l eveto A B, oiché i casi favorevoli soo i umeri multili di 3 e disari{3,9,,} e i ossibili, si ha ( A B Pertato ( A B ( A B ( B Probabilità_ /
3 3 U ura cotiee allie biache e ere. Si effettuao estrazioi successive elle due situazioi: i reimmissioe ogi volta della allia estratta; ii o reimmissioe allia estratta. Si calcoli la robabilità che a estraedo successivamete tre allie esse siao rima due biache e oi ua era b estraedo successivamete tre allie almeo ua sia biaca Nel caso (i si è i reseza di eveti idiedeti i quato la comosizioe dell ura o cambia, metre el caso (ii gli eveti soo diedeti i quato la o reimmissioe della allia estratta fa cambiare la comosizioe dell ura e ertato la robabilità di ogi eveto è codizioata ed è calcolata ell iotesi che l eveto recedete si sia verificato. Ioltre estraedo successivamete le allie si è i reseza di u eveto comosto da ua successioe ordiata di eveti: er la ota formula dell eveto comosto la robabilità è il rodotto delle robabilità dei sigoli eveti Pertato: a er tale eveto comosto moltilichiamo fra loro le robabilità dei sigoli eveti e, oiché la robabilità di estrarre ua allia biaca è 9 e la robabilità di estrarre ua era è 9, si ha (i el caso di reimmissioe, essedo gli eveti idiedeti (ii el caso di o reimmissioe, dimiuedo di ua uità il umero delle allie ell ura, b i questo caso ossiamo calcolare la robabilità utilizzado l eveto cotrario dell eveto A almeo ua è biaca che è A le allie soo tutte ere e utilizzare la rorietà er il calcolo della robabilità dell eveto cotrario ( A ( A. Allora (i el caso di eveti idiedeti (reimmissioe, oiché ( A (A è la sequeza ordiata dei tre eveti elemetari la allia è era (ii el caso di eveti diedeti (o reimmissioe, oiché ( A Probabilità_ 3/
4 Probabilità_ / Si effettuio cique laci successivi di u dado regolare. Si calcoli la robabilità che a la faccia si reseti soltato la rima volta e oi o si reseti iù ei successivi laci. b la faccia si reseti ua sola ua volta c la faccia si reseti al iù ua volta Si tratta del roblema delle rove rietute che è risolto dal teorema del Beroulli: «Dato u eveto sottoosto a eserimeti idiedeti oguo co robabilità costate di verificarsi, essedo q la robabilità che ha l eveto di o verificarsi, la robabilità di otteere successi su rove è ( q X» Nei ostri casi si ha:,, la robabilità dell eveto E{esca la faccia } è metre q la robabilità dell eveto E {o esca la faccia } è ( E. a i tale caso articolare essedo uico il modo i cui uò resetarsi la faccia i rima osizioe, avremo b questa volta alicado la formula del Beroulli si ha c i questo caso siamo di frote alla uioe degli eveti: o E {o esca la faccia } E {esca ua volta la faccia } Allora la robabilità sarà la somma delle robabilità + I geerale er e e q geerici, si ha la fuzioe desità della distribuzioe di Beroulli ( q X Per il caso a si uò ache esare che si è i reseza di u eveto rodotto logico di cique eveti idiedeti. Pertato er il teorema della robabilità comosta si ha
5 Ua macchia roduce ezzi difettosi co ua robabilità del 3%. Si redao 8 ezzi e si calcoli la robabilità che: a essuo sia difettoso b tre siao difettosi c tutti siao difettosi d almeo due siao difettosi Siamo di frote a 8 rove rietute idiedeti (la scelta di u ezzo co robabilità,3 di successo (eveto: il ezzo è difettoso e robabilità q, 97 (eveto: il ezzo o è difettoso. Alichiamo lo schema di Beroulli er il calcolo della robabilità di otteere successi i rove rietute di eveti idiedeti co robabilità di otteere successo e robabilità q di isuccesso q a i tale caso, ertato la robabilità cercata è 8 8 (,3 (,97 78,37% b questa volta 3, quidi 8 3 (,3 (,97,98% 3 c qui si ha 8 e quidi 8 8 (,3 (,97, % 8 d er questo caso utilizziamo l eveto cotrario di almeo due ezzi difettosi che è essu ezzo difettoso o uo solo difettoso. Per il teorema della somma logica di eveti si ha la somma delle robabilità (,3 (,97 (,3 (,97,% Probabilità_ /
6 Si hao due ure. La rima cotiee allie biache e ere e la secoda biache e ere. Si estragga ua allia scegliedo a caso u ura. Sia 3 la robabilità di scegliere la rima ura e 3 la robabilità di scegliere la secoda ura. Saedo che la allia estratta è era, si calcoli la robabilità che essa rovega dalla secoda ura.. E il caso del calcolo della robabilità delle cause (o robabilità delle iotesi che è risolto dal teorema del Bayes: la robabilità della causa dell eveto che si è verificato si ottiee facedo il raorto tra la robabilità dell eveto, verificata la causa, e la robabilità totale dell eveto Cosiderati gli eveti E la allia estratta è era E è stata scelta la rima ura E è stata scelta la secoda ura E E è stata estratta la allia era saedo che roviee dalla rima ura E E è stata estratta la allia era saedo che roviee dalla la secoda ura Per la formula del Bayes la robabilità che avedo estratto ua allia era essa rovega dalla secoda ura è ( E ( E E ( E E ( E Nel ostro caso: ( E, ( E ( E E (i casi favorevoli, avedo scelto la rima ura. soo le allie ere sul totale delle ( E E (i casi favorevoli, avedo scelto la secoda ura, soo le allie ere sul 9 totale delle 9 Per il calcolo di ( E ricorriamo alla formula della robabilità totale oiché siamo i reseza di eveti icomatibili (la allia era uò essere estratta o dalla rima ura o dalla secoda ura che esauriscoo tutte le ossibilità dell estrazioe. Duque l eveto risulta E l uioe dei due eveti icomatibili E E e E E, E ( E E ( E E Per la robabilità totale si ottiee dalla ( E ( E E + ( E E e oiché er la formula della robabilità di eveti comosti ( E E ( E ( E E e ( E E ( E ( E E el ostro esemio si ha 3 7 ( E Pertato la robabilità cercata alicado il teorema del Bayes risulta 3 ( ( E ( E E 3 3 E E ( E Probabilità_ /
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2.5 Convergenza assoluta e non
.5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello
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Leoardo Latella STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Il calcolo delle probabilità studia gli eveti casuali probabili, cioè quegli eveti che possoo o o possoo verificarsi e che dipedoo uicamete dal caso. Tale studio
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CALCOLO COMBINATORIO Che cosa sigifica cotare Tutti coosciamo la successioe dei umeri iteri Naturali N = {0, 1,,, } si tratta di ua struttura metale fodametale, chiaramete presete alla ostra ituizioe che
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Traccia delle soluzioi degli esercizi del fascicolo 6 Esercizio Vegoo geerati umeri casuali tra 0 e, co distribuzioe uiforme. Quati umeri è ecessario geerare affiché la probabilità che la somma di essi
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CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI SOMMARIO:. Itroduzioe. -. Variabili casuali discrete. - 3. La variabile casuale di Beroulli. - 4. La variabile casuale biomiale. -. La variabile casuale di Poisso.
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ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare
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LEGGE DEI GRANDI NUMERI E. DI NARDO 1. Legge empirica del caso e il teorema di Beroulli I diverse occasioi, abbiamo mezioato che la ozioe ituitiva di probabilità si basa sulla seguete assuzioe: se i sperimetazioi
Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.
SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a 2 + + a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale
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Titolo della lezioe Campioameto e Distribuzioi Campioarie Itroduzioe Itrodurre le idagii campioarie Aalizzare il le teciche di costruzioe dei campioi e di rilevazioe Sviluppare il cocetto di distribuzioe
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La probabilità. f n. evidentemente è 0 ( E)
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Esercitazioe 12 Alfoso Iodice D Eza iodicede@uicas.it Uiversità degli studi di Cassio () 1 / 15 Outlie 1 () 2 / 15 Outlie 1 2 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 4 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 4 5
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Popolazioe e Campioe POPOLAZIONE: Isieme di tutte le iformazioi sul feomeo oggetto di studio Viee descritta mediate ua variabile casuale X: X ~ f ( x; ϑ) θ = costate icogita Qual è il valore di θ? E verosimile
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LE EQUAZIONI IRRAZIONALI Per ricordare H Data ua qualsiasi equazioe A B, saiamo che ad essa si ossoo alicare i ricii di equivaleza che cosetoo di aggiugere o togliere esressioi ai due membri oure moltilicare
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