2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

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1 Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza risiede soprattutto nel fatto che le applicazioni lineari possono essere espresse mediante matrici 2 Definizione di applicazione lineare Siano V e W due spazi vettoriali su R Un applicazione f : V W è detta lineare se soddisfa le seguenti condizioni (a) per ogni u, v V è f(u + v) = f(u) + f(v), (b) per ogni α R e ogni v V è f(αv) = αf(v) Ad esempio, l applicazione f : R n f(x) = y, dove x = x x n, R 2 definita da y = [ x x n ], è lineare Infatti soddisfa (a) e (b) Invece l applicazione definita da f(x) = y, dove x = x x n non è lineare, perché non soddisfa la (a), y = [ x x n ],

2 9 Capitolo 2 Matrici 22 Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari L insieme L delle applicazioni lineari da V a W è uno spazio vettoriale se si definiscono le operazioni di addizione e di moltiplicazione per scalare nel modo seguente (f + g) : V W e (αf) : V W (f + g)(v) = f(v) + g(v), (αf)(v) = αf(v) L elemento O di L risulta l applicazione f tale che f(v) = per ogni v V Se lo spazio W coincide con V, si può considerare anche l applicazione identica i V, cioè quella per cui i V (v) = v per ogni v V Inoltre date due applicazioni lineari f : V W e g : U V, l applicazione composta f g : U W è ancora un applicazione lineare Per definire un applicazione lineare da V a W è sufficiente assegnare i valori che l applicazione assume sui vettori di una base di V Vale infatti il seguente teorema 23 Teorema Siano V e W due spazi vettoriali su R, con dim V = n, e sia {v,, v n } una base di V Fissati n elementi z,, z n di W, esiste ed è unica l applicazione lineare f L tale che z i = f(v i ) per i =,, n () Dim Per ogni v V si può scrivere in modo unico v = n α i v i definisce f(v) = α i z i i= i= Si È facile verificare che l applicazione così definita soddisfa la () e che è lineare L unicità dell applicazione segue dall unicità della rappresentazione di v Ad esempio, l applicazione lineare f : R 2 f(x) = y, dove x = [ x R 2 tale che ] x + x, y = 2, x

3 Capitolo 2 Matrici 2 viene definita sulla base canonica {e, e 2 } di R 2 nel modo seguente f(e ) =, f(e 2 ) = Si ha infatti per ogni x R 2, x = x e + e 2, f(x) = x f(e ) + f(e 2 ) = [ x x ] + [ x2 ] [ x + x = 2 x ] Si noti che non è richiesto che i vettori z,, z n siano linearmente indipendenti (cosa che non sarebbe possibile se fosse dim W < n) e neppure che siano tutti distinti Ad esempio, l applicazione f : R 3 f(x) = y, dove x = x x 3 R 2 tale che [ x + x, y = 2 viene definita sulla base canonica {e, e 2, e 3 } di R 3 nel modo seguente f(e ) =, f(e 2 ) =, f(e 3 ) = Si ha infatti per ogni x R 3, x = x e + e 2 + x 3 e 3, f(x) = x f(e ) + f(e 2 ) + x 3 f(e 3 ) = [ x x 3 ], ] x2 x + x + + = 2 x 3 x 3 L applicazione f : R n f(x) = y, dove x = R 2 tale che x x n, y = [ x x n ], viene definita sulla base canonica {e, e 2,, e n } di R n nel modo seguente f(e i ) =, per i =,, n

4 2 Capitolo 2 Matrici Si ha infatti per ogni x R n, f(x) = x i f(e i ) = i= x = n x i e i, i= [ x + x x i = x n i= ] 24 Matrice associata ad una applicazione lineare Siano {v,, v n } una base di R n e {w,, w m } una base di R m Un applicazione lineare f : R n R m risulta definita, per il teorema 22, dai valori f(v ),, f(v n ) R m, cioè in termini della base di R m dagli scalari a ij, per i =,, m e j =,, n tali che f(v ) = a w + a 2 w a m w m, f(v 2 ) = a 2 w + a 22 w a m2 w m, f(v n ) = a n w + a 2n w a mn w m Questi scalari si possono disporre in forma di tabella con m righe ed n colonne a a 2 a n a A = 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn a cui si dà il nome di matrice associata ad f Viceversa, data una matrice A di elementi reali a ij, per i =,, m e j =,, n, risulta definita l applicazione lineare (2) Si stabilisce quindi una corrispondenza biunivoca tra l insieme L delle applicazioni lineari da R n a R m e l insieme R m n delle matrici ad elementi reali con m righe ed n colonne Ad esempio, consideriamo l applicazione f : R 3 R 2 definita sulla base canonica {e, e 2, e 3 } di R 3 da 2 f(e ) =, f(e 2 ) =, f(e 3 ) = 3 Se anche in R 2 si sceglie la base canonica, che chiameremo {ɛ, ɛ 2 } per distinguerla da quella di R 3, risulta f(e ) = ɛ + ɛ 2, f(e 2 ) = 2ɛ ɛ 2, f(e 3 ) = 3ɛ 2, e la matrice associata ad f è A = 2 3 (2)

5 25 Prodotto di matrice per vettore Capitolo 2 Matrici 22 Dato un vettore v di R n, si esprimono v e f(v) in termini delle basi di R n e R m : m v = x j v j e f(v) = y i w i j= Vogliamo trovare la relazione fra i coefficienti x j e i coefficienti y i Si ha, per linearità i= f(v) = x j f(v j ) = x j m j= j= i= a ij w i = m ( n a ij x j )w i, i= j= da cui y i = a ij x j per i =,, m (3) j= Questa relazione si può esprimere in termini della matrice A e dei due vettori x R n e y R m, le cui componenti sono rispettivamente gli x j e gli y i, mediante un operazione definita su R m n R n, a valori in R m, che viene indicata con y = Ax (4) e detta prodotto di matrice per vettore Graficamente si ha y i = a i a i2 a in x x n 26 Lo spazio vettoriale R m n Dalle proprietà di linearità segue in modo naturale che se A e B sono due matrici associate alle applicazioni lineari f e g rispettivamente, all applicazione f + g è associata la matrice C = A + B, i cui elementi sono c ij = a ij + b ij, e all applicazione αf, con α scalare, è associata la matrice C = αa, i cui elementi sono c ij = αa ij

6 23 Capitolo 2 Matrici Su R m n si sono così definite le operazioni di addizione e di moltiplicazione per scalare, ed è facile verificare che R m n è uno spazio vettoriale su R, in cui l elemento neutro è la matrice O con tutti gli elementi nulli 27 Alcune definizioni Sia A R m n (i numeri m e n indicano le dimensioni di A) Se m = n la matrice è detta quadrata (in tal caso m è l ordine di A) Gli elementi a ij tali che i = j vengono detti elementi diagonali o principali di A e formano la diagonale principale di A Una matrice quadrata è diagonale se a ij = per i j; scalare se è diagonale e a ii = α R; triangolare superiore (inferiore) se a ij = per i > j (per i < j ); triangolare superiore (inferiore) in senso stretto se a ij = per i j (per i j ); tridiagonale se a ij = per i j > Una particolare matrice diagonale è la matrice identica I I = È facile verificare che la matrice I di ordine n è associata all applicazione identica da R n a R n, se si sceglie la stessa base sui due spazi Una matrice B ottenuta da A eliminando un certo numero di righe e colonne è detta sottomatrice di A Per esempio dalla matrice A = si può ottenere la sottomatrice di ordine

7 Capitolo 2 Matrici Prodotto di matrici Oltre all applicazione f : R n R m consideriamo anche un applicazione g : R p R n, dove in R p si fissa la base {u,, u p } All applicazione f è associata la matrice A R m n, all applicazione g è associata la matrice B R n p Vogliamo determinare la matrice C R m p associata alla applicazione composta f g : R p R m Esprimendo g(u j ), per j =,, p in termini della base di R n, si ha g(u j ) = b kj v k, k= quindi per la linearità della f e per la (2) f(g(u j )) = b kj f(v k ) = b kj m k= k= i= a ik w i = m ( n a ik b kj )w i i= k= Gli elementi c ij della matrice C risultano quindi c ij = a ik b kj, per i =,, m, j =,, p (5) k= La (5) definisce un operazione da R m n R n p in R m p, indicata con C = A B (6) e detta prodotto di matrici Il prodotto (6) si chiama anche prodotto riga per colonna perché il generico elemento di C risulta per la (5) uguale al prodotto scalare tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B Graficamente si ha c ij = a i a i2 a in b j b 2j È evidente che è possibile moltiplicare due matrici A e B solo se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B A parte questo, A potrebbe anche avere una sola riga e quindi coincidere con un vettore x T o B una sola colonna e quindi coincidere con un vettore x, come nel caso del prodotto (4) di matrice per vettore b nj

8 25 Capitolo 2 Matrici risulta Per esempio, dati i due vettori x y T = x = [, 2, ] T, e y = [2,, 3] T, 2 [ 2 3 ] = Attenzione a non confondere questo prodotto con il prodotto scalare fra vettori, che dà come risultato lo scalare x T y = 7 L elemento neutro rispetto alla moltiplicazione è la matrice identica I, associata all applicazione identica i R n 29 Il prodotto di matrici non è commutativo Nel caso m = p, è definita anche l applicazione g f a cui è associata la matrice BA In generale è f g g f e quindi AB BA, cioè il prodotto di matrici non è commutativo Ad esempio, fissiamo in R 3 la base canonica {e, e 2, e 3 } e consideriamo le due applicazioni f, g : R 3 R 3 definite da f(e ) = e 2, f(e 2 ) = e 3, f(e 3 ) = e, g(e ) = e + e 2, g(e 2 ) =, g(e 3 ) = e 3 Le due matrici associate a f e g sono A =, B = Alla applicazione f g è associata la matrice AB =, mentre alla applicazione g f è associata la matrice BA =

9 2 Matrice inversa Capitolo 2 Matrici 26 Un applicazione lineare f : R n R n si dice invertibile se esiste un altra applicazione g : R n R n tale che le due applicazioni composte g f e f g sono uguali all applicazione identica, g f = f g = i R n g è detta applicazione inversa di f e si indica con f Sia A R n n la matrice associata ad f Se f è invertibile, si dice che A è invertibile e la matrice associata ad f è detta matrice inversa di A e si indica con A Dalla definizione risulta AA = A A = I Ad esempio, consideriamo l applicazione f : R 2 base canonica da f(e ) = 2e e 2, f(e 2 ) = 2e 2 R 2 definita sulla La matrice associata è 2 A = (7) 2 È facile verificare che A 2 = 4A 4I, da cui si ricava che A 4 A2 = I, cioè A ( I 4 A) = ( I 4 A) A = I Ne segue che A = I /2 4 A = (8) /4 /2 Quindi l applicazione f è invertibile e l applicazione inversa f è definita da f (e ) = 2 e 4 e 2, f (e 2 ) = 2 e 2 Nel seguito si vedrà come il calcolo dell inversa di una matrice, quando esiste, possa essere affrontato con procedimenti di carattere generale Consideriamo le due applicazioni f, g : R n R n e le corrispondenti matrici associate A e B R n n Se f e g sono invertibili, anche l applicazione h = f g è invertibile e risulta h = g f, come è facile verificare Da questo segue che (AB) = B A

10 27 Capitolo 2 Matrici 2 Matrice trasposta È spesso utile, come vedremo più avanti, considerare una matrice come un insieme di vettori colonna affiancati; vi sono però molte proprietà che valgono anche quando alle colonne si sostituiscono le righe della matrice In questi casi è utile sfruttare la notazione di trasposizione già introdotta per i vettori Se A R m n, la matrice trasposta è la matrice A T ottiene scrivendo le righe come colonne Ad esempio 2 3 A =, A T = È facile dimostrare che valgono le proprietà di R n m che si (A T ) T = A, (A + B) T = A T + B T, (A B) T = B T A T, (A T ) = (A ) T 22 Immagine, nucleo e rango di una matrice Sia A R m n Si definisce immagine di A l insieme S(A) = {y R m : y = Ax per qualche x R n } e nucleo di A l insieme N(A) = {x R n : Ax = } È facile dimostrare che S(A) è un sottospazio di R m e N(A) è un sottospazio di R n Si definisce rango di A il numero 23 Teorema rk(a) = dim S(A) Sia A R m n rk(a) è uguale al numero delle colonne linearmente indipendenti di A Dim Sia {e,, e n } la base canonica di R n e sia c il numero delle colonne linearmente indipendenti di A Per i =,, n sia a i = Ae i la i-esima colonna di A Poiché a i S(A), è c dim S(A) Consideriamo poi un qualsiasi y S(A), quindi esiste x R n tale che y = Ax e si ha x = x i e i, i= y = A x i e i = i= x i Ae i = i= x i a i i=

11 Capitolo 2 Matrici 28 Quindi y può essere espresso come combinazione delle colonne di A, delle quali c sono linearmente indipendenti, cioè ogni y S(A) risulta combinazione lineare delle c colonne linearmente indipendenti di A Ad esempio, consideriamo la matrice (detta diade) di R n n A = x y T, dove x, y R n, x, y A ha rango Infatti le colonne di A sono i vettori y x, y 2 x,, y n x, che sono a due a due linearmente dipendenti 24 Teorema Sia A R m n Allora dim S(A) + dim N(A) = n Dim Se fosse dim S(A) =, sarebbe S(A) = {} e quindi N(A) = R n e dim N(A) = n Consideriamo allora il caso che dim S(A) = r > e sia {y,, y r } una base di S(A) Siano v,, v r R n tali che Av i = y i per i =,, r Distinguiamo due casi: a) Se N(A) {}, esiste una base {u,, u s } di N(A) con s I vettori v,, v r, u,, u s di R n sono linearmente indipendenti Sia infatti z = r s α i v i + β i u i = i= i= una loro combinazione nulla, risulta ( r s ) = A α i v i + β i u i = i= i= r s α i Av i + β i Au i = i= i= r α i y i, i= da cui segue che α i = per i =,, r perché gli y i per i =,, r formano una base Resta che z = s β i u i =, i= ma anche qui risulta β i = per i =,, s perché gli u i per i =,, s formano una base Ne segue che r + s n Vediamo adesso che i vettori

12 29 Capitolo 2 Matrici v,, v r, u,, u s formano una base di R n Per ogni v R n è Av S(A), per cui esistono γ,, γ r tali che Av = r γ i y i = i= r r γ i Av i = A γ i v i, i= i= da cui ( A v r ) γ i v i = i= Quindi v r γ i v i N(A) ed esistono δ,, δ s tali che i= r v γ i v i = i= s δ i u i, cioè v = i= r s γ i v i + δ i u i i= i= Perciò n = r + s b) Se N(A) = {}, cioè dim(n(a)) =, si segue lo stesso procedimento del caso a) tralasciando i vettori u,, u s Si dimostra quindi che ogni v R n è combinazione lineare di v,, v r e quindi che {v,, v r } è una base di R n e che n = r Se si applica il teorema 24 alla matrice trasposta A T R n m si ricava la relazione dim S(A T ) + dim N(A T ) = m (9) Consideriamo ad esempio A = Dal teorema 23, per determinare dim S(A) = rk(a) basta calcolare quante sono le colonne linearmente indipendenti di A applicando al sistema lineare Ax = il procedimento di riduzione a forma a scalini anticipato nell esercizio 5 del Capitolo, e che verrà descritto più adeguatamente nel seguito Si ottengono dal sistema iniziale x + + x 3 + x 4 = x + x 3 x 4 = x + x 3 =

13 Capitolo 2 Matrici 3 i sistemi e x + + x 3 + x 4 = 2 2x 4 = x 4 = x + + x 3 + x 4 = 2 2x 4 = = da cui risulta rk(a) = 2, poiché 2 sono le equazioni del sistema finale con coefficienti non tutti nulli Dal teorema 24 si ha immediatamente dim N(A) = 4 dim S(A) = 2 In modo analogo si verifica che dim S(A T ) = 2 e, dalla (9), dim N(A T ) = 25 Teorema S(A) = N(A T ) Dim Sia x N(A T ), quindi A T x = Per ogni y S(A) è y = Az per qualche z R n, e quindi x T y = x T (Az) = (x T A)z = (A T x) T z = z T (A T x) = Quindi x risulta ortogonale a tutti gli y S(A), per cui x S(A) Ne segue che N(A T ) S(A) () Viceversa, sia x S(A) Allora x T (Az) = per ogni z R n Ma x T (Az) = (A T x) T z = per ogni z R n, cioè A T x (R n ) = {}, quindi x N(A T ) Ne segue che Da () e () segue la tesi S(A) N(A T ) () Poiché S(A) e N(A T ) sono entrambi sottospazi di R m, dal teorema 6 segue che S(A) N(A T ) = R m, da cui dim S(A) + dim N(A T ) = m (2) Dal confronto fra la (9) e la (2) si ricava che dim S(A) = dim S(A T ) (3)

14 3 Capitolo 2 Matrici Per il teorema 23 dim S(A) dà il numero delle colonne linearmente indipendenti di A e dim S(A T ) dà il numero delle colonne linearmente indipendenti di A T, cioè delle righe linearmente indipendenti di A Dalla (3) segue che in una matrice il numero delle colonne linearmente indipendenti, e quindi il rango, coincide con il numero delle righe linearmente indipendenti 26 Teorema Una matrice A R n n è invertibile se e solo se N(A) = {} Dim Sia N(A) = {} Dal teorema 24 segue che dim S(A) = n, quindi S(A) = R n e per ogni y R n esiste x R n tale che Ax = y Verifichiamo che x è unico Se esistesse x x tale che y = Ax, sarebbe A(x x) =, quindi x x N(A), cioè x x = Si può allora definire un applicazione g : R n R n tale che g(y) = x; è facile verificare che g è lineare Sia B R n n la matrice associata a g Risulta By = x, quindi y = Ax = ABy e x = By = BAx per ogni x, y R n Perciò AB = BA = I e B = A Viceversa, supponiamo che A esista Per ogni x N(A) è Ax =, da cui segue che x = A Ax = A = e quindi la tesi Dai teoremi 24 e 26 segue che una matrice A è invertibile se e solo se rk(a) = n, cioè se e solo se A ha n righe (e colonne) linearmente indipendenti 27 Cambiamento di base Date due basi diverse {v,, v n } e {v,, v n} di R n, si chiama matrice del cambiamento di base la matrice P associata all applicazione identica i R n : R n R n, dove su R n come spazio di definizione si considera la base {v,, v n} e su R n come spazio di arrivo si considera la base {v,, v n } Gli elementi p ij di P sono tali che v i = i R n(v i) = p ji v j, i =,, n j= Se le due basi coincidono, cioè v i = v i per i =,, n, risulta P = I Ad esempio, consideriamo in R 3 le due basi {v, v 2, v 3 } e {v, v 2, v 3}, dove v =, v 2 =, v 3 =, (4)

15 v =, v 2 = Poiché, come è facile verificare, è, v 3 = Capitolo 2 Matrici 32 3 (5) v = v v 2, v 2 = v 2 v 3, v 3 = 2v + v 2 2v 3, la matrice del cambiamento di base è P = 2 (6) 2 La matrice associata ad una applicazione f : R n R m dipende dalle basi scelte in R n e R m Sia A la matrice associata all applicazione f quando in R n si considera la base {v,, v n } e in R m si considera la base {w,, w m } Vogliamo adesso vedere come cambia la matrice associata all applicazione quando si cambiano la base di R n in {v,, v n} e la base di R m in {w,, w m} Siano P la matrice del cambiamento di base in R n, associata a i R n, e Q la matrice del cambiamento di base in R m, associata a i R m Poiché f(v) = f(i R n(v)) = i R m (f(i R n(v))) = (i R m f i R n)(v), per la (6) la matrice B associata all applicazione f quando in R n si considera la base {v,, v n} e in R m si considera la base {w,, w m} è così legata alla matrice A B = Q AP, ovvero A = QBP (7) Se n = m e v i = w i e v i = w i per i =,, n, allora P = Q e B = P AP, ovvero A = P BP (8) Ad esempio, consideriamo l applicazione f : R 3 R 2 definita sulla base {v, v 2, v 3 } di R 3 data in (4) nel modo seguente f(v ) =, f(v 2 ) = Se in R 2 fissiamo la base canonica [ w =, f(v 3 ) = ], w 2 =,

16 33 Capitolo 2 Matrici è f(v ) = w, f(v 2 ) = w + w 2, f(v 3 ) = w 2, e la matrice associata ad f risulta A = Cambiamo adesso le basi In R 3 scegliamo la base {v, v 2, v 3} data in () e R 2 la base {w, w 2}, dove w = 2w w 2 = 2, w 2 = 2w 2 = 2 Le matrici dei cambiamenti di base sono per R 3 la P data in () e per R 2 Q = [ 2 ] 2 (Q è la stessa matrice chiamata A in (7)) Rispetto alle nuove basi all applicazione f risulta associata la matrice B = Q AP e per la (8) è B = [ /2 /4 /2 ] 2 = 2 /2 3/2 /2 /4 /4 Quindi sulle nuove basi l applicazione f è definita da f(v ) = 2 w 2, f(v 2) = 2 w + 4 w 2, f(v 3) = 3 2 w + 4 w 2

17 Capitolo 2 Matrici Esercizi Siano V e W due spazi vettoriali Verificare che l insieme L delle applicazioni lineari da V a W è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di addizione di applicazioni e di moltiplicazione per scalare 2 Dire se le seguenti applicazioni da R n a R m sono lineari e, in caso affermativo, definire l applicazione sui vettori della base canonica di R n e scrivere la matrice associata: ( ) x a) per n = 2 e m = 2 f, x + =, + ( [ ] ) x b) per n = 2 e m = 3 f, = x, ( [ ] ) x c) per n = 2 e m = 3 f, = x, d) per n = 3 e m = 2 f ( x, x 3 ) [ x + x = 3 2 ] 3 Dare agli elementi della matrice a b c d dei valori numerici reali e scrivere l applicazione lineare a cui è associata la matrice A rispetto alla base canonica o rispetto ad altre basi 4 Dare una interpretazione geometrica dell applicazione lineare a cui è associata la matrice cos θ sin θ A =, sin θ cos θ per θ R 5 Verificare che l insieme di R m n delle matrici aventi m righe e n colonne è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di addizione di matrici e di moltiplicazione per scalare 6 Un sottoinsieme di R n n si dice chiuso rispetto all operazione di moltiplicazione, se date due matrici A e B appartenenti al sottoinsieme, anche il prodotto A B appartiene al sottoinsieme Dire quali

18 35 Capitolo 2 Matrici dei seguenti sottoinsiemi di R n n sono chiusi rispetto all operazione di moltiplicazione: a) b) c) d) matrici scalari, matrici triangolari superiori (inferiori), matrici triangolari superiori (inferiori) in senso stretto matrici tridiagonali 7 Calcolare i prodotti AB e BA nei seguenti casi: 2 2 a) A =, B =, b) A =, B =, c) A =, B = Costruire due matrici A e B R 2 2 tali che AB BA A T B AB T A T B T B T A T 9 Data costruire A n per n A =, Si dice che due matrici A e B commutano se AB = BA a) Costruire due matrici A e B di ordine 2 che commutano; b) dimostrare che le matrici diagonali commutano; c) dimostrare che la relazione (A + B) (A B) = A 2 B 2 vale se e solo se A e B commutano; d) dimostrare che per ogni A le due matrici B = A i e C = A j, i, j interi positivi, commutano; e) verificare che le sole matrici di R n n che commutano con ogni matrice di R n n sono le matrici scalari Verificare che se A e B commutano, anche A T e B T commutano e A e B, se esistono, commutano

19 2 Capitolo 2 Matrici 36 Dire se i seguenti sottoinsiemi di R n n sono sottospazi vettoriali: a) matrici tali che A 2 = A, b) matrici che commutano con una matrice quadrata T, c) matrici tridiagonali 2 3 Sia A = Calcolare A e determinare due scalari α e β tali che αa 2 + βa = I Da questa relazione ricavare A 4 Verificare che valgono le proprietà (A T ) T = A, (A + B) T = A T + B T, (AB) T = B T A T, (A T ) = (A ) T 5 Sia A R m n Verificare che S(A) è un sottospazio di R n e che N(A) è un sottospazio di R m 6 Siano A R n n e x R n Considerare la successione di vettori 7 x i = Ax i, i = 2, 3, Se per un k è x k e x k+ =, allora i vettori x,,, x k sono linearmente indipendenti (Traccia: considerare k i= A Risulta che α i = per i =,, k) α i x i = e moltiplicare per A k, A k 2,, Siano A e B R n n Dimostrare le seguenti relazioni: a) rk(a + B) rka + rkb; b) rka + rkb n rk(ab) min {rka, rkb} (Traccia: b) per la prima disuguaglianza, notare che dim N(AB) dim N(A) + dim N(B) e sfruttare il teorema 24, per la seconda, notare che le colonne (risp le righe) di AB sono combinazioni lineari delle colonne di A (risp delle righe di B)) 8 Sia A R n n Verificare che N(A T A) = N(A), S(A T A) = S(A T ) (Traccia: se Ax =, allora A T Ax = e quindi N(A) N(A T A); viceversa se A T Ax = e per assurdo Ax, il vettore y = Ax è

20 37 Capitolo 2 Matrici tale che y, y S(A) e y N(A T ), ma ciò non è possibile perché N(A T ) = S(A) La seconda relazione deriva dalla prima tenendo conto che N(A) = S(A T ) ) 9 Siano x, y, u, v R n Determinare nucleo e rango delle due matrici A = xy T, B = xy T + uv T 2 In R 3 si considerano le basi {e, e 2, e 3 } e {u, u 2, u 3 }, dove u = [,, ] T, u 2 = [,, ] T, u 3 = [,, ] T a) Scrivere la matrice P che fa passare dalla prima alla seconda base e la matrice Q che fa passare dalla seconda alla prima b) Verificare che P = Q c) Sia A = 2 2 la matrice associata all applicazione f : R 3 R 3 quando la base considerata in R 3 è quella canonica Scrivere la matrice B associata alla stessa applicazione quando la base di R 3 viene cambiata nella {u, u 2, u 3 } 2 Data una matrice A reale quadrata di dimensione 2 e un vettore x R 2 si consideri lo scalare α = x T Ax Verificare che esistono matrici non nulle A tali che α = per ogni scelta di x 22 Assegnato un vettore v = [v, v 2 ] T R 2, si consideri l applicazione f : R 2 R 2 così definita: f(x) = vx T v Dire se f è un applicazione lineare, e in tal caso determinare la matrice ad essa associata se su R 2 si sceglie la base canonica 23 Si consideri l applicazione f : R 4 R 4 così definita: x + + 2x 3 + 2x 4 x + 2x 3 + x 4 f(x) = x + + 2x 3 + 2x 4 x + x 3 per ogni x = [x x 3 x 4 ] T R 4 Si dica se f è lineare e, in tal caso, si determini la matrice ad essa associata quando in R 4 si considera la base canonica Infine si determini la dimensione dell immagine di f,