Classificazione dei semplici ordinamenti di un gruppo libero commutativo con N generatori

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1 RENDICONTI del SEMINARIO MATEMATICO della UNIVERSITÀ DI PADOVA GIORGIO TREVISAN Classfcazoe de semplc ordamet d u gruppo lbero commutatvo co N geerator Redcot del Semaro Matematco della Uverstà d Padova, tome 22 (1953), p < _0> Redcot del Semaro Matematco della Uverstà d Padova, 1953, tous drots réservés. L accès aux archves de la revue «Redcot del Semaro Matematco della Uverstà d Padova» ( mplque l accord avec les codtos géérales d utlsato ( php). Toute utlsato commercale ou mpresso systématque est costtutve d ue fracto péale. Toute cope ou mpresso de ce fcher dot coter la présete meto de copyrght. Artcle umérsé das le cadre du programme Numérsato de documets aces mathématques

2 CLASSIFICAZIONE DEI SEMPLICI ORDINAMENTI DI UN GRUPPO LIBERO COMMUTATIVO CON N GENERATORI Nota Cf) d GIORGIO TREVISAN (a De var problem coteut el «Problem 102» d BR- KHOFF 1) s rsolve l seguete : d) Dato u gruppo G lbero commutatvo co geerator determare quat mod dvers G- s può semplcemete ordare. I I) soo rchamate propretà ote de grupp lber commutatv co geerator. Ne umer 1, 2, 3 s rcordao propretà d tal grupp quado soo semplcemete ordat e s stablscoo alcu semplc lemm. Nel.ro 4 grupp so pesat sez altro come archmede e s dà u teorema che permette d classfcare loro semplc ordamet. Ne umer successv s mostra come l problema d) per G s rcoduca a dare semplc ordamet d opportu grupp lber commutatv archmede ed semplc ordamet d grupp della stessa atura d G, ma co u umero more d geerator. S ottee cos u procedmeto d rduzoe che porta alla soluzoe del problema proposto perchè fe s guge sempre a dover dare semplc ordamet d grupp archmede commutatv). I. - u gruppo lbero commutatvo co geerator ~). (*) Perveuta Redazoe l 22 febbrao ) G. BIRKHOFF, Lattce Theory [Amerca Mat. Soc. Coll., vol. XXV 1948], pag ) I teorem d questo umero su grupp co geerator s possoo ad esempo rcavare da quato detto proposto LEFSCHETZ,

3 - 144 U sottogruppo H d G s chama sottogruppo co dv&olze se cotee elemet dvers dallo zero, e se per og 9 e G tale g co p tero o ullo, segue che g e H. S ha che : Og sottogruppo d G, dverso dall dettà, ò a gruppo lbero commutatvo. TEOREMA: Se H è u sottogruppo co dvsoe d G co r geerator l gruppo H è u lbero commu- - r geerator. Sa ora G u gruppo commutatvo co geerator g~,..., g" e tra quest resto verfcate le codzo ~s Às g s = o ( = = 1, 2,.., r) e sa r l rago della matrce llasll. Per poter semplcemete ordare G è ecessaro, come oto e come rchamato seguto, che tutt gl elemet d G dvers dallo zero sao aperodc. Ma allora s vede faclmete che l problema d ) per u gruppo d questo tpo s rcoduce ecessaramete a studare l problema d) per l gruppo lbero commutatvo co - geerator U gruppo G è detto semplcemete ordato se tra suo elemet è stablta ua relazoe d orde che d due elemet dstt d G dca quale è maggore e quale more ed è tale che se ab (b>a) rsult ~ -~- b qualuque sa m e G. Codzoe ecessara perchè G sa semplcemete ordato è che G o cotega elemet dvers da 0 a perodo fto. Se questa codzoe ecessara è verfcata ed oltre G è commutatvo, allora G s può semplcemete ordare 3). b > 0, s dce che a~ e b soo equvalet dal puto d vsta archmedeo e s scrve a cdb se Algebrac Topology [Amerca Mat. Soc. Coll., Vol. XXVII, 194?] pagg La deomazoe «sottogruppo co dvsoe» è quella usata da P. ALEXANDROFF e H. IIOPF el loro Topologe (vedere l captolo su modul). 3) Loc. ct. 1) teor. 14, pag. 224.

4 ~ per og multplo d c~ esste u multplo b d b tale che 1a b e se per og multplo lb d b esste u multplo m1a d c~ tale che b Se vece per og aturale m è c~ è detto ftamete more d b e s scrve c~ «b. La relazoe b, è ua relazoe d equvaleza ; elle class d equvaleza s possoo dstrbure ache gl elemet egatv d G, basta ovvamete collocare ella stessa classe u elemeto ed l suo opposto. Vale proposto l Teorema 4) : Se G è archmedeo esso è somorfo ad u 80ttogruppo del gruppo addtvo de umer real, qud è commutatvo. S espogoo ora alcu semplc lemm utl per l seguto. LEMMA I.: Se 0 a, 0 b, b ed m, soo ter postv allora ma + b cv a. LEMMA II. ò ~ e 0 «l1 «az ««ar ea~ è ~,. > 0 allora... r qualuque sao gl ter À~,..., 5,,-1 rsulta 0 ~2 N cl..r, 1 E evdetemete, qud e percò tato 0 r Xu resce 1 : ar da cu per og h tero postvo. Per quato vsto precedeza se 0 è u tero postvo s ha 4) Loc. ct. 1) teor. 15, pag. 226.

5 146 Ora qualuque sa 1 tero postvo h e posto 6 = h + 1 resce che asseme alla (1) terma la dmostrazoe della prma relazoe d cu parla l lemma; per la secoda relazoe la dmostrazoe cosegue co cosderazo del tutto aaloghe a quelle gà svolte. LEMMA III. I Se ~ co ( = 1,..., r) ter relatv, allora l = 0 ( = 1, 2,..., r). Ragoado per assurdo sa aj ~ O e j sa massmo (1 ~ j r) s ha percò l lm = 0. Ora o Àj > 0, oppure basta moltplcare la relazoe precedete per - 1 per trovars tale evetualtà, og caso è applcable l LEMMA II. Per esempo se Aj > O per l LEMMA II rsulterebbe 00 a e qud l assurdo 0 c~ aj Come prma applcazoe de lemm precedet s ottee l TEORE>rA : Se G è gruppo lbero commutatvo co geerator, semplcemete ordato, suo elemet s dstrbuscoo u umero d class d equvaleza o suroerore ad. Sa g, ~27..., g ua base d geerator d ~. Og geeratore può essere pesato come postvo perchè se ad esempo fosse gl 0 basterebbe al suo posto cosderare gl e g2,..., g costturebbe acora ua base per G. E pure evdetemete o restrttvo supporre 0 g g, Og elemeto è della forma M Àg e percò per LEMMI I, e II esso o è equvalete a g od ftamete more d gu.

6 147 Ragoado per assurdo s suppoga che esstao + 1 elemet postv d G, (Ù2,..., tal che «(,)2 ««... Sarà tato? (ù 1}, g 1 l determate della matrce formata co gl ter h, j. Se ~ = 0 s possoo determare gl ter..., 5 À ~~ o tutt ull., tal che ed allora dalle (2) moltplcado per À e sommado s ottee teedo coto delle (3) E aw = O co E X # 0 l che è assur do per l LEMMA III. Sa duque =~= 0. I tal caso dcato co H l complemeto algebrco d moltplcata la (2) per H e sommato rspetto ad s ottee H~~ "+1, coè acora u assurdo per l LEMMA III U sottogruppo del gruppo addtvo de umer real somorfo ad u gruppo lbero commutatvo co geerator, ecessaramete archmedeo, è costtuto d tutt umer real E dove À percorre 1 seme de umer ter relatv (e dello zero), e ~z soo umer real fssat, dvers dallo zero, a due a due dvers tra loro e tal acora che se E Ag # 0 rsul- 1. t d cosegueza X; = 0 ( = 1, 2,..., ). L seme d tal sottogrupp sarà dcato el seguto co I. La costruzoe d elemet d I è baale. S dcherà acora co J 1 seme delle class cu s dstrbuscoo gl elemet d I quado s collocho ua stessa classe elemet d I somorf (coè grupp somorf che ell somorfsmo coservao le relazo d orde). I proposto s ha l TEOREMA : Codzoe ecessara e suffcete perchè gl elemet S1 ed ~2 d 1,~ sao tra loro somorf è che detta g

7 148 ( = 1,..., ) base d S1 s rescao a determare S., umer gz" tal che : La codzoe è ecessara. Ifatt se 8, ed 82 soo somorf sao gz umer d ~2 che corrspodoo a Per l somorfsmo gà e g..11 avrao lo stesso sego qud l loro rapporto sarà postvo. Per fssare le dee s suppoga 0, g2 > 0 e g2. Scelto u tero postvo h rsulterà uvocamete determato 1 tero postvo tale che e da questa s trae e qud passado al lmte per 1 somortsmo dalla (5) s deduce e co ulte- e qud da questa ua relazoe aaloga alla (6) rore passaggo al lmte Dal cofroto delle (7), (8) rsulta g 2.= g"2 e d qua facl- 9, g1 mete la prma delle (4). Aaloghe cosderazo se g1 - e g2 o soo etramb postv. Stablta la prma delle (4) le altre s deducoo col procedmeto precedete cofrotado g1 co gí ( = 3, 4,..., ). La codzoe è suffcete. Essterao qud 82 umer g" per cu soo vere le (4). S cosder tra S 1 ed S 2 la

8 - a 149 corrspodeza che assoca all elemeto Z lg d 8, l elemeto d S2. Tale corrspodeza assoca alla somma d ele met la somma de corrspodet ed è buvoca. Ifatt M pochè per le (4) g" = kg s ha che all elemeto E lg 1 d S1 vee a corrspodere S2 l elemeto K.E Ag e vce versa. Duque ad elemet dstt corrspodoo elemet dstt pochè k % 0 e ad elemet postv elemet postv pochè > 0. La corrspodeza cosderata è duque u somorfsmo Per l TEOREMA dmostrato el.r 3. se G è u gruppo lbero commutatvo co geerator, semplcemete ordato, suo elemet postv s dstrbuscoo ( C~ ) class d equvaleza archmedea. Sao A2,..., A tal class. S potrà supporre che se a; e ah e A~ ak se j k. A1 s può chamare la mma classe d equvaleza archmedea d G. S cosder ora l seme A formato dagl elemet d da loro oppost e dallo zero, orbee s ha l TEOREMA t A1 è u sottogruppo co dvsoe d G, medeo quado lo s ord per duzoe G. Sao a e P due elemet d S deve tato far vedere che a - - ~ ~.A.1. Se G a+p>0 può essere 0 qud Se a e ~ hao seg cotrar, ad esempo a 0, ~ > 0, è a + ~ a -~- ~3 2p se per fssare le dee s è supposto - a ~3 ; s procede po come sopra teedo coto che A è la mmo classe d equvaleza. Se almeo uo degl elemet a e P è ullo la cosa è baale. - a - > 0 (G è commutatvo) e pochè a e 2013 p appartegoo ad A* v appartee per quato gà vsto - ~~ e qud sempre per la costruzoe d A ache l suo opposto a + P. 441* è duque u sottogruppo d G, che rsulterà semplcemete ordato per duzoe da G.

9 b 150 D altra parte A è archmedeo perchè se gl elemet postv d At apparteessero ad almeo due class dstte d equvaleza archmedea cò accadrebbe ache per gl elemet d A 1, cotro 1 potes. Sa A* co p tero. S può supporre x > 0 e p > 0 prevo passaggo agl oppost. S ha per l LEMMA 1 2 e qud 1 coè ed A* è duque u sottogruppo co dvsoe d G S mategoo sgfcat dat alle otazo el.ro precedete e s cosdera l gruppo fattorale G1 = G. Ha g1 teresse mostrare comme G duca u semplce ordameto G, el modo che segue. Sao 7~ e k due elermet d 6~ dvers tra loro. S dcho co ~1 e g gl sem d elemet d G che ell omomorfsmo che porta G- su G1 s trasformao rspettvamete h e k. Se a ed cc1 soo elemet d H e b e b elemet d K ed è ad esempo, a b allora è ache b 1. Ifatt sarà a~ = c~ co (? e A = b -~- r~ co r a A* - e se fosse a 1 > 0 dalla a 2013 b==~ - b + cr 2013 ~ segurebbe, pochè a - b 0, b 1 s - c A1 e per la propretà d mmo goduta da cò che è assurdo pochè a e b 1 appartegoo a due class dverse modulo Ne segue che le class d G modulo A~* costtuscoo ua catea e s tederà che h k, se e solo se, H g ; tal modo G rsulta semplcemete ordato. Le cosderazo svolte s possoo vertre. Sa At u sottogruppo co dvsoe d G ; allora per teorem del.r I. su grupp, A* e G1 soo grupp lber commutatv qud At semplcemete ordabl. S sa stablto u semplce ordameto per At ed uo per Gl, s mostra ora come quest ordamet ducao u semplce ordameto su G. Sao p due elemet d G, se ess appartegoo ad A* s stablsca tra loro G la stessa relazoe d orde che pos-

10 151 seggoo A. ; se p e A e q ell omomorfsmo d G su G1 s trasforma ell elemeto q d G1 s poga p q se q > 0 G1 e p q se q 0 G1; se p e q s trasformao ell omomorfsmo ello stesso elemeto h d G1 cò vuol dre ~= secoda che A > 0 ; se fe trasformat d p e q G1 soo due elemet dstt d e q s stablsca tra p e q G la stessa relazoe d orde che hao p e q G1. E mmedato verfcare che G rsulta tal modo semplcemete ordato e che 1 seme A degl elemet postv d A costtusce la classe mma d equvaleza archmedea d G. Rtorado al caso che G sa semplcemete ordato e de semplc ordamet che da G vegoo dott A* ed A*1 medea d G soo umero d ( umero d 1. ), quelle d G1 soo 7. - Sa acora G semplcemete ordato; A (.r I.) sarà ach esso u gruppo lbero commutatvo co r ~~ geerator : orbee è d decsva mportaza per questa rcerca l seguete : TEOREMA: Se G è semplcemete ordccto e l G = G s vede subto che se le class d equvaleza arch- Sottogruppo A rsulta geerato da r geerator, scelto u qualsas sottogruppo co dvsoe d G co r geerator ~.~, è possble determare u semplce ordameto A2* ed u ordtameto G per modo che per duzoe s rproduca G, A*2 a meo d automorfsm l semplce ordameto d parteza. Sa (Ù2,..., ar ua base d geerator d A, h2,..., ua base d G1 cos sa? 1)2, >...> 1)". ua base d ~ 2 e k1, k2,..., k-r ua tl base d G2 a = d* G. S cosder la corrspo- A*2 r deza tra A ed A che assoca ad og elemeto 21 À;w; d At 1 r l elemeto 1 X e cos la corrspodeza tra G, e G, che asso

11 152 -r -r S tratta evdetemete d due so- ca a E l1,h, l elemeto X 1 morfsm d gruppo. Ora A e G1 rsultao semplcemete ordat per duzoe dal semplce ordameto orgaro d G. S cosdero come elemet postv d 1~2 e G2 quell che egl somorfsm precedet soo corrspodet d elemet postv d A e G~. S vede subto che tal modo A~ e G2 soo stat semplcemete ordat. Ad esempo se a, b, c soo elemet da2 chè A* corrspodet b, c verfcao aaloghe dseguaglaze, ma è allora a > c perchè A è semplcemete ordato ; d altra parte l corrspodete d a c > 0 è a - c e qud per la covezoe fatta - e > 0, Ora semplc ordamet d A2 e G2 ducoo (.r 6) u semplce ordameto su G ed l teorema resterà provato se s fa vedere che esste u automorfsmo d G che ad elemet postv el prmo ordameto fa corrspodere elemet postv el secodo ordameto e vceversa. Sao c~2,..., elemet d G che corrspodoo G ad h~, h2,..., h_r e b 1, b2,..., b-r elemet d G che corrspodoo G2 a k1,...~ S ha che tato..., c~,.,> acl,..., quato..., bl,, b-r costtuscoo ua base d G. S cosder la corrspodeza che assoca ad og ~ e ad og aj, bj, coè tale che all elemeto E lw + E 03BCjaj r -r rspodere l elemeto l: + S r -r 1 1 fa cor- e vceversa. E evdete che la corrspodeza è u automorfsmo d G, bsoga mostrare che coserva le relazo d orde. Sa ~se = 0 ( j = 1,..., r) l suo corrspodete è postvo per come s è ordato ~.~ ; se qualche 03BCj è dverso da z.ero, v o appartee ad A e s trasformerà qud ell omomorfsmo d G su G1 ell elemeta che rsulterà postvo per duzoe (.r 6). D altra parte ell somorfsmo cosderato poco sopra tra G1 e G2 a w

12 153 -r corrspode ~j 1 postvo per come s orda G2 ed acora per l 6 l elemeto quato ell omomorfsmo d G su G2 corrspode all elemeto postvo d G=, è postvo Il complesso delle propretà messe evdeza e umer precedet permette ora agevolmete d rsolvere l problema, scopo del presete lavoro, coè d determare semplc ordamet dstt d u gruppo G lbero commutatvo co geerator..., g. Se..., A soo le class d equvaleza archmedea d G u semplce ordameto esse costtuscoo ua catea scchè co mafesto sgfcato del smbolo s potrà scrvere A 1 A 2... A ( :2~:, ). Sao... B, B2 Bj le class d u altro semplce ordameto d G. Perchè due semplc ordamet d G sao effettvamete dstt occorre e basta che sa almeo ua delle class Ah o somorfa alla classe Bh. Per l teorema del. ro 7 la questoe può essere vsta questo altro modo. Scelto u qualuque sottogruppo co dvsoe d G co r geerator e qud s può predere l sottogruppo A* geerato propro da s ord semplcemete A ed ache G z - G per duzoe s ottee u semplce or- A p p dameto d G. U semplce ordameto d G dstto dal precedete s ottee quest zod : 1) cosderado al posto d A* u sottogruppo co u umero d geerator dverso da r, 2) cosderado per A che deve essere u gruppo archmedeo co r geerator u semplce ordameto dverso dal precedete e tal ordamet soo dat dall seme J~ cosderato al umero 4, 3) lascado per A* lo stesso semplce ordameto, ma mutado l semplce ordameto d G1. Ora G, è u gruppo lbero co -- r geerator e come suo

13 154 geerator s possoo predere propro corrspodet 7..., g d 9..., g ell omomorfsmo che porta G su G1. S è cos rcodott a rsolvere l problema zale per u gruppo lbero commutatvo co 2013 r geerator. Cos procededo s arrverà a dover determare gl ordamet d u gruppo archmedeo co s > 1 geerator e quest come s sa gà soo dvduat da l seme Js A ttolo d esempo verrao questo umero trattat drettamete cas d u gruppo commutatvo lbero co 1, 2, 3 geerator. Come prelmare s ramet che se G è u gruppo commutatvo co geerator gl,..., g ed a~,..., ar è ua base d u sottogruppo lbero co geerator del gruppo addtvo reale, per mporre a G u semplce ordameto modo che G rsult somorfo ad g basta covere che E è postvo se e solo se 1 è postvo. Se g..., g è u altra base per G l semplce ordameto d G otteuto co la covezoe E Ag è postvo se e solo se E è postvo, è a meo d u automorfsmo quello cosderato precedeza. Ifatt la corrspodeza è u automorfsmo d G che muta elemet postv elemet postv. I G s mpoe u ordameto dverso dal precedete se s sosttusce ad H elle cosderazo svolte u sottogruppo del gruppo addttvo reale co geerator o somorfo ad H. Percò la scelta della base e sottogrupp come ~I che servoo ad ordare G o ha tlueza questo ordameto e s potrà qud supporre che umer a1,..., y a sao tutt postv. Ed acora s potrà sempre supporre che a = 1 quato, per l teorema del. 4, moltplcado umer della base per uo stesso umero postvo s ottee la base d u gruppo somorfo al precedete. I.) GRUPPO CON 1 GENERATORE g1. - Il gruppo è ecessaramete archmedeo. V è u solo sottogruppo da cosderare, quello geerato da a1 = 1 e è postvo se e solo se ) 1 è postvo. II.) GRUPPO CON 2 GENERATORI g2

14 155 a ) G o sa archmedeo allora per l Teorema del.r 3 suo elemet devoo dstrburs 2 class d equvaleza archmedea A1, A2 (A A 2 ). Per l. 7 s può predere come geeratore d L propro ~1 e per I.) v è, a meo d automorfsm, u solo semplce ordameto d A quello per cu > 0 se e solo se > 0. Cos A A 1* è u gruppo p lbero co 1 geeratore g e come tale può essere scelto l omomorfo g 2 d g2 e per aaloghe cosderazo delle precedet ~9~ 2 > O se e solo se À2 > 0. I coclusoe + ~2~2 > O se h2 > 0 o se 7.2 = 0 e À~ > 0 e per G, a meo d automorfsm, è possble questo solo semplce ordameto. b) G sa archmedeo, allora esso è somorfo ad u sottogruppo lbero co due geerator del gruppo addttvo reale. S rammet che due sffatt sottogrupp soo tra loro somorf. S quado appartegoo ad ua stessa classe elemeto d ~T2. può ache dre che semplc ordamet d G soo corrspodeza buvoca co gl elemet d J2 )- III.) GRUPPO CON 3 GENERATORI g~, ~2, g3 a) G sa o archmedeo ed suo elemet s dstrbu- 5) Voledo determare u elemeto per og classe elemeto d J2 s può procedere come segue. Per geerator d u sottogruppo co due geerator del gruppo addtvo reale s possoo predere due umer postv ed az per l teorema del. 4 s può supporre che uo d ess sa l utà. Dett duque 1 e g tal due geerator deve se x2.-- # 0 qualuque sao gl ter relatv 1 e ~-~ e per questo è ecessaro e basta che g sa rrazoale. Per otteere u sottogruppo H del gruppo addttvo reale o somorfo al precedete, sempre per l teorema del. 4 è ecessaro e basta determare la base 1, g d H per modo che o sa co 1, t, À~, ter o zero. I mer 91 verfcat ua relazoe del tpo soprascrtto soo tutt e sol quell della forma ter o ull. Come cosegueza s ha che l seme degl elemet d JZ 2 ha la poteza del cotuo. Aaloghe cosderazo s potrebbero svolgere per..i.

15 156 scao 3 class d equvaleza A A2 A,. Per l,ro 7 s può predere come geeratore d e v è duque a cosderare u solo ordameto d A 1. è u gruppo lbero co 2 geerator e per quest s A*1 possoo predere gl omomorf g2, g3 d g2 e g3. Gl elemet d G, s dstrburao due class d equvaleza A2 A.3 (rspettvamete omomorfe d A, e A3 ell omomorfsmo G --- G~) Come geeratore d A2 s può predere g2 e v è u solo semplce ordameto d Cos per geeratore d _ ~ s può A2 predere l omomorfo g3" d g3 e s ha acora u solo semplce ordameto da cosderare. Duque, a meo d automorfsm, esste u solo semplce ordameto d G che s può realzzare come segue : h = Àg + + À2g2 + ~3g3 ~ O se À3 > 0; oppure 7~ > O se 7v3 = O e À2 > 0; oppure > 0 se ~3 _-_ 7.2 = 0 e ) 1 > 0. b) Gl elemet d G s dstrbuscoo 2 class A1 ~12 ed A ha u geeratore e sa ~ A1 due geerator g2, g3 omomorf d g e g3. è archmedeo co I semplc ordamet d G s realzzao come. Ordato G s A*1 ~ poe A e se A2 = À3 = 0 quado A1 > 0. c) Gl elemet d G s dstrbuscoo due class A e A ha due geerator u geeratore. Allora I,gl + A + A2g2 + A3g3 > 0 se A3 > 0 e se À3 = 0 quado A1g1.+ À2g2 > O A1 g2 soo geerator d Sa el caso b) come questo caso c) semplc ordamet d G s possoo mettere corrspodeza buvoca co gl elemet d Jz. d) G è archmedeo, suo semplc ordamet soo corrspodeza buvoca co gl elemet d J3- b).