Il teorema di classificazione delle curve del secondo ordine

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Franca Paoli
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1 Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 Il teorem di clssificzione delle curve del secondo ordine Ponimo X T = (,). Un equzione di secondo grdo T T T XAX + BX+ c = 0, con A = A, oppure T X A B ( X 1) A = 0, con A= T 1 B c definisce un luogo di punti del pino euclideo che, second del rngo di A e, in dipendenz del segno del determinnte di A, è di uno tr i sette tipi elencti nell tell: rngo di A 3 deta Nome Equzione cnonic Form + = 1 > 0 Ellisse Insieme vuoto + + 1= 0 ellisse immginri = 0 Prol = p < 0 Iperole > 0 Punto = 1 + = 0 rette complesse coniugte, incidenti in (0,0) = 0 < 0 = Rette prllele + = 0 prllele immginrie Rette = 0 incidenti Insieme vuoto 1 = 0 Rett doppi = 0 Le superfici del secondo ordine e loro sezioni pine. Tglindo con un pino un cono circolre (infinito) si ottengono qusi tutte le curve del secondo ordine (perciò dette nche coniche ), come mostrno le immgini che seguono, trtte d 1

rett (doppi) due rette un punto Tr le sezioni pine

scuol elementre, può vere un sezione pin formt d

Certmente, tglindo con un pino un superficie

Tr i pini che tglino un superficie sferic, ci sono

2 Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 ellisse prol iperole un rett (doppi) due rette un punto Tr le sezioni pine del cono non compre uno solo dei sette tipi elencti nell tell precedente. Qule superficie, tr quelle che ci sono note dll scuol elementre, può vere un sezione pin formt d due rette prllele? Certmente, tglindo con un pino un superficie sferic non si possono ottenere rette. Tr i pini che tglino un superficie sferic, ci sono quelli che l incontrno soltnto in un punto (i pini tngenti), e ltri che l incontrno in circonferenze. E non vi sono ltre possiilità.

Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 Inftti: dti un pino ed un sfer di centro O e di rggio R, considerimo l perpendicolre condott l pino d O e chimimo h l

Ogni punto P che pprtiene contempornemente l pino e ll sfer determin, con O e con H, un tringolo rettngolo, con un cteto di lunghezz h e l ipotenus ugule R, come illustrto dll figur.

Qundo è h = R, l circonferenz si riduce d un punto.

3 Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 Inftti: dti un pino ed un sfer di centro O e di rggio R, considerimo l perpendicolre condott l pino d O e chimimo h l distnz del centro dell sfer dl pino (cioè l distnz tr il centro dell sfer e l su proiezione ortogonle sul pino, indict con H nell figur). Ogni punto P che pprtiene contempornemente l pino e ll sfer determin, con O e con H, un tringolo rettngolo, con un cteto di lunghezz h e l ipotenus ugule R, come illustrto dll figur. Quindi i punti comuni ll sfer e l pino descrivono un circonferenz, perché hnno, tutti, l stess distnz dl punto H, precismente l distnz r per cui si h R h = r. Qundo è h = R, l circonferenz si riduce d un punto. Il vlore mssimo di r si h qundo è h = 0: rgionevole quindi chimre cerchi mssimi di un sfer quelli che sono tgliti di pini che pssno per il suo centro. Non ostnte che l form sferic ci si oltremodo fmilire, non sempre riuscimo riconoscerne delle porzioni, come nel cso delle vele del tetro dell Oper di Sdne. A forme geometriche meno fmiliri sono ispirti molti edifici, d esempio il fumiolo, fotogrfto d Elen Mrchetti, qui riprodotto dll rticolo: Elen Mrchetti e Luis Rossi 3

Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 Cost Mthemticl elements in Historic nd Contemporr Architecture, NEXUS NETWORK JOURNAL VOL. 8, NO., 006, pg.

convenientemente il sistem di riferimento, si ricvno le equzioni cnoniche per ciscun cso.

4 Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 Cost Mthemticl elements in Historic nd Contemporr Architecture, NEXUS NETWORK JOURNAL VOL. 8, NO., 006, pg Come l superficie sferic è rppresentt d un equzione di secondo grdo nelle coordinte crtesine z, così nche l superficie del fumiolo ed ltre, di cui incontrimo esempi nell vit quotidin, hnno equzioni di secondo grdo. Anlogmente qunto si f per le curve, si possono clssificre le superficie del secondo ordine (qudriche) in se certi invrinti lgerici: si dimostr che i csi possiili sono in numero finito e, scegliendo convenientemente il sistem di riferimento, si ricvno le equzioni cnoniche per ciscun cso. Le qudriche di tipo generle 1 (non specilizzte) sono dotte di tre pini di simmetri, quindi di un centro di simmetri, e perciò sono chimte qudriche centro. Prescindendo z dll ellissoide immginrio (di equzione = 0) si hnno i tre tipi: c Ellissoide Iperoloide un fld (iperolico) Iperoloide due flde (ellittico) z c + + = 1 z c + = 1 z c = 1 1 Come per le coniche, l distinzione in specilizzte e non specilizzte dipende dl rngo dell mtrice dei coefficienti dell equzione di secondo grdo. 4

Il fumiolo dell fotogrfi precedente è un pezzo di iperoloide iperolico.

proloidi; hnno soltnto due pini di simmetri e sono di due tipi: Proloide

specilizzte sono, prescindendo dl cono immginrio di z equzione + + = 0

Cilindro ellittico Cilindro iperolico Cilindro prolico z c + = 0 + = 1 =

pini: due pini incidenti due pini prlleli, due pini complessi coniugti =

5 Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 I disegni mostrno soltnto un prte di ciscun iperoloide. Il fumiolo dell fotogrfi precedente è un pezzo di iperoloide iperolico. Le qudriche non specilizzte che non hnno un centro di simmetri si chimno proloidi; hnno soltnto due pini di simmetri e sono di due tipi: Proloide sell (iperolico) Proloide ellittico = z + = z Le qudriche semplicemente specilizzte sono, prescindendo dl cono immginrio di z equzione + + = 0 (soddisftt dll sol origine delle coordinte), il cono e i c cilindri: Cono Cilindro ellittico Cilindro iperolico Cilindro prolico z c + = 0 + = 1 = = p 1 Le qudriche doppimente specilizzte sono costituite d coppie di pini: due pini incidenti due pini prlleli, due pini complessi coniugti = 0 1 = + = 0 Si noti che l equzione + = 0 è soddisftt d tutti e soli i punti di un rett, l sse delle z. 5

Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 Infine, le qudriche triplmente specilizzte sono coppie di pini coincidenti; in form cnonic = 0.

6 Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 Infine, le qudriche triplmente specilizzte sono coppie di pini coincidenti; in form cnonic = 0. L iperoloide d un fld, il proloide sell, il cono e i cilindri si possono ottenere come il luogo delle triettorie descritte di punti di un rett che si muove secondo un dt legge: vengono perciò chimte qudriche rigte. E fcile vederlo nel cso del cono: si sceglie un punto V fuori del pino di un conic C, si congiunge V con un punto P di C ; l muoversi di P su C, con V fisso, l rett VP descrive il cono. Se invece si impone ll rett di mntenere un direzione costnte l vrire di P su C, si ottiene un cilindro. Il tipo del cilindro (ellittico, prolico, iperolico) dipende dl tipo di C (ellisse, prol, iperole). Il proloide sell e l iperoloide un fld godono inoltre dell proprietà di contenere due diverse fmiglie di rette, tli che per ogni punto dell superficie pssi un rett dell un e un dell ltr fmigli. Un modo di generre un iperoloide un fld consiste nel fissre un corrispondenz iunivoc tr due coniche che giccino in pini prlleli e costruire le rette che congiungono punti corrispondenti. Usndo due volte questo metodo sono stte trccite, con il softwre Mthemtic, le figure qui sotto, in cui compiono prti delle due fmiglie di rette dell stess qudric: Per ottenere un proloide, si possono congiungere punti corrispondenti in unigezione tr due rette sgheme. Ecco un prte di un proloide sell, visto d due punti di vist diversi Osservimo che se un pino contiene un rett di un qudric rigt, llor quel pino contiene un second rett dell qudric, perché tgli l qudric in un conic, necessrimente specilizzt. 6

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