SCHEMA DI MEZZO POROSO

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1 Il oto di un fluido in un ezzo poroso può essere descritto a: SCHEMA DI MEZZO POROSO descrizione 3D del oto di un eleento fluido all interno degli spazi interstiziali: equazione di conservazione della Quantità di Moto (Navier( Navier-Stokes) ρ t v + ρ v v dv ρ ρg p + µ dt v forze di attrito viscoso inerzia locale terine convettivo forze gravitazionali e di pressione il contorno è costituito dalla superficie ipereabile dei grani e la velocità del fluido è nulla in prossiità delle pareti (condizione al contorno) MA v 0 difficoltà di definire con precisione il doinio fluido a livello o icroscopico (incapacità di descrivere la configurazione dell interfaccia tra il fluido e la atrice solida)

2 Il oto di filtrazione è di regie lainare SCHEMA DI MEZZO POROSO Infatti, anche le più alte velocità effettive sono dell ordine dei d 10-1 /s ed assuendo una diensione edia dei eati dell ordine del centietro (decisaente elevata per i tipici ezzi porosi naturali) si ottiene: Re U D ν 1 10 / s / s (U 10 - /s D 10-3 Re 1-10) 1 10) E inoltre: U g 10 / s 9.81 / s pertanto le perdite per variazione di sezione sono assolutaente trascurabili rispetto a quelle di carico piezoetrico richieste per vincere la resistenza viscosa sa al oto. Per i oti di filtrazione si definisce il nuero di Reynolds nella fora: in cui q Q/A rappresenta la velocità apparente e d una lunghezza za icroscopica caratteristica. Si assue spesso per d anche se dovrebbe rappresentare il diaetro dei eati il diaetro edio dei grani (più seplice da isurare) o il d 10. Re f q d ν

3 SCHEMA DI MEZZO POROSO CONTINUO individuazione di un volue di controllo rappresentativo del sistea stea su cui integrare l equazione del oto (REV Representative Eleentary Volue) ogni fase (solida o liquida) è considerata coe un ezzo CONTINUO che occupa il volue di controllo si considerano i valori edi di ogni grandezza fisica icroscopica ica che vengono assegnati al centro del REV U volue totale U U 0 volue vuoti 0 /U 1 n (porosità) 0 effetti icroscopici U in ezzo poroso REV U ax effetti acroscopici La configurazione dell interfaccia tra il fluido e la atrice solida copare in questo odello sotto fora di coefficienti. U ezzo non oogeneo ezzo oogeneo

4 REV- Representative Eleentary Volue in ogni punto del doinio le grandezze edie di tutte le caratteristiche geoetriche delle icrostrutture dei pori o dell interfaccia poro-solido devono essere funzione della posizione e indipendenti dalle diensioni del REV indicando con l la diensione caratteristica del REV e con d la lunghezza caratterizzante le icrostrutture degli spazi vuoti deve risultare: re: l >> d indicando con l ax la distanza oltre la quale la distribuzione spaziale dei coefficienti cienti acroscopici che caratterizzano la configurazione degli spazi vuoti si discosta da quella lineare, deve risultare: l < l ax indicando con L la lunghezza caratteristica del ezzo poroso oltre la quale si hanno significative variazioni nelle grandezze acroscopiche, deve risultare: l << L La DIMENSIONE del REV deve essere tale da Non essere influenzato dalle variazioni dovute agli effetti icroscopici (distribuzione aleatoria dei pori e della atrice solida) Non risentire delle eterogeneità acroscopiche del ezzo poroso

5 Henry Darcy era un ingegnere francese che ha studiato il oto dell acqua nella sabbia nel 1856, ed ha ricavato che la portata d acqua in un condotto è proporzionale alla differenza di carico tra i due estrei del condotto, ed inversaente proporzionale alla lunghezza del condotto. Inoltre la portata è proporzionale ad un coefficiente, K, chiaato conduttività idraulica. La Legge di DARCY Q K A h L Darcy,, H. (1856). Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon, Dalont,, Paris.

6 La Legge di DARCY q K dh ds q è la VELOCITA APPARENTE Q/A ed il segno negativo indica che portate positive corrispondono a valori negativi del gradiente: quindi la velocità si instaura verso i valori decrescenti del carico. diversi tipi di sabbia La velocità effettiva del fluido è invece: Q V n A q n

7 La Legge di DARCY Capo di validità: al crescere della velocità del fluido, la relazione fra portata defluente e perdita di carico diviene non più lineare. q d ν Nuero di Reynolds dei granuli: Re dove d è il diaetro edio del f ezzo poroso La linearità viene eno per Re (cala l effetto delle forze viscose rispetto a quelle inerziali). Ciò si verifica in vicinanza di grandi pozzi di eungiento/ricarica, sorgenti, ecc. In genere ci si trova nel capo di validità della Legge di Darcy

8 Conduttività Idraulica K La Conduttività Idraulica K [L/T] è definibile in un ezzo isotropo opo coe la PORTATA SPECIFICA PER UNITA DI GRADIENTE IDRAULICO ed è uno scalare che esprie la facilità con cui il fluido viene trasportato negli spazi interstiziali. È possibile separare l influenza delle proprietà del fluido da quelle q della atrice solida espriendo K coe: K ρ g k µ k g ν in cui g è l accelerazione di gravità, e k [L ] detta PERMEABILITA del ezzo poroso dipende solo dalle proprietà della atrice solida e può essere deterinato to epiricaente: Fair ed Hatch teoricaente: Kozeny Hatch (1933) Kozeny-Caran (1937) 1 1 ( 1 ) 3 n α P n k C0 β n d ( n) M k 1 s β coeff. di copattazione ( (β 5) M s area della superficie della atrice α fattore di fora dei grani ( (α 6 sferico, α 7.7 spigoloso) solida per unità di volue P percentuale in peso della sabbia tra aglie contigue del C 0 coefficiente (C 0 0.) setaccio di diaetro edio d