APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA

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1 Prof. Luigi Ci 1 nno solstio PPUNTI DI GEOMETRI NLITIC Rett orientt Un rett r si die orientt qundo: 1. È fissto un punto di riferimento, detto origine;. Dei due possiili versi in ui un punto si può muovere su ess, se ne è selto uno he, per distinguerlo dll ltro, diesi positivo e si indi on un frei; 3. È fissto un segmento u, detto unità di misur. u O ssegnre queste tre informzioni signifi introdurre un sistem di riferimento sull rett r. Si stilise osì un orrispondenz iunivo tr i punti P dell rett (enti geometrii) e l insieme dei numeri reli (enti lgerii), ioè d ogni punto P dell rett viene ssoito un numero rele (detto siss di P) e vievers d ogni numero rele è ssoito sull rett un unio punto P he h ome siss. Grzie tle orrispondenz iunivo si può prlre indifferentemente di numeri reli o di punti sull rett rele. Misur di un segmento su un rett orientt Considerti due punti e di un rett orientt O Si definise distnz ssolut tr i due punti ( ) e ( ) l differenz tr l'siss del punto più destr meno l'siss del punto più sinistr: - siss del punto medio di un segmento su un rett orientt Dti su un rett orientt due punti ( ) e ( ), si vuole lolre l siss del punto medio M( M ) del segmento. O M M Dimostrzione Poihé M è il punto medio di, si vrà: M M M - - M M M Il sistem di riferimento introdotto è utile solmente per studire fenomeni he si verifino in un universo mono-dimensionli ( d esempio lo studio del moto di un orpo he si muove lungo un line rett); poihé in prti l mggior prte dei fenomeni si svolgono in un universo idimensionle e tri-dimensionle, è neessrio introdurre un diverso tipo di sistem di riferimento. Sistem di riferimento rtesino ortogonle È ostituito d due rette orientte perpendiolri tr di loro, sulle quli viene fisst un unità di misur (he potrà essere l stess per i due ssi nel qul so himeremo il sistem monometrio o divers nel qul so il sistem srà detto dimetrio). I due ssi si himno: quello orizzontle sse delle sisse (o sse delle ), quello vertile sse delle ordinte (o sse delle ). Essi hnno l stess origine O he divide ognuno di esse in due semissi, uno positivo e l ltro negtivo. Tli ssi, inoltre, determinno quttro ngoli retti detti qudrnti. Essendo le rette ontinue (e quindi prive di uhi ) nhe il pino determinto dlle due rette reli srà privo di uhi, nel senso he è possiile stilire un orrispondenz iunivo tr i punti del

2 Prof. Luigi Ci nno solstio pino (enti geometrii) e le orrispondenti oppie di numeri reli(uno sull sse e l ltro sull sse ) (enti lgerii), ioè d ogni oppi ordint di numeri reli (, ) orrisponde un punto P del pino e vievers. Per indire he e sono le oordinte del punto P, sriveremo: P( ; ) L orrispondenz iunivo mess or in evidenz i onsente di individure i punti di un pino (enti geometrii) in modo nlitio, ossi medinte numeri: R R R { ( ; ) / R ^ R } Distnz di due punti di un pino Si vuole lolre l distnz tr i punti ( 1 ; 1 ) e ( ; ) Dimostrzione: Si ppli il teorem di Pitgor l tringolo C: 1 C C C essendo C 1 C 1 si h: 1 ( 1) ( 1) Csi prtiolri Se il segmento, di ui isogn lolre l misur, è prllelo d uno degli ssi, si può evitre di utilizzre l formul preedente. ) Se è prllelo ll sse ( ioè i punti hnno l stess ordint) 1 1 on 1 1 ) Se è prllelo ll sse (ioè i punti hnno l stess siss) 1 1 on 1 1 Coordinte del punto medio di un segmento nel pino Si vuole lolre le oordinte del punto medio M( M ; M ) di un segmento di estremi ( 1 ; 1 ) e ( ; ). M M 1 M M 1 M Dimostrzione Condott per il punto medio M l prllel ll sse, si vengono d vere le rette prllele, MM, tglite dll trsversli e ; per il teorem sul fsio di rette prllele, essendo MM, si h M M. llor M è il punto medio di, quindi M ( 1 )/. nlogmente si dimostr he M è il punto medio di, quindi M ( 1 )/. In onlusione: M ( ; 1 1 )

3 Prof. Luigi Ci 3 nno solstio L RETT E possiile stilire un orrispondenz iunivo tr un rett (ente geometrio) e un equzione linere di primo grdo due inognite (ente lgerio). tle sopo st nlizzre le diverse situzioni he un rett può ssumere nel pino. Ente geometrio Rett: luogo geometrio di punti rett prllel ll sse k tle rett rppresent il luogo dei punti equidistnti dll sse, ioè l di tutti i punti è ugule k. Ente lgerio Equzione dell rett: esprime l proprietà del luogo geometrio dei punti k rppresent l equzione dell rett prllel ll sse ; in prtiolre rppresent l equzione dell sse rett prllel ll sse tle rett rppresent il luogo dei punti equidistnti dll sse, ioè l di tutti i punti è ugule k. k rppresent l equzione dell rett prllel ll sse ; in prtiolre rppresent l equzione dell sse C k rett isettrie 1 e 3 qudrnte tle rett rppresent il luogo dei punti equidistnti dll sse e dll sse. rppresent l equzione dell rett isettrie 1 e 3 qudrnte;

4 Prof. Luigi Ci 4 nno solstio D E F rett isettrie e 4 qudrnte tle rett rppresent il luogo dei punti equidistnti dll sse e dll sse (però l siss e l ordint hnno segno opposto) rett generi pssnte per l origine Il rpporto tr l ordint e l siss dei punti dell rett è ostnte, ioè m ostnte. Inftti: C C I tringoli O, O, OCC sono simili per il 1 riterio di similitudine, per ui i lti sono in proporzione, ioè: /O /O CC /OC m rett generi q r r Si tri l rett r pssnte per l origine e prllel ll rett dt r; tutti i punti dell rett r hnno l ordint he super di q l ordint dei orrispondenti punti di r venti l stess siss. : - rppresent l equzione dell rett isettrie e 4 qudrnte; m rppresent l equzione dell rett generi pssnte per l origine; m si him oeffiiente ngolre o pendenz dell rett. m q rppresent l equzione dell rett generi; m si him oeffiiente ngolre o pendenz dell rett. q si him ordint ll origine VICEVERS Ente lgerio Ente geometrio Equzione lgeri di 1 grdo in due inognite: Rett - / Rett prllel ll sse - / Rett prllel ll sse C - / Rett generi per l origine D,, -/ / Rett generi

5 Prof. Luigi Ci 5 nno solstio EQUZIONE DELL RETT IN FORM ESPLICIT ED IN FORM IMPLICIT Form espliit : m q Form impliit : -- -/ / onfrontndo tle risultto on l form espliit si osserv he : m q RPPRESENTZIONE GRFIC DI UN RETT Per rppresentre grfimente un rett oorre determinre due punti: se è in form espliit, si ssegnno due vlori ll e si rivno i orrispondenti vlori di ; se è in form impliit, onviene ssegnre un volt zero ll e si riv l, quindi si ssegn zero ll e si riv l ; i punti trovti in questo modo rppresentno le intersezioni dell rett on gli ssi, ioè i punti dove l rett inontr gli ssi. RETTE PRLLELE Due rette prllele hnno l stess pendenz, ioè lo stesso oeffiiente ngolre: m m. RETTE PERPENDICOLRI Considerimo due rette pssnti per l origine e perpendiolri tr loro. Y m (1,m) (1,m ) H(1,) O è un tringolo rettngolo; per il º teorem di Eulide: OH H H H H m m O H 1 H H m - m Pertnto sostituendo si h: m 1 m (- m ) 1 m m -1 m ioè il m oeffiiente ngolre di un rett è l inverso e l opposto del oeffiiente ngolre dell ltr.

6 Prof. Luigi Ci 6 nno solstio PROPRIET FONDMENTLI Sino (, ) e (, ) due punti di un rett non prllel gli ssi (quindi, ). Si P(,) un punto generio del pino. Si intuise he: P è llineto on e PK ˆ ˆ H H simile PK P H K O X X X Dll similitudine dei tringoli H e PK risult: H PK ostnte m H K si possono dedurre tre risultti fondmentli: 1. m serve per lolre il oeffiiente ngolre m dell rett (non // sse ) pssnte per due punti. equzione dell rett pssnte per due punti. 3. m m ( ) serve per lolre l equzione dell rett pssnte per un punto e vente oeffiiente ngolre m.

7 Prof. Luigi Ci 7 nno solstio SSE DI UN SEGMENTO 1 modo L sse di un segmento è l rett r perpendiolre l segmento e pssnte per il suo punto medio. Per determinre l equzione dell sse: Si trov il punto medio del segmento per ui pss l sse Si trov m dell rett r pssnte per i due estremi del segmento Poihé l sse è perpendiolre l segmento, si lol il suo oeffiiente ngolre spendo he è l inverso e l opposto di quello dell rett r. Si srive l equzione dell sse modo L sse è il luogo geometrio dei punti equidistnti dgli estremi del segmento. Per determinrne l su equzione si trovno i punti P(,) dell sse tle he P P. ISETTRICE DI UN NGOLO Si α l ngolo formto dlle rette r e s; l isettrie è il luogo geometrio dei punti P(,) equidistnti di lti dell ngolo, ioè: PH PK (sono le perpendiolri i lti dell ngolo). Per lolre l equzione dell isettrie si trovno le distnze del punto P(,) dlle rette r ed s e si pongono uguli. CIRCOCENTRO 1 modo Punto d inontro degli ssi dei lti di un tringolo. Per trovrlo si mettono sistem le equzioni di due ssi, modo Il iroentro è il luogo geometrio dei punti equidistnti di vertii del tringolo. Per determinrlo si erno i punti P(,) tli he P P PC, ioè si risolve il sistem: P P P PC ORTOCENTRO Punto d inontro delle ltezze del tringolo. Per trovrlo si mettono sistem le equzioni di due ltezze. INCENTRO 1 modo Punto d inontro delle isettrii degli ngoli del tringolo. Per trovrlo si mettono sistem le equzioni di due isettrii. modo E il luogo geometrio dei punti P(,) equidistnti di lti del tringolo. Per trovrlo si determinno i punti P(,) tle he PH PK PE (sono le perpendiolri i lti del tringolo), ioè si risolve il sistem: PH PK PK PE

8 Prof. Luigi Ci 8 nno solstio RICENTRO Punto d inontro delle medine dei lti di un tringolo, di ui si onosono le oordinte dei vertii. Il rientro G h l proprietà di dividere isun medin in due prti tle he l prte ontenente il vertie è doppi dell ltr. Per l medin M si h : G GM, per il teorem di Tlete risult: G G M e quindi: G ( M G ) G M G 3 G M C C ed essendo M 3 G G 3 C in modo nlogo si trov he G 3 C C Pertnto le oordinte del rientro sono: G ; 3 3 RE DEL TRINGOLO 1 modo Si lol utilizzndo l formul per il lolo dell re di un tringolo, per ui: Si lol l lunghezz dell se Si determin l equzione dell rett Si determin l equzione dell ltezz ll rett e pssnte per C Si trov il punto H d inontro tr l equzione dell ltezz e l equzione dell rett Si lol l lunghezz dell ltezz CH Si lol l re modo Si lol il determinnte (det) formto dlle oordinte del tringolo, on l regol di Srrus: 1 1 det 1 quindi si lol l re: det ( dove det è il modulo del 1 C C determinnte). C

9 Prof. Luigi Ci nno solstio DISTNZ DI UN PUNTO D UN RETT Sino P( o ; o ) il punto e r l rett di equzione, si vuole determinre l distnz d he è tr il punto P e l rett r. P r d H d Dimostrzione Trovo l equzione dell rett PH: m r m PH Trovo il punto H: H Trovo PH: PH PH PH