CAPITOLO I. Prof. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Programmazione Dinamica

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1 CAPITOLO I. - PROGRAMMAZIONE DINAMICA La programmazione dinamica è una parte della programmazione matematica che si occupa della soluzione di problemi di ottimizzazione di tipo particolare, mediante una tecnica di decomposizione del problema originario in sottoproblemi più semplici. Non è possibile, per la programmazione dinamica, parlare di una formulazione matematica "Standard", come per la programmazione lineare. In realtà, quindi, più che di una vera e propria teoria la P.D. è una tecnica utilizzata in casi particolari e che sfrutta un principio fondamentale: il Principio di ottimalità di Bellman, che recita come segue:. "Una politica ottima è tale se, fissata una decisione iniziale, le decisioni rimanenti sono ottime per lo stato in cui si trova il sistema in conseguenza della prima decisione". Data la difficoltà di comprensione che deriva dall'enunciato, ci valiamo di un esempio per meglio afferrare il significato. Esempio.. (A variabili intere, perché qualunque problema, anche a variabili continue, è rappresentabile con una approssimazione abbastanza elevata, mediante un problema equivalente a variabili intere): Un'azienda dispone di 0 unità di risorsa e desidera ripartirle tra 4 processi produttivi. In particolare noi ci riferiremo al caso di una grossa azienda che voglia fare una grossa campagna pubblicitaria all'interno di 4 aree geografiche ben definite, utilizzando, per es., 0 propagandisti. E' evidente che l'azienda o fa delle indagini di mercato, oppure fa stimare dai propri esperti quale è l'utile che le può venire dall'impegno di un certo numero di unità (propagandisti) in ciascuna zona, Alla fine di questa stima l'azienda avrà a disposizione una tabella di questo tipo: PROCESSO QUANTITÀ DI RISORSA INVESTITA PRODUTTIVO P (area geografica) P P P N. B.: Se non dovessi investire nulla nell area (P ) avrei lo stesso un utile conseguente dal fatto che su quella area geografica il mio prodotto è già noto. Se dovessi investire unità di prodotto avrei un utile pari a per un utile pari a 8, per 3 a 37, e così via. Stesso discorso poi per P, P 3, P 4. Politecnico di Bari Riservato alla circolazione interna

2 Partendo dalla tabella possiamo applicare il principio di ottimalità di Belmann. Dobbiamo quindi fissare una decisione iniziale: in questo caso P. Costruiamo quindi una tabella che metta in relazione gli investimenti di P e P e gli utili che se ne traggono. Tabella P P ris ris. util. util N. B.: All incrocio degli elementi si trovano i valori fissando, per es. che per 5 propagandisti investiti nel sistema, 3 lo siano in P e due in P cioè = 7. La tabella ha come frontiera la diagonale in quanto, per es., fissati 3 propagandisti in P ne possono essere assegnati al max 7 in P, fornendo un utile totale pari a 39. Applicando il metodo si ha che: Se non investo risorse l'unico guadagno possibile è quello che già avevo senza aver assegnato alcunché ed è quindi per quello stato uno ottimo; pertanto lo riquadro. Se invece dovessi investire una unità di prodotto, posso investirla sia su P che su P. Se investo su P ho un guadagno pari a + = 33. Se investo su P e niente su P ha un guadagno pari a 3 + = 35. Ciò vuol dire che decidendo di investire una unità di prodotto o su P o su P, mi conviene investire su P, perché tale scelta mi comporta il guadagno maggiore. Riquadro quindi 35. Investiamo ora unità di prodotto. Le posso assegnare o entrambi a P ricavando 30 + = 4, oppure a P e a P ottenendo 3 + = 44,o, ancora, tutto su P avendo un guadagno pari a 8 + = 40. Per unità di prodotto riquadro quindi 44. Per 3 unità ho questa possibilità: 3 unità a P 37 + = 49 unità a P = 5 unità a P unità a P + 30 = 5 unità a P 0 unità a P + 43 = 55 3 unità a P etc.. Politecnico di Bari Riservato alla circolazione interna

3 In pratica occorre andare a vedere tra gli elementi che sono sulle diagonali, cui corrisponde la stessa quantità di risorsa investita complessivamente quale è il valore massimo ed andare a riquadrarlo. Quando incontriamo due o più valori max uguali, li riquadriamo tutti. I principio di ottimalità di Bellman consiste dunque nel prendere una decisione che ci consenta di sapere nell'istante in cui dovessi considerare due soli processi produttivi, quali sono i valori di profitto massimo che otterrei andando ad investire su questi processi produttivi le unità di prodotto disponibili, cioè i rappresentanti (i propagandisti) ossia da tutta la tabella posso riassumere i valori che corrispondono alle decisioni ottime in corrispondenza di qualsiasi situazione dovessi trovarmi. Possiamo quindi riassumere la tabella derivando una tabella più semplice in cui nella a riga ho gli investimenti su P e P (da 0 0) nella a riga il profitto max corrispondente a ciascun investimento e quali sono e conseguenze (3 a riga) per P, ovvero quante unità investiamo su P. Tabella (P, P ) PROFITTO MAX ; SU P Se non ci fossero altre zone geografiche su cui ripartire le risorse avremmo già una situazione ottimale degli investimenti sulle zone P e P. Poiché così non è posso inserire nel discorso una nuova area geografica, ovvero considerare P e P come una unica area geografica per la quale abbiamo già una situazione dei profitti massima relativa ad un investimento che può andare da 0 0. Pertanto la a riga della tabella può essere ora presa quella relativa alla zona geografica P + P. La a colonna diventa quindi P 3. Posso quindi costruire su queste basi una nuova tabella. Tabella 3 P +P P Politecnico di Bari Riservato alla circolazione interna 3

4 In analogia con la tabella possiamo scrivere Tabella 4 (P, P, P 3 ) PROFITTO MAX SU P +P 0 0; ; Consideriamo ora come aree geografiche (P + P + P 3 ) e P 4. Si ha Tabella 5 P +P +P P In analogia con le tabelle, 4 si ha: Tabella 6 (P, P, P 3, P 4 ) PROFITTI MAX SU P +P +P ; 0 0 Andiamo ora alla ricerca della soluzione che ci interessa. Partiamo dall'ultima tabella (6) nella quale vediamo gli investimenti su tutte le aree geografiche. Andiamo sulla riga dei profitti massima a leggeremo il valore del profitto massimo. Non è detto che sempre il valore del profitto max coincida con l'investimento di tutte le risorse; potrebbe cioè capitare, per es., che non sia necessario mandare 0 rappresentanti ma magari 8, Nel caso specifico però il profitto max si ha con l'investimento di tutte le risorse. Infatti 8 è il max e sta in colonna 0. Politecnico di Bari Riservato alla circolazione interna 4

5 Gli investimenti su (P + P + P 3 ) che conseguono a questo utile max sono di unità di risorsa. Ciò significa che su P 4 avrò investito 8 unità di risorsa. Mi rimangono unità che vanno distribuite su (P + P + P 3 ). Torno alla tabella 4 nella quale ho visto quali sono le conseguenze dell'investimento di unità di risorsa su P + P + P 3. Vado in corrispondenza delle unità che devo investire su (P + P + P 3 ) e vedo che la conseguenza per (P + P ) a livello di investimento è di una sola unità di investimento, Ciò vuol dire che investo unità su P 3. Rimane ora risorsa da investire su (P + P ). Vado sulla tabella e vedo in corrispondenza di unità investita quali sono le conseguenze per P a livello di investimento. Ho "zero" investimenti su P. Ciò significa unità su P, 0 unità su P. In definitiva ho: 0 unità su P unità su P 3 unità su P 8 unità su P 4 I procedimento di Bellman diviene ora più chiaro. Riepiloghiamo: non è necessario interessarsi contemporaneamente di tutto il problema. Immagino per un momento di avere a disposizione sole aree geografiche. Ho una proiezione fatta da esperti per cui so qual è il profitto che consegue alla attribuzione delle unità di risorsa a ciascuna area geografica; quindi cerco di individuare qual'è il profitto max che consegue dalla distribuzione su aree geografiche delle risorse. Si costruisce la a tabella : nella prima riga metto tutti quanti i valori degli utili in corrispondenza delle unità di risorse investite a partire da 0 sino a 0; nella e a colonna metto gli utili legati all'investimento delle risorse tra 0 e 0, relative all'area geografica P ; vado quindi ad analizzare quali sono le conseguenze economiche nel caso volessi investire 0,,...,0 unità di risorsa, prendendo in considerazione tutte le distribuzioni per ogni unità di risorsa impegnata. Prendo come politica di investimento quella cui corrisponde l'utile massimo. Riquadriamo i valori max. Riassumiamo infine in una tabella qual'è l'utile max ottenuto investendo le 0 0 unità di risorse su P, P. Considero P e P come una sola area geografica e proseguo analogamente sino all'area (P + P + P 3 + P 4 ). Per sapere poi la distribuzione delle unità di prodotto in corrispondenza dell'utile max costruiamoci la solita tabella riassuntiva. N.B.: il duplice vantaggio della prog. dinamica è quello: ) di avere la possibilità di risolvere con questa tecnica completamente il problema. ) ho risolto tutti i sottoproblemi legati alla distribuzione di qualunque numero di "rappresentanti" su quelle aree. Se a un certo punto non avessi più a disposizione 0 uomini, ma ne avessi per es. 9 non occorre riapplicare il metodo. Mi basta riprendere le tabelle e andare a vedere qual'è l'utile max in corrispondenza di 9. In questo caso è 70, ho 8 unità su P 4 e su P + P + P 3 e cosi via, come abbiamo già visto. Passiamo ora alla formulazione matematica per la P.D.: Se indico con x, x, x 3, x 4 le quantità di risorsa che investo su P, P, P 3,P 4 rispettivamente risultano noti i profitti f i (x i ), legati all'investimento di una qualunque risorsa x i sull'area geografica P i. I mio problema è un problema di massimizzazione di una funzione che la somma delle funzioni profitto legate ai singoli investimenti, dove le nostre x i sono maggiori di zero e Politecnico di Bari Riservato alla circolazione interna 5

6 minori o uguali a 0, in quanto non posso inviare più di 0 uomini in un'area geografica, e inoltre la somma di queste risorse deve essere minore o uguale a 0. ovvero F = i fi( xi) 0 xi 0 i =,...,4 i xi 0 F = f (x ) + f (x ) + f 3 (x 3 ) + f 4 (x 4 ) (.) 0 < x < 0 0 < x < 0 0 < x 3 < 0 0 < x 4 < 0 x + x + x 3 + x 4 < 0 Facciamo un cambio di variabili, introducendo la i in modo che ) = x ) = x + x 3) 3 = x + x + x 3 4) 4 = x + x + x 3 + x 4 Queste nuove variabili rappresentano le risorse complessivamente investite nel sistema allo i-esimo ) P ) P + P 3) P + P + P 3 4 P + P + P 3 + P 4 I significato di queste variabili è quindi semplice. Esse rappresentano la quantità di risorsa che ho investito, allo, solo sul processo produttivo, allo sui processi produttivi e, allo 3, sul processi produttivi,,3 (P + P + P 3 ), allo 4, sui processi o produttivi,,3,4 (P + P + P 3 + P 4 ). Da queste equazioni possiamo ora ricavare x, x, x 3, x 4. Si ha: ) x = ) x = - 3) x 3 = 3 - (.) 4) x 4 = 4-3 e quindi di conseguenza: Politecnico di Bari Riservato alla circolazione interna 6

7 3 4 F ( ) = f( x ) F ( ) = max{ F ( ) + f ( x )} = max{ F ( ) + f ( )} F 3 ( 3 )= F 4 ( 4 )= Tutti i passi che noi abbiamo fatto per risolvere il nostro esempio di P.D. si possono riassumere nella precedente formula iterativa (in cui F i ha il significato di "funzione dei profitti totali ai vari stadi del processo di ottimizzazione"). Per gli stadi successivi al, potremo scrivere in generale F i+ ( ) i + (La funzione utile relativa allo x i+ del processo dinamico di ottimizzazione è ottenibile come somma di un termine che è legato allo precedente (ovvero Fi ( i ) ) più il contributo della introduzione di nuove risorse nel processo produttivo "i+l") ovvero: Fi + ( i+ ) = max { Fi ( i ) + fi+ ( i+ i )} (.3) i (Infatti all'interno delle tabelle, dopo avere fatto l'analisi degli investimenti su P e P abbiamo preso tutti i valori massimi; abbiamo, quindi, in realtà, preso in considerazione la funzione Fi ( i ) relativa allo precedente e che rappresenta la funzione utile per la distribuzione di risorse tra 0 0 allo precedente. Ad essa abbiamo aggiunto un nuovo valore che rappresenta l'utile che ne viene al sistema dall'introduzione del nuovo processo produttivo e tra tutti questi valori abbiamo scelto quelli massimi. Scriviamo quindi "max rispetto a i ). In definitiva il problema di programmazione dinamica si esprime in generale tramite la (.) e (.3). F ( ) = max{ F ( ) + f ( x )} = max{ F ( ) + f ( )} (.4) i+ i+ i i i+ i+ i i i+ i+ i i i Politecnico di Bari Riservato alla circolazione interna 7