RICHIAMI SU PROCESSI ALEATORI E DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA

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1 RICHIAMI SU PROCESSI ALEATORI E DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA Paolo Bestagini Ph.D. Student bestagini@elet.polimi.it

2 Sommario 2 Segnali deterministici Continui Discreti Sistemi LTI Processi casuali Definizioni Continui Discreti Sistemi LTI Cenni sul periodogramma

3 3 SEGNALI DETERMINISTICI

4 Energia e potenza di segnali continui 4 Consideriamo un generico segnale Potenza istantanea: Energia normalizzata su periodo T: x(t) 2 x(t) Z T/2 T/2 Potenza media normalizzata su periodo T: x(t) 2 dt T Z T/2 T/2 x(t) 2 dt

5 Densità spettrale di energia 5 Consideriamo un segnale a energia finita. L energia si può scrivere come: La densità spettrale di energia risulta essere: E x(t) = Z Rapporto densità spettrale e auto-correlazione: x(t) 2 dt = X(f) 2 Z X(f) 2 df per Parceval X(f) 2 = X(f)X(f) = F(x(t) x( t) )=F(R x(t) ( ))

6 Densità spettrale di potenza 6 Consideriamo un segnale a potenza finita e prendiamone una finestra lunga T: x T (t) Possiamo calcolare la densità spettrale di energia: La densità spettrale di potenza su un periodo T risulta essere: La densità spettrale di potenza è: S xt (t)(f) = T X T (F ) 2 S x(t) (f) = lim T S x T (t)(f) = lim T X T (F ) 2 T X T (F ) 2

7 Dal continuo al discreto 7 Energia e potenza di un processo discreto, sono definite come energia e potenza del processo continuo perfettamente ricostruito dal discreto. Energia: E x(t) = Z x(t) 2 dt = x(t) = Z Densità spettrale di energia: +X n= +X n= x(nt ) (t nt ) sinc ideale x(nt ) (t T X(F ) 2 = T DTFT(x(nT )) 2 energia di una funzione step nt ) 2 dt = T +X n= x(nt ) 2

8 Segnali deterministici e sistemi LTI 8 Data la funzione di trasferimento del sistema H(f) =F(h(t)) Sono valide le seguenti relazioni per energia e potenza: ESD/P SD output (f) =ESD/P SD input (f) H(f) 2

9 9 PROCESSI CASUALI

10 Processi casuali 0 Consideriamo un processo aleatorio x(t, ) (o per semplicità x(t) ) Possiamo osservare diverse realizzazioni del processo

11 Processi casuali Possiamo calcolare statistiche d insieme e statistiche temporali

12 Processi casuali 2 Processo stazionario in senso stretto: le statistiche d insieme non dipendono da t Processo stazionario in senso lato: media e auto-correlazione non dipendono da t Processo ergodico: statistiche d insieme sono calcolabili dalle statistiche temporali Processo ciclostazionario: processo stazionario se considerato a periodo T (esempio con treno di impulsi)

13 Proprietà processi stazionari in senso lato 3 La media d insieme non dipende da t µ x(t) (t) =E [x(t, )] = µ x(t) L autocorrelazione non dipende da t ma solo dall intervallo tau Valgono le seguenti proprietà dell autocorrelazione: R x(t) (t, t + ) =E[x (t)x(t + )] = R x(t) ( ) R x(t) (0) = P x(t) 0 R x(t) ( ) apple R x(t) (0) R x(t) ( ) =Rx(t) ( ) Le stesse proprietà valgono nel discreto.

14 Densità spettrale di potenza (continuo) 4 Consideriamo la trasformata di Fourier del segnale finestrato a una lunghezza T Z T/2 X T (f) = x(t)e j2 ft dt La densità spettrale di potenza di questo segmento è a sua volta una variabile casuale Il suo valor medio è La densità spettrale di potenza di tutto il processo risulta quindi T/2 T X T (f) 2 S x(t),t (f) =E apple T X T (f) 2 S x(t) (f) = lim T S x(t),t (f) = Z R x(t) ( )e j2 f d

15 Densità spettrale di potenza (discreto) 5 Seguendo lo stesso ragionamento, anche nel caso discreto si ottiene che la densità spettrale di potenza risulta essere S x(n) (f) = X R x(n) (k)e j2 fk

16 Processi aleatori e sistemi LTI 6 L uscita y di un sistema LTI (h) con ingresso un processo stazionario è a sua volta stazionaria. Le seguenti relazioni sono valide: (vedere A.6) R y(t) ( ) =R x(t) ( ) h( ) h ( ) =R x(t) ( ) R h(t) ( ) µ y(t) = µ x(t) H(0), H(f) =(F )(h(t))

17 7 PERIODOGRAMMA

18 Introduzione 8 In molte applicazioni è fondamentale poter stimare la densità spettrale di potenza di un processo. Si tratta di realizzare un analizzatore di spettro numerico. B f È nota una realizzazione del processo e, naturalmente, si ipotizza il processo stazionario ed ergodico, altrimenti non sarebbe possibile sperare di estrarre alcun parametro medio statistico. B f 2

19 Stima della densità spettrale di potenza 9 La DFT può essere vista come un banco di filtri passa-banda centrati a frequenze diverse. Si potrebbe finestrare la sequenza e valutare il valore quadratico medio di ogni uscita su più realizzazioni. NT T Σ N x 2 Σ N x 2 ^ h () Questo metodo è noto come periodogramma, ed equivale a calcolare la densità spettrale di potenza e mediarla. x(n) DFT x ^ h (0) x

20 Periodogramma 20 Metodo del periodogramma: si considera un pezzo di una realizzazione del processo, ottenendo così un segnale di durata limitata e ad energia finita, lo si trasforma secondo Fourier e calcolando il modulo al quadrato della trasformata si ottiene la sua densità spettrale di energia. Mediando sulla durata dell osservazione si può passare (con i noti motivi di cautela) alla densità di potenza. Problema Vogliamo avere alta risoluzione in frequenza: Ogni filtro deve avere banda stretta (la DFT va calcolata su un numero alto di campioni). Problema 2 Vogliamo un segnale ripulito da oscillazioni statistiche: Dobbiamo avere molte realizzazioni. Trade-off: devo scegliere come finestrare il processo analizzato (con le opportune ipotesi sulla correlazione tra i campioni).

21 Esempio Iljxuh 44= Xq vhjqdoh dohdwrulr %E 3 x x Iljxuh 45= Prgxor txdgur ghood IIW gho vhjqdoh %E Iljxuh 46= Vwlpd ghood gvs gho surfhvvr ghood j4