INTEGRALI DI FUNZIONI CONTINUE

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1 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII CAP VIII INTEGRALI DI FUNZIONI CONTINUE Si [,] u itervllo chiuso e limitto di R e si Posto, per ogi k,,,, * N risult k k < < < < e per ogi k,,, ) k k L isieme P {,,, } si chim -sim suddivisioe dell itervllo [,]; gli elemeti di P suddividoo l itervllo [,] i itervlli tutti di mpiezz ugule Si, or, [, ] R Cosidert l suddivisioe P [, ] ell itervllo [, k k] ) S ( c )( ) : u uzioe cotiu di, per ogi k,,, si scelg u elemeto c k e poi si cosideri l somm k k k k Tle somm prede il ome di somm di Cuchy; è evidete che tle somm dipede o solo d m che dll scelt dei puti c k Ciò premesso, si dimostr il seguete odmetle TEOR- Esiste ed è iito il lim S Ioltre tle limite o dipede dll scelt dei puti c k Si poe l seguete DEF - Si chim itegrle di su [ ], il lim S, e si deot co il simolo [, ] ( ) d OSS - Dll DEF cosegue, cus di ) e ), che, d lim dove per ogi k [ ] ( ) ( ck ) N * e per ogi k,,, risult c k [ ], k k

2 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII Esempi () Si : [, ] R costte di costte vlore α Allor si h per ogi e, quidi, N * ( ) S ck α [, ] k ( ) α d α Si [, ] () : R deiit d ( ) Per ogi N * e per ogi k,,, si scelg ck k k e si cosideri l somm di Cuchy S ck k ( ) k k ( ) ( ) ( ) k k Si h, duque, lim S ( ) ( ) ( )( ) cioè [ ] d ( )( ),

3 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII Si oti che se < <, l itegrle di sopr è ugule ll re del trpezio rettgolo delimitto dl segmeto di estremi e posto sull sse, dl grico di posto sull isettrice del e qudrte e dlle perpedicolri ll sse per i puti e y Iterpretzioe geometric dell itegrle Si : [, ] R u uzioe cotiu e positiv (cioè per ogi [, ] risult ( ) chim rettgoloide di se [, ] reltivo d il sottoisieme del pio R {(, y) R :, y ( ) } y ( ) c k ) Si k c k k Si cosideri l somm di Cuchy S ( ck )( k k ) k ll re del rettgolo di se [ k, k ] ed ltezz ( c k ) e si oti che il k-esimo ddedo è ugule L somm S si può cosiderre u pprossimzioe dell re del rettgoloide R E che evidete che quto più grde è, cioè quto più grde è il umero di itervlli i cui,, tto migliore è l pprossimzioe suddett si suddivide l itervllo [ ] Pertto è lecito riteere che qudo tede ll iiito l somm S tede ll re di che l itegrle di su [, ] coicide co l re di R Tle risultto l imo veriicto ell esempio () dto sopr: i quel cso trpezio R, ovvero R coicidev col

4 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII Proprietà dell itegrle Sio : [, ] R e g : [, ] R due uzioi cotiue Allor sussistoo le segueti proprietà: ) (Proprietà di lierità o distriutiv) Per ogi α, β R si h [, ] ( ( ) βg( ) ) d α [ ] ( ) d β g( ) α d ; ) (Proprietà dditiv) Per ogi c [, ] [ ],, si h [ ] ( ) d ( ) d ( ) [ c] [ c ],,, d ; ) (Mootoi) Si h [, ] i) ( ) d, ii) g ( ) d g( ) [ ] [ ],, d, d, iii) ( ) [ ] [ ] ( ) d, Teorem dell medi Se [, ] tle che : R è cotiu, llor esiste u puto c [, ] [, ] ( ) d ( c)( ) Dim- A cus del teorem di Weierstrss esistoo il miimo ed il mssimo di Ioltre, detti m mi ( ) M m ( ) ed,,, [ ] [ ] per il COR del teorem degli zeri (cp IV, pg ) risult: ) ([ ] ) [ m, M ] Poiché per ogi [, ], risult m ( ) M cus dell proprietà di mootoi dell itegrle (cr ii) si h [ ] ossi (cr esempio () pg ) [ ] ( ) [ ] md d Md,,,

5 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII ( ) ( ) m d M [, ] d cui ( ) d [, ] m M ( ) D quest ultim, cus di ), cosegue l esistez di u puto c [, ] tle che e, quidi, l sserto, ( ) [ ] () c d OSS- L qutità ( ) d [, ] si chim vlor medio di su [ ], Nel teorem dell medi si è visto che esso è u vlore ssuto d Si oti che dll deiizioe di itegrle cosegue che ( ) d [, ] ( c ) lim k k Poiché ( ) k K ( c ) k c k è l medi ritmetic degli vlori ( c ) ( c ) ( c ),,, ssuti d, il lim si può itedere come l medi di u umero ideiitmete grde di vlori di Questo è il motivo per cui il rpporto ( ) d [, ] prede il ome di vlor medio di su [ ], Al ie di orire u metodo per il clcolo dell itegrle, è coveiete dre u deiizioe più geerle di itegrle, come ell seguete DEF- Si X u itervllo e si : X R cotiu Per ogi, X si chim itegrle deiito d e di il umero, [ ] ( ) d se < ( ) d se [, ] ( ) d se < 5

6 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII Dll DEF segue che per ogi, X risult ( ) d ( ) e che per l itegrle deiito vlgoo le segueti proprietà: ) ( Proprietà di lierità) Se, g : X R soo cotiue e se α, β R llor per ogi, X risult d ( ( ) β g( ) ) d α ( ) d β g( ) α d ) (Proprietà dditiv) Se : X R è cotiu, per ogi,, c X risult c ( ) d ( ) d ( ) d c ) (Teorem dell medi) Se : X R è cotiu, per ogi, X esiste u puto c pprteete ll itervllo chiuso di estremi e tle che Si poe, ioltre, l seguete ( ) d ( c)( ) DEF- Se : X R e se X è u itervllo, si chim primitiv di ogi uzioe F : X R derivile e tle che F ' (cioè tle che per ogi X ' F ) risulti ( ) ( ) OSS- E ovvio che ogi uzioe derivile è primitiv dell su uzioe derivt E che di ovvi dimostrzioe l seguete PROP- Si F u primitiv di u uzioe F c ( cioè l uzioe deiit d ( )( ) ( ) c primitiv di : X R Allor per ogi c R l uzioe F c F per ogi X ) è cor u L proposizioe seguete permette di cooscere tutte le primitive di u dt uzioe o ppe se e coosc u PROP- Si : X R, si F u primitiv di e si G : X R Allor le segueti proposizioi soo equivleti: ) G è primitiv di, ) esiste c R tle che G F c Dim- L impliczioe ) ) cosegue dll PROP Per quto rigurd l impliczioe ) ) si h per ipotesi che F G e, quidi, ' ' ' G F G F ( ) 6

7 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII (qui co si deot l uzioe costte di costte vlore deiit i X) Allor (cr ) dell PROP8, cp IV) risult G-F costte, cioè l ) OSS Dll PROP cosegue che se mmette u primitiv F, llor e mmette iiite e queste soo tutte e sole del tipo F c co c costte ritrri Si dà l seguete DEF Se : X R mmette primitive, l isieme di tutte le primitive di si chim itegrle ideiito di e si deot co d ( ) Dll PROP cosegue il COR- Se F è u primitiv di : X R, llor ( ) d { F c c R} : Si coviee di scrivere l ugugliz di sopr come segue: ( ) d F( ) c Dimostrimo or il seguete Teorem odmetle del clcolo itegrle Si : X R cotiu ed X u itervllo Se X, l uzioe F : X R deiit d per ogi X, è u primitiv di F ( ) ( t) dt Dim Per l deiizioe di primitiv occorre dimostrre che, per ogi i e F( ) F( ) lim ( ) o X, risult F derivile Si, pertto, F X ed X { } Si h llor ( ) F( ) () t dt () t dt () t dt () t dt () t dt D ltr prte cus del teorem dell medi (pg ) esiste u puto c pprteete ed tle che () t dt ( c )( ) ( ) F( ) ( c ) ll itervllo chiuso di estremi F Cosegue che Or per l ipotesi si h che c e, quidi, 7

8 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII lim c Ciò implic, cus dell cotiuità di i, che lim c ( ) ( ) e, quidi, F lim ( ) F( ) ( ) DEF L uzioe F deiit el teorem odmetle del clcolo itegrle si chim uzioe itegrle di OSS5 Dl teorem precedete cosegue che ogi uzioe cotiu : X R deiit i u itervllo è dott di primitive, i prticolre ogi uzioe itegrle di è u primitiv di Pertto cus del COR dell PROP cosegue che se X risult ( ) d ( t) dt c U coseguez otevole del teorem del clcolo itegrle è dt dl COR ( Formul del clcolo itegrle) Se : X R è u uzioe cotiu deiit ell itervllo X e se G è u primitiv di, llor per ogi, X risult ( ) d G( ) G( ) (*) Dim- Sio e due elemeti di X Poiché l uzioe itegrle di, F : X R, deiit d F ( ) () t dt per ogi X, è u primitiv di e G è ch ess primitiv di per ipotesi, cus dell PROP esiste c R tle che G F c Duque si h G ( ) F( ) c e G ( ) F( ) c, ovvero G ( ) c e ( ) ( t) dt c () t dt G( ) G( ) G, d cui risult OSS6 E ovvio che se : X R è u uzioe derivile co derivt cotiu, essedo u primitiv dell su derivt, dl COR cosegue che per ogi, X risult ( ) ( ) d ( ) ( ) [ ( ) ] ' Esempi () Si clcoli l itegrle d Poiché u primitiv dell uzioe è si h (*) Not: L dierez G( ) G( ) si suole deotre co [ ( ) ] G 8

9 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII d Si oti che, per il sigiicto geometrico di itegrle, l itegrle d, coicide co l re del segmeto prolico di se [ ] y () Si clcoli l itegrle ( )d Poiché u primitiv di ( ) d 6 è si h L ormul del clcolo itegrle ricoduce il clcolo di u itegrle deiito quello di u primitiv dell uzioe itegrd, quidi del suo itegrle ideiito Dll tell delle derivte delle uzioi elemetri si ricv i modo ovvio l seguete tell degli itegrli ideiiti immediti : ) α R { } : α α d c α ) d log c * ) R {} : d c log ) e d e c 5) cos d se c ; sed cos c 6) d tg c ; cos d cot g c se 7) d rcse c 8) d rctg c D queste ormule si deducoo quelle segueti, elle quli ϕ è u uzioe cotiu dott di derivt prim cotiu: α α ' 9) α R { } ( ( )) ( ) ( ϕ( ) ) : ϕ ϕ d c α ' ϕ ( ) ) d logϕ( ) c ϕ ( ) * ϕ ( ) ' R {} : ϕ ( ) ) ϕ ( ) d c log 9

10 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII ) e ϕ ( ) ϕ ( ) ( ) ϕ ' d e c ) ' ( cos ϕ( )) ϕ ( ) d seϕ( ) c ) ' ( se ϕ( ) ) ϕ ( ) d cosϕ( ) c ' ϕ ( ) 5) d tgϕ( ) c cos ϕ( ) ' ϕ ( ) 6) d cot gϕ( ) c se ϕ( ) 7) ' ϕ ( ) d rcseϕ( ) c ϕ ( ) ' ϕ ( ) 8) d rctgϕ( ) c ϕ ( ) Qui si oriscoo lcui esempi di ppliczioe di queste ormule Risult: se () tgd d log cos c ; cos cos () tg d d d d tg c ; cos cos se () ( se ) cos d c ; () d log log c ; log (5) d d log tg c ; se cos tg cos (6) ( ) d d c ( ) c Prim di proseguire co l esposizioe dei metodi di itegrzioe ideiit voglimo ccere qulche ppliczioe geometric dell itegrle deiito Aimo già visto che l itegrle esteso di u uzioe cotiu e positiv : [, ] R coicide co l re del suo rettgoloide Ciò si può geerlizzre el seguete modo Se :[, ] R e g : [, ] R soo uzioi cotiue e risult g, llor si chim regioe pi compres tr i grici di ƒ e g il seguete sottoisieme di R R Si può dimostrre che l re di R {(, y) :, ( ) y g( )} R, g g è dt d ( g ( ) ( )) d Perciò ell esempio () dto pg 9 si è che dimostrto che l re dell regioe pi compres tr i grici dell isettrice del e qudrte e l prol ell itervllo [,] è dt d

11 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII ( ) d 6 Si è gi visto che l re del segmeto prolico di se[,] è ; or sommdo quest ll re dell regioe pi di sopr si ottiee,cioè l re del trigolo rettgolo di se [,] 6 ed ltezz L itegrle trov u utile ppliczioe che el clcolo dell lughezz di u rco di curv Più precismete se :[, ] R è u uzioe cotiu co derivt cotiu si dimostr che l lughezz del grico di ƒ è dt d ( ( )) d U ltr ppliczioe rigurd il volume di u solido di rotzioe Più precismete se ƒ: [,] è cotiu, il volume del solido otteuto cedo ruotre itoro ll sse il grico G di ƒ di u golo giro è dto d y ( ( )) d Π 6 G z

12 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII Metodi di itegrzioe ideiit Nel seguito ci tterremo ll seguete covezioe Se,, soo uzioi cotiue i u itervllo X e se α, β soo umeri reli, col simolo ( ) α ( ) d β ( ) d coverremo di deotre l isieme delle uzioi reli deiite i X del tipo ( ) α F ( ) β F ( ) c dove F è u primitiv di ( cioè F ( ) d ), F è u primitiv di (cioè F ( ) d) e c è u costte rele Ciò premesso, si dimostr cilmete il seguete e più semplice metodo d itegrzioe TEOR (Itegrzioe per decomposizioe i somm) Se ƒ e g soo uzioi cotiue ell itervllo X, llor per ogi α, β R risult α ( ) β g( )) d α ( ) d ( β g( ) d Dim Si oti che u elemeto geerico dell isieme ( ) d β g( ) d α F β F c co F ( ) d ed F g( ) d Pertto F e F g, d cui ( α F βf c) α βg, cioè α F β F c α ( ) g( ) d e, quidi, ( ) β ( ) βg( ) ) d α F ( ) F ( ) c α ( β α ( ) d β α è del tipo g( ) d Esempio Si h ( cos ) d c d d cos d si U ltro metodo d itegrzioe viee illustrto el seguete TEOR (Itegrzioe per prti) Se e g soo uzioi deiite i u itervllo X e dotte di derivte prime cotiue, si h ( ) g ( ) d ( ) g( ) ( ) g( ) d Dim Dll regol di derivzioe del prodotto di due uzioi cosegue che ( g) g g e, quidi, ( g) ( ) d ( g g )( ) d, ossi per il TEOR ( ) g( ) c ( ) g( ) d ( ) g ( ) d OSS7 Nel primo memro dell ugugliz del TEOR l uzioe () che compre sotto il sego di itegrle prede il ome di ttore iito, metre g () di ttore dierezile Il più delle volte il ttore dierezile o compre ell orm di derivt di u dt uzioe: i tl cso co opportui ccorgimeti isog ricodursi tle orm L esempio che segue è di chirimeto

13 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII e d e d ( e e e d) De d ( e e d ) ( e De d ) e e e c U ltro metodo di itegrzioe di lrgo uso è illustrto el seguete TEOR (Itegrzioe per sostituzioe) Sio X ed Y due itervlli e sio ϕ :Y X ed : X R due uzioi, l prim dott di derivt prim cotiu i Y e l secod cotiu i X Allor si h ϕ ϕ ) ( ( t)) ( t) dt ( ( ) d) ϕ () t dove si è posto ( ( d ) ) { F ϕ : F ( d ) } ϕ () t Dim Se F è u primitiv di, risult per ogi t Y F ϕ ( t) F ( ϕ( t)) ϕ ( t) ( ϕ( t)) ϕ'( t e quidi ( F ϕ ) ( t) dt ( ϕ( t)) ϕ'( t) dt cioè ( ϕ ( t)) ϕ'( t) dt F( ϕ( t)) c e quidi l sserto ( ) ) OSS8 Si oti che se ϕ è igettiv si può cosiderre l ivers ϕ di ϕ e, quidi, dll ugugliz ( ) () t ( ϕ( t)) ϕ'( t) dt ( ) d si ottiee l ltr ) ( ) d ( ( ϕ( t)) ϕ'( t) dt) t ϕ ( ) Qudo si utilizz quest ultim ugugliz si dice che si clcol l itegrle ( ) d poedo (o eettudo l sostituzioe ) t ϕ ( ) Se ivece si utilizz l ugugliz che compre el TEOR si dice che si clcol l itegrle ( ) d poedo (o eettudo l sostituzioe ) ϕ(t) Esempio () Si clcoli l itegrle ideiito si cos d si Si eettu l sostituzioe ϕ y si e si v clcolre l itegrle y dy dy dy dy y log y c y y y Per otteere l itegrle ssegto si deve sostituire si l posto di y e si h

14 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII si cos d si log si c si () Si clcoli l itegrle ideiito d Eettudo l sostituzioe t si h t (i tl cso è ϕ( t ) t e ϕ ( ) ) Formlmete il uovo itegrle d clcolre si ottiee d quello dto poedo ϕ(t) e d ϕ ( t) dt, cioè el ostro cso t t tdt ( t ) dt t c t Pertto l itegrle dto è d t t tdt t t t c t ( ) c OSS9 Si oti che dlle ormule ) e ), rigurdti gli itegrli ideiiti clcolti col metodo di sostituzioe, si ottegoo due ormule loghe rigurdti gli itegrli deiiti Più precismete se α, β Y ed F è u primitiv di, d ) si h β β ϕ( β) ϕ( β) ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt α [( F ϕ )( t) ] F(()) ϕ β F(()) ϕα [ F ( )] ( d ) o equivletemete, se ϕ è igettiv, ed, X α ϕα ( ) ϕα ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ( ) ϕ ( d ) ( ( t)) ( tdt ) Ad esempio per quto visto ell esempio () si h 5 t 7 d t Itegrzioe delle uzioi rzioli P( ) Voglimo illustrre u metodo per itegrre le uzioi rzioli ossi le uzioi del tipo Q( ) co P () e Q () poliomi coeicieti reli Supporremo che grdo P() < grdo Q(); se così o osse steree dividere P() per Q() e ci si ricodurree l cso ipotizzto Trtteremo l rgometo co semplici esempi Il deomitore Q() è prodotto di ttori di primo grdo distiti d 5

15 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII Risult 5 ( ) ( )( ) I tl cso si cerc u decomposizioe dell uzioe itegrd del tipo A B 5 co A e B costti d determirsi Risult itti A( ) B( ) ( A B) (A B) cioè ( A B) (A B) e per il pricipio di idetità dei poliomi A B, (A B) A B Risolvedo il sistem si ottiee A e B A B Pertto si h d d d log log c 5 Il deomitore Q () è prodotto di ttori di primo grdo lcui dei quli ripetuti d ( ) Qui si cerc u decomposizioe dell uzioe itegrd del tipo A B C ( ) ovvero A( ) B( ) C ( ) ( ) Uguglido i umertori e cioè i coeicieti dei termii di ugul grdo si ottiee AC, B-A e B Risolvedo il sistem costituito d queste tre equzioi si h A -, B - e C Pertto risult ( ) e itegrdo si h d log log c ( ) Il deomitore Q () è u poliomio di secodo grdo irriduciile (ciò ccde se e solo se il discrimite dell equzioe Q () è strettmete miore di ) e P () è costte d c dove Δ c < 5

16 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII 6 Risult c c c Δ e quidi c Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ ; Δ Δ Δ D d ciò si h itegrdo Δ Δ c rctg d c Il deomitore Q() è u poliomio di secodo grdo irriduciile e il umertore P() è u poliomio di primo grdo d Si scrive l uzioe itegrd come somm di due uzioi delle quli il umertore si l derivt del deomitore Più precismete 5 5 e d ciò itegrdo si ottiee d C 7 rct 7 5 log Il deomitore Q() è prodotto di u poliomio di primo grdo e di u poliomio di secodo grdo irriduciile ( ) d Si cerc di scrivere l uzioe itegrd el modo seguete: ( ) A B C Si h duque ( ) ( ) ( ) A C B A ovvero uguglido i umertori, AB, C, A D ciò segue B - e quidi 5

17 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII ( ) Clcolimo d (cr cso ) Poiché risult d d d log ( ) rct c Clcolo di itegrli col metodo di itegrzioe per prti 5 6 log d ( D ) log d log d log c; rcse d ( D) rcse d rcse d rcse ( )( ) d ( ) c rcse rcse c; ( ) log d D log d log d log d log c; 9 cos d D se d se se d se D cos d se cos cos d se cos se c I modo logo si clcol se d se D cos d se cos cos d se cos ( se ) se d d se cos se d D ciò cosegue che se d se cos c ovvero se cos se d c Alogmete si clcol cos d e se d e D cos d e cos e cos d e cos e D se d 7

18 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII e cos e se e se d D ciò cosegue che e se d e se e cos c e quidi e e se d ( se cos ) c Itegrzioe per rziolizzzioe Ci propoimo di clcolre itegrli del tipo r ( ( ), ( ) ) d dove r è u uzioe rziole di due vriili reli ed soo uzioi reli di u vriile rele Vedremo che co opportue sostituzioi tli itegrli si ricoducoo d itegrli di uzioi rzioli ( r e ) d I tl cso si eettu l sostituzioe t e e Ad esempio clcolimo d e Posto t e si h logt e quidi d dt Pertto si clcol l itegrle t t dt t t L cui uzioe itegrd è u uzioe rziole Si determio le costti A e B tli che t dt dt log t log t c t( t) t t Pertto risult e e ( ) d loge log e c log e r, d I tl cso si poe t Si clcoli l itegrle d t t t Posto t si h t e d t dt Si clcol duque dt dt t t t t t t t t t Poiché si h t t t t dt t dt t t t t Si h poi t t t t t t t t e quidi c 8

19 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII t c t t t dt dt rctg Pertto si h t t t dt t dt t rctg c t t t t e quidi d rctg c r, d Si poe t c d c d Si clcol d esempio d (, ) r c d Se > si eettu l sostituzioe c ( t) Se ivece <, dett α u rdice rele dell equzioe c si eettu l sostituzioe c t( α) Clcolimo d t t Posto t si h t t e quidi d cui d dt t t t t t Pertto si clcol dt dt dt log t c t t t t t t t t Cosegue che d log c Clcolimo or d Poiché α < si eettu l sostituzioe t ( ) Itti le rdici dell equzioe soo e 9

20 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP VIII Ioltre si h ( )( ) e quidi ( )( ) t( ) d cui elevdo t l qudrto si h t e d quest si ottiee e poi t t t d Si v clcolre duque l itegrle ( t ) t dt dt rctgt c ( t ) t t t Pertto risult d rctg c