Lezione 20. Campi numerici ed anelli di Dedekind.

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1 Lezoe 0 Prerequst: Lezo 9 Dom ad deal prcpal Camp umerc ed aell d Dedekd Defzoe 0 S dce campo umerco og estesoe fta d Q coteuta C Osservazoe 0 Essedo Q u campo perfetto (poché è d caratterstca 0 ved la Proposzoe 5) per l Teorema dell elemeto prmtvo (Teorema 6) og sua estesoe fta è semplce Qud camp umerc soo camp del tpo Q (α ) ove α è u umero algebrco I camp Q ( m) ove m è u tero dverso da 0 e prvo d quadrat soo dett camp quadratc Defzoe 03 Sa u campo umerco La chusura tera d Z s dce aello degl ter d Lo deoteremo co D Vedremo pù avat l motvo d questa otazoe Questa lezoe sarà dedcata allo studo d alcue mportat propretà d D Itato osservamo che Z è u sottoaello d D Esempo 04 Nella Lezoe 9 abbamo vsto che a) se = Q() allora D = Z[] ; + 5 b) se = Q( 5) allora D = Z Proposzoe 05 Se è u campo umerco allora è u campo de quozet d D α Dmostrazoe: Sa L = α β D β 0 Allora L è u campo de quozet d D e L β Sa µ Allora µ è u umero algebrco e qud per la Proposzoe 97 esste u tero o ullo m tale che m µ sa u tero algebrco Allora poché mµ s ha che mµ D Duque mµ µ = L Cò prova che L S coclude che = L m Il ostro prossmo obettvo è determare la struttura degl aell D Provamo prelmarmete alcu lemm relatv alla teora de camp Corollaro 06 D è tegralmete chuso Dmostrazoe: La tes segue dalla Proposzoe 05 e dalla Proposzoe 94 Il prossmo rsultato appartee alla parte d teora de camp svluppata ella Lezoe 4 Lemma 07 Sa F u campo sa ua sua estesoe separable d grado Sa F ~ u estesoe d F algebrcamete chusa Allora esstoo esattamete F-omomorfsm d F ~ Dmostrazoe: Possamo supporre che F Per l Teorema dell elemeto prmtvo (Teorema 6) esste α tale che = F(α ) Sao α = α α le radc cougate d α su F F ~

2 Allora base alla Proposzoe 4 per og = esste u F-somorfsmo d camp σ : F( α) F( α ) tale che σ ( α) = α Esso aturalmete può essere vsto come u F- ~ ~ omomorfsmo σ : F D altra parte og F-omomorfsmo F va α qualche α e qud cocde co uo deσ Negl eucat e elle dmostrazo de prossm tre lemm adotteremo le otazo della dmostrazoe del Lemma 07 Sa oltre f ( x) F[ x] l polomo mmo d α su F Dat β β T β β ) = σ ( β ) quadrata d orde a cosdereremo la matrce ( ( ) coeffcet F ~ Il prossmo rsultato s rfersce alla ozoe d dscrmate d u polomo trodotta ella Lezoe e s rvelerà utle elle applcazo pratche Lemma 0 ) ( f ) = det T ( α α Dmostrazoe: Per og = 0 trasposta della matrce d Vadermode relatva a σ ( α ) = α Segue che la matrce T ( α α ) è la α α coè co le otazo della Proposzoe s ha ( α α ) = det T ( α α ) La tes segue allora dal Corollaro 3 Lemma 09 Sao ϑ Allora det T ( ϑ ϑ ) = 0 se e solo se ϑ ϑ soo learmete dpedet su F Dmostrazoe: Poché og σ è u applcazoe F-leare se ϑ ϑ soo learmete dpedet su F allora tal soo le coloe d T = T ( ϑ ϑ ) e qud det T = 0 Vceversa suppoamo che ϑ ϑ sao learmete dpedet su F Allora ess formao ua base d su F Se fosse det T = 0 allora le rghe d T sarebbero learmete dpedet su F Segurebbe che gl omomorfsm σ σ soo learmete dpedet su F ~ ma cò cotraddrebbe l Lemma d Dedekd (Teorema 66) Qud det T 0 Lemma 00 Sa u campo umerco d grado su Q sao ϑ ϑ gl elemet d ua base d su Q (I vrtù della Proposzoe 97 possamo assumere che ess appartegao a D ) Sa d = det T ( ϑ ϑ ) (che vrtù del Lemma 09 è o ullo) Allora per og ω D esstoo λ λ Z tal che ϑ ω = λ (*) d = Dmostrazoe: Sa ω D Esstoo allora q q Q tal che ω = q ϑ () = Provamo che per og = dq Z Segurà la tes per λ = dq

3 Sao σ σ le mmerso d u estesoe algebrcamete chusa F ~ d Q Applcado σ alla () otteamo per og = qud essedo ( ) Allora = = σ ( ω) q σ ( ϑ ) σ( ω) q = T σ ( ω) q T = σ ( ϑ ) = T ( ϑ ϑ ) Moltplchamo etramb membr per la matrce agguta β q = (det T) β q dove β β soo ter algebrc: osservamo che se ω è u tero algebrco allora ache σ ( ω ) è u tero algebrco poché σ lasca fss gl elemet d Z oltre le somme ed prodott d ter algebrc soo ter algebrc vrtù della Proposzoe 93 Qud partcolare coeffcet d T e d T * soo ter algebrc e dett è u tero algebrco Per og = sa γ = (det T) β Allora γ q = d γ q * T γ è u tero algebrco per og = Ora com'è facle verfcare base al Lemma 0 e det T dffersce da ( f ) og = per u fattore razoale Ma ( f ) Q Qud d Q Duque per dq = γ Q è u tero algebrco apparteete a Q ovvero per la Proposzoe 96 è u umero tero come volevas Osservazoe 0 S ot aztutto che l umero d del Lemma 00 è tero: fatt d è u tero algebrco quato per defzoe è u espressoe polomale a coeffcet ter degl ter algebrc σ ( ϑ ) ed oltre come stablto ella dmostrazoe del lemma d è u umero razoale ϑ Ora poché gl elemet ϑ formao ua base d su Q per og ω D la d d rappresetazoe (*) è uvocamete determata S ha allora ua coppa d moomorfsm d grupp abela:

4 Alla luce del Teorema 79 e cosegue: ( dz) D Z ϑ ϑ ( da da ) da = d λ ( λ λ ) = d Teorema 0 Sa u campo umerco d grado Allora D è u gruppo abelao lbero d rago Corollaro 03 Sa I u deale o ullo d D Allora I è u gruppo abelao lbero d rago Dmostrazoe: Come cosegueza del Teorema 79 e del Teorema 0 I è u gruppo abelao lbero d rago al pù Per cocludere basta allora provare che ad I per qualche a Z * Ifatt tal caso I cotee l gruppo abelao lbero geerato da aα aα essedo α α gl elemet d ua base d D come gruppo abelao Sa α I α 0 Allora essedo α u tero algebrco esstoo a0 am Z tal che a0 0 e Allora per og = m m α + am α + + aα + a0 = 0 a α = ( α + a α + + a α) α I m m 0 m Qud s può predere a = a 0 Corollaro 04 D è u aello oetherao Dmostrazoe: Per l Corollaro 03 og deale d I è fg come Z-modulo a maggor ragoe è fg come D -modulo La tes segue allora dalla codzoe c) della Defzoe Rcordamo dal corso d Algebra (Corollaro ) che og deale massmale è prmo metre geerale o vale l vceversa Negl aell D però vale la Proposzoe 05 Og deale prmo o ullo d D è massmale Dmostrazoe: Sa P u deale prmo o ullo d D Sa α P α 0 Allora () α + a α + + aα + a0 = 0 per opportu a Z Suppoamo che sa mmo Allora a 0 e oltre 0 a = α a α a α Z D α Z P 0 È facle vedere che Z P è u deale prmo d Z Poché v appartee a 0 o è l deale ullo e qud esste u umero prmo p tale che Z P = pz I partcolare Z P è u deale massmale Cosderamo la seguete composzoe d omomorfsm d aell: ϕ : Z D π D P

5 S ha: er ϕ = Z P = pz Qud ϕ duce vrtù del Teorema fodametale d omomorfsmo per gl aell (ved Algebra Teorema 55) u omomorfsmo ettvo: * ϕ : Z p Z D a + pz a + P * Per mezzo d ϕ Z p Z può essere cosderato u sottoaello d D P Provamo che D P è tero su Z p Z Sa α D Esstoo a Z per cu vale () Applcado la surezoe caoca π otteamo + ( a + P)( + + ( a + P)( + a + P = ( 0 P coè teedo coto dell detfcazoe d cu sopra P P ( + ( a + pz)( + + ( a + pz)( + a0 + pz = Segue che α + P è tero su Z p Z come volevas Poché Z p Z è u campo per l Teorema 94 segue che ache D P è u campo coè P è u deale massmale Osservazoe 06 Cooscevamo gà ua classe d aell cu og deale prmo o ullo è massmale ossa dom ad deal prcpal (PID) trodott ella Lezoe 6 del corso d Algebra Z = D (ved Esempo 9) La Proposzoe 05 c forsce uov esemp come [ 5] Q( 5) che come sappamo dall Osservazoe del corso d Algebra ammette u elemeto rrducble o prmo e qud o è u PID I effett la propretà d essere u PID è strettamete legata a quella eucata ella Proposzoe 05 e a quella d essere u domo a fattorzzazoe uca (UFD) Teorema 07 U aello commutatvo utaro è u PID se e solo se è u UFD ed og suo deale prmo o ullo è massmale Dmostrazoe: Ua delle due mplcazo è gà ota (ved Algebra Proposzoe 94 e Proposzoe 4) Provamo l altra Suppoamo che l aello commutatvo utaro A sa u UFD e che og suo deale prmo o ullo sa massmale Sa P u deale prmo o ullo d A Sa a P a o ullo Allora a o è vertble Per defzoe d deale prmo esste allora u fattore prmo p d a tale che p P Allora (p) è u deale prmo o ullo e ( p) P Poché (p) è u deale massmale e P è u deale propro segue che ( p ) = P Qud og deale prmo d A è prcpale Sa I u deale propro d A Se I = (0) allora I è u deale prcpale Suppoamo allora che I o sa ullo sa a I a 0 Allora a o è vertble Sa S l seme degl deal prcpal propr d A coteet I Allora S o è vuoto perché esste u deale massmale M coteete I: allora M è u deale prmo e qud è prcpale per cu M S Ioltre S ha u elemeto mmale Altrmet fssato u elemeto o ullo a I essterebbe ua catea dscedete o stazoara d deal prcpal: ( ) ( ) ( ) a a a

6 coteet (a): cò è mpossble perché mplcherebbe che a ha ft dvsor a due a due o assocat l che è compatble co l fatto che A è u UFD Sa J = (b) u elemeto mmale d S Sa L I : b { x A bx I} = = Questo è u deale d A coteete I e qud o ullo e s ha bl = I Se L fosse u deale propro d A allora s avrebbe L (c) per qualche c A o ullo e o vertble Ne derverebbe che I ( bc) ( b) = J dove la secoda clusoe è stretta cotro la mmaltà d J Qud L = A ossa I = ba = (b) qud I è u deale prcpale Pertato A è u PID Damo ora la seguete Defzoe 0 U aello commutatvo utaro tegro A s dce u domo d Dedekd se: () A è oetherao; () A è tegralmete chuso; () og deale prmo o ullo d A è massmale Corollaro 09 D è u domo d Dedekd Dmostrazoe: L eucato segue dal Corollaro 04 dal Corollaro 06 e dalla Proposzoe 05 U PID verfca la codzoe () della Defzoe 0 Ioltre verfca le codzo () e () della Defzoe 0 base all Esempo 3 a) e alla Proposzoe 97 rspettvamete Z = D dmostra che o vale l 5 Qud og PID è u domo d Dedekd L aello [ ] Q( 5) vceversa Tuttava dal Teorema 07 segue: Corollaro 00 U domo d Dedekd è u PID se e solo se è u UFD Vedremo seguto che è possble msurare co u umero tero postvo quato u domo d Dedekd s dscosta dall essere u PID e qud u UFD Per cocludere damo u ceo alla possbltà d determare per u dato campo umerco l aello D per va algortmca Esempo 0 Sa = Q( ) Ua base d su Q è formata da I base al Lemma 0 s ha allora che d = det T ( ) = ( f ) essedo f ( x) = x l polomo mmo d su Q coè d = I base al Lemma 00 og elemeto d D s scrve maera uca come Q( ) combazoe leare a coeffcet ter d è tero su Z s hao le cluso: Z [ ] D Z[ ( ) ] Qud sapedo che og elemeto d Z [ ] S può duque trovare D passado rassega sottogrupp d Z [ ] coteet Q( ) Z [ ] Quest base al Teorema d corrspodeza per grupp (ved Algebra Teorema 9) soo

7 corrspodeza buvoca co sottogrupp del gruppo quozete Z [ ] Z[ ] Quest ultmo è u gruppo fto perché cosderato che 0 = 0 base al Teorema 79 s ha Z [ ]: Z[ ] = 64 I geerale se = Q(α ) (dove s può supporre che α sa u tero algebrco) allora posto d = ( f ) ove f (x) è l polomo mmo d α su Q e detto l suo grado s ha Z[ α] DQ( α ) Z[ α] ove d [ ]: [ ] α α = d d Z Z