1 Integrali curvilinei

Transcript

1 Integrali curvilinei Richiamo: + x dx x + x + x log ) + + x. Exercise Verificare la formula precedente. Exercise Calcolare a + b x dx, con a, b qualsiasi. Exercise 3 Calcolare la lunghezza dell arco di parabola x per x [, ]. Exercise 4 Calcolare la lunghezza dell arco di parabola x + 3x per x [, ]. Exercise 5 Si consideri l arco dell ellisse di equazione 9x + 4 che sta nel primo quadrante. Si consideri la funzione f x, ). Calcolare fds. Exercise Calcolare la lunghezza della curva t) t, t 3 ), t [, ]. Exercise 7 Calcolare fds dove è il segmento che congiunge i punti, ) e, ), mentre f x, ) xe. Exercise 8 Calcolare fds dove è il bordo del triangolo rettangolo di vertici, ),, ),, ), mentre f x, ) x. Exercise 9 ato il campo F x, ) x, e x ) e la forma differenziale ω associata, calcolare ω dove è il triangolo dell esercizio precedente, percorso in senso antiorario. Exercise Calcolare sin dx + cos d) dove t) t, t), t [, ]. Exercise Trovare il dominio della forma differenziale ω dx + x e e d, capire se è chiusa e se è esatta, nel qual caso trovare un suo potenziale. x e Exercise Calcolare ω dove è la circonferenza di raggio e centro l origine, ω dx + x d. +x +x

2 Exercise 3 Per la forma differenziale precedente, calcolare ω dove è l arco nel primo quadrante della circonferenza di raggio e centro l origine, percorso in senso antiorario. Exercise 4 Il risultato dell esercizo precedente può sembrare paradossale, se si considera che le componenti di ω sono positive nel primo quadrante. Ma non ci si deve confondere: si sta integrando il prodotto scalare tra F e lo spostamento infinitesimo lungo la curva. isegnare sommariamente il campo F, le tangenti alla curva, e riconoscere che c è una cancellazione. Exercise 5 Percorrendo il ramo della parabola x che va dal punto, ) al punto, ), si calcoli in due modi diversi l integrale + x ) dx + x + x ) d ) Exercise Capire se, nel suo dominio, la forma ω è esatta. Integrali multipli Exercise 7 Calcolare Exercise 8 Calcolare x dxd, [, ] [, ]. x dxd, [, ] [, ]. + Exercise 9 Calcolare dxd, x [, ] [, ]. Exercise Calcolare dxd, { [, ], x }. + x x dx+ + x d +

3 Exercise Calcolare xe dxd, {x [, ], + x x}. Exercise Sia E è l interno dell ellisse centrata nell origine, che passa per i punti, ) e, ). Sia la sua intersezione col semipiano >. Calcolare dxd. Exercise 3 Calcolare x + ) { dxd, x +, x >, > }. Exercise 4 Calcolare exp x + ) dxd dove è la corona circolare, centrata nell origine, avente come circonferenza interna x + e come circonferenza esterna x +. Exercise 5 Calcolare x + ) x dxd, { x + }. Exercise Calcolare in due modi diversi il seguente integrale: x dxd, { x +, x > }. Exercise 7 Si prenda il rettangolo [ 5, 5] [, ], lo si ruoti di 45 gradi in senso antiorario attorno al punto, ) il suo baricentro). etto il rettangolo inclinato così ottenuto, si calcoli x + ) dxd. 3

4 3 Soluzioni Soluzione es. 3. Calcolare la lunghezza dell arco di parabola x per x [, ]. Usiamo la parametrizzazione da cui t) t, t ), t [, ] L ) + t) dt st + s ds [ x + x + x 4 4 log ) + + x ] log + ) 5. Soluzione es. 5. Intanto dobbiamo parametrizzare l ellisse. La curva cos t t) 3, sin t ) [, t, π ] soddisfa 9 t) + 4 t) 9 cos t + 4 sin t ; si riconosce che è una 9 4 parametrizzazione. Pertanto, essendo f x, ), quindi f t)) sin t, π sin t fds sin t + cos t 9 4 dt π sin t 4 sin t + 9 cos tdt π sin t cos tdt xcos t 4 + 5x dx + 5x 3 4 dx ) 5x + dx 3 s 5x s ds 5 [ x + x + x log ) + + x ] log 3 + ))

5 Soluzione es. 9. Intanto, F x, F x ex, quindi la forma non è chiusa, e quindi neppure esatta; pertanto dobbiamo calcolare l integrale. Indichiamo con il segmento di estremi, ),, ) la base del triangolo), percorso a partire da, ), con il segmento di estremi, ) e, ) l ipotenusa) percorso di seguito al precedente e con 3 il segmento di estremi, ),, ) l altezza), sempre percorsa di seguito, in senso quindi antiorario. Parametrizziamo questi segmenti si noti che le parametrizzazioni di e 3 sono un po laboriose per via dell orientazione): Allora t) t, ), t [, ] t) t, t), t [, ] 3 t), t), t [, ]. ω ω + ω ω t + et ) dt t) t ) + e t ) dt t) + e ) ) dt che si completa facilmente. Soluzione es.. obbiamo imporre x e, ovvero escludere la curva x e o log x, x > ). La ricerca di un potenziale va eseguita separatamente su ciascuna componente connessa e non c è legame tra i potenziali trovati per > log x e < log x. Vale x e e x x e e x e ) e ) e x e ) x e ) e x e ) quindi è chiusa. Ciascuna componente connessa è semplicemente connessa, quindi dev esserci un potenziale U. eve valere x U x e 5

6 da cui U x, ) log x e + C ). Ma allora deve essere log x e + C )) e x e e vale log x e + C )) e x e +C ), quindi C ). E sifficiente prendere C ) : vale U F. In conclusione, un potenziale in ciascuna delle due regioni) è U x, ) log x e. Soluzione es.. Se dovessimo calcolare l integrale avremmo a che fare con espressioni piuttosto complicate: essendo t) cos t, sin t), t [, π], dovremmo calcolare π ) sin t ω + cos t sin t sin t + cos t + cos t sin t cos t dt. Prima allora vediamo se per caso ω è esatta. Il suo dominio è tutto il piano semplicemente connesso). Vale + x + x x + x ) x + x ) x x + x + x xx + x ) x + x ) quindi è chiusa, ed anche esatta. Pertanto ω. Soluzione es. 3. Ora serve conoscere un potenziale U. eve valere x U + x. obbiamo cioè calcolare si noti che è un parametro) + x dx tx dx + x) + t dt arctan t tx + C arctan x) + C quindi U x, ) arctan x) + C ). Si vede subito per simmetria che se prendiamo semplicemente U x, ) arctan x) vale U x, quindi +x

7 tale U è un potenziale. Allora, essendo il primo estremo della curva dato dal punto A, ) e l altro estremo dal punto B, ), vale ω U B) U A) arctan ) arctan ). Il risultato può lasciare perplessi, ma si risolva l esercizio successivo. Soluzione es. 8. Si può fare sicuramente in più modi. Spezziamo il numeratore: Separatamente x + dxd x + dxd x + dxd [ x + dxd t+ xdx + d ] [arctan ] π 4 π dx + d t dt [log t ] log + dxd. quindi x dxd π log. + Soluzione es. 3. Usiamo il teorema di cambio di variabili con la trasformazione ϕ relativa alle coordinate polari: ϕ ρ, θ) x, ), dove x ρ cos θ, ρ sin θ. Sappiamo che det J ϕ ρ, θ) ρ. Inoltre, il dominio { {x + [ ]}, x >, > } corrisponde attraverso ϕ al dominio S ρ, θ, π. Quindi x x + ) dxd π dθ ρ 4 ρdρ π [ ρ ] π. Soluzione es. 7. La trasformazione lineare ϕ u, v) x, ), dove ) ) ) u A, A v, esegue la rotazione indicata. Manda S [ 5, 5] [, ] in. Vale det J ϕ u, v) det A. Infatti, x ) ) x J ϕ u, v) u v A A A. A A u v 7

8 in quanto x A u + A v, A u + A v. Pertanto, detta f x, ) x +, vale f x, ) dxd f ϕ u, v)) dudv. Inoltre, essendo f invariante per rotazioni, vale f ϕ u, v)) u + v. Per sicurezza verifichiamolo: f ϕ u, v)) A u + A v) + A u + A v) S A u + A v + A A uv + A u + A v + A A uv A + A ) u + A + A ) v + A A + A A ) uv da cui si trova f ϕ u, v)) u + v sostituendo i valori numerici dei coefficienti A ij. Fatte queste verifiche, vale f x, ) dxd u + v ) dudv S du u + v ) dv du [u v + v3 3 u + 3 ] v v ) du [ u u ]