Lezione 8: Sistemi ad un grado di libertà: l oscillatore elementare (8)

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1 Lezione 8: Sistemi ad un grado di libertà: l oscillatore elementare (8) Federico Cluni 3 marzo 205 Fattore di amplificazione in termini di velocità e accelerazione Nel caso l oscillatore elementare sia soggetto ad una forzante sinusoidale: F (t) = F 0 sin ωt () la sua risposta è data da: quindi la sua velocità è: x(t) = F 0 f D sin (ωt ψ) (2) e la sua accelerazione da: ẋ(t) = F 0 f D ω cos (ωt ψ) = F 0 m ω ω f D sin (ωt ψ) (3) ẍ(t) = F 0 f D ω 2 sin (ωt ψ) = F 0 ω 2 m ω 2 f D sin (ωt ψ) (4) A partire dalle precedenti, si possono definire, oltre al fattore di amplificazione in termini di spostamento, f D, il fattore di amplificazione in termini di velocità, f V : e il fattore di amplificazione in termini di accelerazione: f V = f D (5) f A = 2 f D (6)

2 fv = fd ν = 0.00 ν = 0.0 ν = 0.5 ν = 0.30 ν = 0.50 ν = 0.80 ν = Figura : Andamento di f V. fa = 2 fd ν = 0.00 ν = 0.0 ν = 0.5 ν = 0.30 ν = 0.50 ν = 0.80 ν = Figura 2: Andamento di f A. In particolare f A rappresenta il rapporto (a meno del segno) fra l accelerazione massima 2

3 subita dall oscillatore e quella cui sarebbe sottoposto se la massa fosse isolata (ovvero senza le forze di richiamo elastico e viscosa). Si noti come il massimo di f V sia sempre raggiunto per =, mentre il massimo per f A si ha per =. 2 ν 2 2 Strumenti di misura per le vibrazioni In molti aspetti dell ingegneria è importante poter misurare le vibrazioni di un corpo, si pensi ad esempio alle strutture sottoposte all azione sismica. Nella sua forma più semplice, gli strumenti utilizzati sono trasduttori costituiti da un oscillatore elementare posto all interno di un elemento reso solidale al corpo di cui si vogliono misurare le vibrazioni. Si presentano nel seguito le principale applicazioni. Accelerometri Si consideri che il moto del terreno sia rappresentato da: ü(t) = ü g sin ω t (7) In tal caso la risposta dell oscillatore, è data da: x(t) = m ü g f D sin (ωt ψ) = ( ( ω 2 f D ü g sin ω t ψ )) ω Quindi lo spostamento subito dall oscillatore (e registrato dallo strumento) è l accelerazione imposta alla base, con uno sfasamento temporale di ψ ω, divisa per ω2 f D. In generale quindi, sia lo sfasamento che l ampiezza dipendono dalla pulsazione dello spostamento impresso, perciò lo spostamento non sarà una rappresentazione fedele dell accelerazione imposta. Tuttavia, adottando smorzamenti elevati, ad esempio ν = , si ha che per pulsazioni tali che 0 ω/ω 0.50 il valore di f D è pressoché costante (variazioni inferiori del 2.5 %), mentre il valore di ψ è pressoché lineare in ω/ω, ovvero ψ/ω è indipendente da ω e quindi lo sfasamento temporale è costante. Per cui tutte le componenti armoniche sono scalate della stessa quantità e sfasate dello steso tempo, per cui lo spostamento è una rappresentazione scalata (secondo il fattore ω 2 ) e sfasata delle accelerazioni imposte. (8).025 ν = 0.65 ν = 0.70 ν = 0.75 π/2 fd.000 ψ π/ (a) Fattore di amplificazione ν = 0.65 ν = 0.70 ν = (b) Sfasamento Figura 3: Fattore di amplificazione e sfasamento. Ovviamente, lo smorzamento elevato riduce anche il transitorio iniziale, per cui si può considerare come tutta la risposta sia in condizioni di regime. 3

4 Sismografi Si consideri che il moto del terreno sia rappresentato da: si ha quindi: In tal caso la risposta dell oscillatore è data da: x(t) = m u g ω 2 u(t) = u g sin ω t (9) ü(t) = u g ω 2 sin ω t (0) f D A sin (ωt ψ) = ω2 ω 2 f D u g sin (ωt ψ) = f A u g sin (ωt ψ) () dove si è usato il fattore di amplificazione f A introdotto in precedenza. Nel caso in cui ω sia molto basso allora la funzione tende ad per qualsiasi valore di ν, mentre ψ tende a π. Si ha perciò: x(t) = u g sin ωt (2) Lo spostamento dell oscillatore è allora pari allo spostamento imposto al piede cambiato di segno (il che è inessenziale). Si noti come in questo caso non ha importanza lo smorzamento. Si noti che: y(t) = x(t) + u(t) = 0 (3) ovvero la massa tende a rimanere ferma nel sistema di riferimento inerziale. Questo è il principio di funzionamento dei sismografi, che consistono essenzialmente in una massa elevata collegata ad un supporto solidale al terreno da un elemento di bassa rigidezza: le registrazioni dello spostamento della massa forniscono la storia di spostamenti imposti alla base. Figura 4: Sismografo. 4

5 Si noti come nessuna ipotesi è stata introdotta finora sullo smorzamento, in quanto l andamento di ω2 f D per è indipendente da ν. Tuttavia, al fine di smorzare rapidamente le ω 2 oscillazioni libere, è comunque opportuno che lo smorzamento sia elevato: ad esempio si può immergere la massa in un fluido molto viscoso, o collegarla direttamente ad un dispositivo con elevato ν. 3 Oscillatori non lineari L equazione del moto dell oscillatore elementare trattata finora: m ẍ + cẋ + x = F (t) (4) è un equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Tuttavia in alcuni casi il modello lineare può rappresentare in maniera limitata il fenomeno fisico, ad esempio solo per piccoli spostamenti e deformazioni. In tali casi bisogna tener conto della non linearità del sistema, che può interessare tutti e tre i termini a primo membro: la forza inerziale (m ẍ nel caso lineare), lo smorzamento( c ẋ nel caso lineare), e la forza di reazione ( x nel caso lineare). Tuttavia nel prosieguo non si terrà conto della non linearità del termine inerziale. 3. Non linearità dello smorzamento Si ha smorzamento non lineare quando le forze di smorzamento non sono direttamente proporzionali alla velocità. Una semplificazione si può avere quando tali forze hanno comunque incidenza modesta rispetto alle altre forze in gioco. In tal caso si può introdurre uno smorzatore lineare equivalente, nel senso che è in grado di dissipare in un ciclo la stessa energia. L energia dissipata in un ciclo da un oscillatore con smorzamento lineare, dalla (36) della Lezione 4, è la seguente: ν F0 2 W = [ ( ] (5) m ω ) ν 2 che, tenendo conto che lo spostamento massimo a regime x max vale: x max = F 0 ( 2 ) ν 2 2 (6) diviene: W = ν 2 x 2 max m ω In un ciclo l energia dissipata è quindi: 2 = 2 c ω2 x 2 max (7) W T = W 2 π ω = π c ω x2 max (8) Nel caso che la forza smorzante sia non lineare l energia dissipata in un ciclo si indica con E d. Tale energia consente di determinare il valore dello smorzamento equivalente c eq (ovvero quello di un dispositivo viscoso lineare che in un ciclo dissipa la stessa quantità di energia) uguagliandola alla (8): E d W T = E d c eq = π ω x 2 max (9) 5

6 3.. Smorzamento per attrito Si ipotizzi ora che sull oscillatore elementare agisca una forza di tipo attritivo (come se la massa invece che scorrere su dei rulli fosse appoggiata a terra). Si assume che l attrito agente durante il moto sia del tipo alla Coulomb, ovvero la forza di attrito è indipendente dalla velocità con valore assoluto pari ad una frazione della forza ortogonale alla superficie di contatto (coefficiente di attrito), supposta costante, e direzione opposta al moto. Indicando con F a il valore assoluto della forza di attrito la forza agente sull oscillatore è pari a: R = ẋ ẋ F a = cost (20) L energia dissipata in un ciclo di ampiezza x max è ovviamente: e quindi: Di conseguenza, E d = 4 F a x max (2) c eq = ν eq = 4 F a π ω x max (22) 2 F a π x max (23) Introducendo tale valore nell espressione del fattore di amplificazione si ha: x max = F 0 ( ) (24) ( 2 ) Fa + π x max Risolvendo per x max si ottiene: e da questa: Si fanno le seguenti posizioni: x max = F 0 ( 4 Fa 2 ) 2 ν eq = 2 F a 2 ( ) 4 2 Fa (25) (26) La (28) richiede che β <, ovvero: β = 4 F a (27) ν eq = 2 β (28) β 2 F 0 > 4 π F a (29) In caso contrario la forzante esterna, sinusoidale di ampiezza F 0, F 0 sin ω t, è troppo piccola rispetto all attrito e l oscillatore rimane fermo. 6