1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2

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1 Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze MM.FF.NN. PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA A del 27 giugno 2011 ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO. Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra su ciascuno dei fogli allegati e anche su eventuali fogli aggiuntivi che verranno utilizzati Il tempo a disposizione per lo svolgimento è di centoventi minuti dal via. Il punteggio totale a disposizione è di 100 punti. Il punteggio di ciascun quesito/esercizio è indicato a fianco dello stesso. Scrivere esplicitamente i calcoli o comunque motivare le risposte: utilizzare eventualmente fogli aggiuntivi versione 1 1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +λz = 2 X +λy +2Z = λ X +Y +Z = 2 X 2Y +λz = 2 2. [20 punti] Nello spazio vettoriale euclideo R 3 dotato di prodotto scalare standard si considerino il sottospazio vettoriale W 1 generato dai vettori (1, 0, 1, (2, 1, 0 (4, 3, 2, ed il sottospazio vettoriale W 2 = {(X, Y, Z : X + 2Z = 0}. Trovare basi e dimensioni di W 1, W 2, W 1 W 2, W 1 + W [25 punti] Nello spazio euclideo tridimensionale sia fissato un riferimento cartesiano ortogonale monometrico. Siano dati P (1, 0, 2, Q (1, 1, 1 e le rette { X + Y Z + 2 = 0 X = 1 + 2λ r : r : Y = 3λ X + 2Y Z = 0 Z = λ Trovare il piano (I passante per P e ortogonale alla retta r; (II passante per la retta r e parallelo alla retta r ; (III passante per l origine del riferimento, parallelo alla retta r e distante 1 dal punto Q. 4. [30 punti] Nel piano euclideo reale dotato di un riferimento cartesiano ortogonale monometrico sia data l affinità f di equazioni { Y 1 = 1X X Y 2 = 3 X X Provare che f è un isometria del piano; stabilire se f è diretta o inversa; trovare i punti uniti di f; classificare f. SOLUZIONI 1. Il sistema si presenta come un sistema di quattro equazioni in tre incognite. La matrice completa del sistema è quadrata di ordine 4 ed è la seguente matrice: B = 1 λ 2 λ 1 2 λ 2

2 Calcolo il determinante di B: det(b = 1 λ 2 λ 1 2 λ 2 Sottraggo l opposto della prima riga rispettivamente da tutte le altre righe: det(b = 0 λ 1 2 λ λ λ Sviluppo questo determinante secondo la regola di Laplace rispetto alla prima colonna: λ 1 2 λ λ + 2 det(b = ( λ Sviluppo questo determinante secondo la regola di Laplace rispetto alla terza riga: det(b = ( 3( λ λ λ 4 = ( 3[4(2 λ (2 λ(1 λ] = ( 3(2 λ(3 + λ. Per λ 2, 3 il il determinante di B è non nullo, da cui il rango della matrice completa del sistema è 4 pertanto il rango della matrice incompleta è 3 e per il Teorema di Rouché-Capelli il sistema risulta incompatibile. λ = 2 La matrice completa del sistema diventa: Trasformo la matrice in una matrice a gradini mediante operazioni elementari sulle righe. Sottraggo la prima riga rispettivamente da tutte le altre righe: Sottraggo il triplo della seconda riga alla quarta riga e poi moltiplico la terza riga per 1: Abbiamo ottenuto una matrice a gradini e il sistema è equivalente a X +Y +2Z = 2 Y = 0 Z = 4

3 quindi il sistema è determinato ed ammette la soluzione {(6, 0, 4}. λ = 3 La matrice completa del sistema diventa: Anche in questo caso trasformo la matrice in una matrice a gradini mediante operazioni elementari sulle righe. Sottraggo la prima riga ripettivamente da tutte le altre righe: Moltiplico la quarta riga per 1/3 e poi scambio la quarta riga con la seconda riga: Sommo la seconda riga moltiplicata per 4 alla quarta riga e poi divido la terza riga per 4: Sommo alla quarta riga la terza moltiplicata per 5: Abbiamo ottenuto una matrice a gradini e il sistema è equivalente a X +Y 3Z = 2 Y = 0 Z = 1 quindi il sistema è determinato ed ammette la soluzione {(1, 0, 1}. Riassumendo: il sistema risulta incompatibile per λ 2, 3, mentre per λ = 2, 3 il sistema è determinato con soluzione {(6, 0, 4} se λ = 2 e {(1, 0, 1} se λ = Trovo una base e la dimensione di W 2. Poichè W 2 = {(X, Y, Z : X + 2Z = 0} = {(X, Y, Z : X = 2Z} = {( 2Z, Y, Z : Y, Z R} allora W 2 = {Z( 2, 0, 1 + Y (0, 1, 0 : Z, Y R} =< ( 2, 0, 1, (0, 1, 0 >.

4 Essendo i due vettori ( 2, 0, 1, (0, 1, 0 non proporzionali allora una base per W 2 risulta {( 2, 0, 1, (0, 1, 0} e la dimensione di W 2 è 2. Determino ora una base e la dimensione di W1. Dapprima trovo una base per W 1 =< (1, 0, 1, (2, 1, 0, (4, 3, 2 >. Considero il determinante della matrice C formata dai generatori di W 1 : det(c = = = = 0. Essendo det(c nullo allora i vettori (1, 0, 1, (2, 1, 0, (4, 3, 2 sono linearmente dipendenti. Poichè i due vettori (1, 0, 1 e (2, 1, 0 non sono proporzionali, allora essi sono linearmente indipendenti e formano una base per W 1. Ogni vettore di W 1 è ortogonale a ciascun vettore della base di W 1. Pertanto W 1 = {(X, Y, Z R 3 : X + Z = 0, 2X + Y = 0} pertanto da cui W 1 = {(X, Y, Z R 3 : Z = X, Y = 2X} = {(X, 2X, X : X R} W 1 = {X(1, 2, 1 : X R} =< (1, 2, 1 >, per cui una base per W 1 risulta {(1, 2, 1} e la dimensione di W 1 è 1. Trovo ora il sottospazio vettoriale W 1 W 2 : W 1 W 2 = {(X, Y, Z R 3 : X + Z = 0, 2X + Y = 0, X + 2Z = 0} = {(0, 0, 0} Pertanto la dimensione di W 1 W 2 risulta 0. Dalle formule di Grassmann vettoriale otteniamo: dim(w 1 + W 2 = dim(w 1 + dim(w 2 dim(w 1 W 2 = = 3 pertanto il sottospazio vettoriale W 1 + W 2 coincide con R 3 ed una base di W 1 + W 2 = R 3 è data dalla base canonica. 3. I Troviamo un vettore di direzione v della retta r. Le coordinate di v si possono ottenere dai minori di secondo ordine della matrice incompleta del sistema di r: ( ovvero ( 1 1 v = (l, m, n = 2 1, , = ( 1 + 2, 0, 2 1 = (1, 0, 1. Un piano ortogonale alla retta r ammette una rappresentazione cartesiana ax + by + cz + d = 0 tale che (a, b, c = α(l, m, n = α(1, 0, 1. Pertanto il piano passante per P e ortogonale alla retta r ammette la seguente rappresentazione cartesiana: 1(X 1 + 0(Y 0 + 1(Z 2 = 0 ovvero, X + Z 3 = 0. II Il fascio F α,β di piani passanti per la retta r ha equazione α(x + Y Z β(x + 2Y Z = 0 dove i numeri reali α, β sono tali che (α, β (0, 0. Un piano del fascio risulta parallelo alla retta r se un vettore di direzione della retta r appartiene alla giacitura del piano, ovvero se v = (2, 3, 1

5 soddisfa l equazione omogenea associata di F α,β : α(x + Y Z + β(x + 2Y Z = 0. Pertanto troviamo i valori di α, β tali per cui α( β(2 6 1 = 0, ovvero 2α 5β = 0. Siano (α, β = (5, 2, allora il piano cercato F 5, 2 ha equazione 5(X + Y Z + 2 2(X + 2Y Z = 0, ossia 3X + Y 3Z + 10 = 0. III Un piano π passante per l origine del riferimento ha rappresentazione cartesiana π : ax +by + cz = 0, dove (a, b, c (0, 0, 0. Il piano π risulta parallelo alla retta r se le coordinate di un vettore di direzione di r, ad esempio v = (1, 0, 1, soddisfano l equazione omogenea associata di π: a + c = 0. Quindi l equazione di π risulta ax + by az = 0. la distanza di π dal punto Q è 1 se ax 0 + by 0 az 0 a2 + b 2 + a 2 = 1 dove Q (X 0, Y 0, Z 0 = (1, 1, 1. Pertanto a b a = 2a 2 + b 2. Elevando al quadrato otteniamo b 2 = 2a 2 + b 2, da cui a = 0. Essendo c = a = 0, allora il piano cercato ha equazione Y = L affinità f risulta una isometria se la matrice ( 1/2 3/2 A = 3/2 1/2 è una matrice reale ortogonale. Poichè t A A = ( 1/2 3/2 3/2 1/2 ( ( 1/2 3/2 1 0 = 3/2 1/2 0 1 ed inoltre det(a = 1/2 3/2 3/2 1/2 = 1/4 + 3/4 = 1 allora f è una isometria diretta del piano euclideo. I punti uniti di f sono tutti i punti del piano U (X 1, X 2 tali che { X 1 = 1X X X 2 = 3 X X ovvero { (1/2X1 ( 3/2X 2 = 3 1/2 ( 3/2X 1 (1/2X 2 = ( 3/2 + 1 Poichè la matrice incompleta associata al sistema ( (1/2 ( 3/2 ( 3/2 (1/2 ha determinante 1/4 + 3/4 = 1 il sistema di due equazioni in due incognite è di Cramer con soluzione (X 1, X 2 tale che X 1 = 3 1/2 ( 3/2 ( 3/2 + 1 (1/2 = 1, X 2 = (1/2 3 1/2 ( 3/2 ( 3/2 + 1 = 2. Concludendo, l isometria diretta f possiede un unico punto fisso U di coordinate (1, 2 e pertanto per il Teorema di Chasles f è una rotazione di centro U.