Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006

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1 Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 005/006 Antonella Ballabene SOLUZIONI -14 marzo 006- SCHEMA per lo STUDIO di FUNZIONI 1. Dominio della funzione f).. Eventuali punti di intersezione con gli assi coordinati.. Studio di segno della funzione. 4. Ricerca degli asintoti orizzontali, verticali e obliqui). 5. Calcolo della derivata prima f ) e studio di segno di f ): studio degli intervalli di crescenza e decrescenza, ricerca di massimi e minimi. 6. Calcolo della derivata seconda f ) e studio di segno di f ): studio della concavità e convessità, ricerca dei flessi. Esercizio 1. Studiare la funzione f ) = 1 Il dominio della funzione è Df) = R-{±1} poiché è determinato dall insieme { R : 1 0}. La funzione interseca gli assi solo nell origine O0,0). Studiamo il segno della funzione risolvendo la disequazione f) 0. Il numeratore è positivo per 0. Il denominatore è non negativo all esterno delle soluzioni { = ±1}. Ne segue che la funzione razionale fratta è tale che f) 0 per 1 < 0 > 1 f) < 0 per < 1 0 < < 1 Analizziamo gli eventuali asintoti della funzione. Poiché il dominio è Df) = R-{±1}, calcoliamo i limiti destro e sinistro in ±1 e i limiti per che tende a ±. lim 1 ± 1 = ± quindi otteniamo l asintoto verticale = 1. per cui si ottiene l asintoto verticale = 1. lim 1 ± 1 = ± 1

2 lim ± 1 = 0 poiché sia il numeratore che il denominatore tendono ad infinito, ma il grado del denominatore maggiore del grado del numeratore. Otteniamo quindi l asintoto orizzontale y = 0 asse delle ascisse). f 1 ) ) ) = 1) = + 1 1) Analizziamo il segno di f ) per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione. Il numeratore è sempre negativo, il denominatore è positivo Df), allora si avrà f ) < 0 Df) La funzione decrescente in tutto il suo dominio e non ci sono punti di minimo o massimo perchè la derivata non si annulla mai. f ) = 1 ) + 1 ) 1 ) ) 1) 4 = + ) 1) Analizziamo il segno di f ) per determinare la convessità e la concavità della curva ed eventuali punti Il numeratore è positivo per 0, il denominatore, essendo una potenza di indice, è maggiore di 0, quando la sua base è maggiore di 0, quindi per < 1 e > 1. Ne segue che f ) 0 per 1 < 0 > 1 f) è convessa) f ) < 0 per < 1 0 < < 1 f) è concava) La derivata seconda si annulla nell origine, quindi si ha un flesso in O0,0). Esercizio 10. Studiare la funzione f ) = 1 Il dominio della funzione è Df) =, 1] [1, + ) poiché è determinato dall insieme { R : 1 0}. La funzione non interseca gli assi coordinati, ma agli estremi del dominio in = ±1) vale f 1) = 1 e f1) = 1 Studiamo il segno della funzione. Risolvere f) 0 equivale a risolvere la disequazione 1 ). In generale vale: f) 0, n f) g) g) 0 f) g n ) allora risolvere la disequazione ) equivale a risolvere il sistema 1 0, 0 1 La soluzione di tale sistema ci darà l intervallo in cui la funzione è positiva. Ne segue che f) > 0 per > 1 f) < 0 per < 1

3 Analizziamo gli eventuali asintoti della funzione. Poiché il dominio è Df) =, 1] [1, + ), calcoliamo i limiti per che tende a ±. Per che tende a + siamo di fronte ad una forma indeterminata + ) che risolviamo nel modo seguente lim ) 1 ) + 1 ) ) 1 )) ) ) = 0 Otteniamo quindi l asintoto orizzontale y = 0 asse delle ascisse). Per che tende a si ha lim ) 1 = La funzione potrebbe avere un asintoto obliquo, calcoliamo quindi il coefficiente angolare m: f ) 1 ) m Calcoliamo l intercetta q dell eventuale asintoto ) ) 1 1 ) 1 1 q f ) m) ) 1 + ) 1 = 0 Nota: In risultato si ottiene, come per il caso appena visto per che tende a + ), eliminando l indeterminazione con la razionalizzazione. Otteniamo quindi, per che tende a, l asintoto obliquo di equazione y =. f ) = 1 1 = 1 1 Analizziamo il segno di f ) per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione. Per lo studio di segno del numeratore si veda sopra studio di segno della funzione), da cui otteniamo che il numeratore è negativo per > 1 e non negativo per < 1 e non si annulla mai. Il denominatore è sempre positivo. Allora si ha f ) > 0 per < 1 f ) < 0 per > 1 La funzione decrescente in 1, + ) e crescente in, 1) e non ci sono punti di minimo o massimo perchè la derivata non si annulla. f 1 ) = 1) 1 =

4 Analizziamo il segno di f ) per determinare la convessità e la concavità della curva ed eventuali punti Il numeratore è una costante positiva, il denominatore è sempre positivo nei punti interni al dominio della funzione. Ne segue che, non ci sono punti di flesso e la curva volge la concavità verso l alto in ogni punto di Df). Esercizio 17. Studiare la funzione f ) = e 1 Il dominio della funzione è Df) = R {0} poiché è determinato dall insieme { R : 0}. Studiamo il segno della funzione. Essendo un esponenziale, f) > 0 per ogni R {0}. Analizziamo gli eventuali asintoti della funzione. Poiché il dominio è R {0}, calcoliamo i limiti per che tende a ± e i limiti destro e sinistro in = 0. Si noti che, in generale, vale: e g) + per g ) + e g) 0 per g ) Quindi si avrà lim e 1 ± ± e 1 1 ) e 1 1 ± = e 0 = 1 poiché l esponente tende a 0 per ±. Si ottiene così per asintoto orizzontale la retta y = 1. lim e 1 = ± poiché l esponente tende a per 0 ±. Il limite destro coincide con il limite sinistro, pertanto la funzione può essere prolungata con continuità, ponendo f0) = 0. f ) = e 1 Analizziamo il segno di f ) per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione. Il segno sarà dato dalla funzione razionale fratta in quanto l esponenziale è sempre non negativa in ogni punto del dominio. Allora si avrà f ) > 0 per 0 < < f ) < 0 per < 0 e > La derivata prima si annulla in =, quindi si avrà un massimo in, f))e con lo stesso procedimento di prima prolungando anche la derivata prima in 0 con continuità, si avrà un minimo nell origine. La funzione decrescente in, 0), + ) e crescente in 0, ). Il calcolo della derivata seconda è lasciato al lettore. Esercizio 18. Studiare la funzione f ) = ln ) 4 Il dominio della funzione è Df) =, ) 4, + ) poiché è determinato dall insieme { R : 4 > 0}. La funzione interseca gli assi in due punti: A0, ln 4 ) e B-1,0). Studiamo il segno della funzione. Risolvere la disequazione logaritmica ln 0 equivale a risolvere ) 4

5 Si ottiene f) 0 per 1 e > 4 f) < 0 per 1 < < Analizziamo gli eventuali asintoti della funzione. Poiché il dominio è, ) 4, + ), calcoliamo i limiti per che tende a ±, il limite destro in 4 e il limite sinistro in. Si noti che, in generale, vale: Quindi si avrà ln g ) + per g ) + ln g ) per g ) 0 ) ) lim ln ± 4 ln ± 1 4 = ln poiché l argomento del logaritmo tende a per ±. Si ottiene così per asintoto orizzontale la retta y = ln. ) lim ln = asintoto verticale = 4 ) ) lim ln = + asintoto verticale = 4) f 5 ) = ) 4) Analizziamo il segno di f ) per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione. Il numeratore è sempre negativo, mentre il denominatore è positivo in ogni punto interno al dominio. Allora si avrà f ) < 0 Df) La funzione è sempre decrescente nel campo d esistenza e non ci sono punti di massimo e minimo, perchè la derivata non si annulla. f ) = 4 11 ) 4) Analizziamo il segno di f ) per determinare la convessità e la concavità della curva ed eventuali punti Il denominatore non influisce sul segno della derivata seconda pechè è un quadrato, il numeratore è positivo per Ne segue che, non ci sono punti di flesso e f ) > 0 per > 4 f) è convessa) f ) < 0 per < f) è concava). 5