Unità Didattica N 10 : I momenti delle forze
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- Raffaella Rostagno
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1 Unità didattica N 10 I momenti delle foze 1 Unità Didattica N 10 : I momenti delle foze 01) omento di una foza ispetto ad un punto 02) omento isultante di un sistema di foze 03) omento di una coppia di foze 04) omento di una foza ispetto ad un asse 05) Sistemi equivalenti di foze Pagina 1 di 6
![2 Unità didattica N 10 I momenti delle foze omento di una foza ispetto ad un punto Data una foza F applicata nel puntoo P [ Simbolo usato PF, ] ed un punto O non appatenente al sostegno di F](/docs-images/69/61906925/images/2-0.jpg "definiamo momento della foza F ispetto al punto O il vettoe libeo = P O F = F ( τ ) completamente individuato dalla seguente elazione vettoiale : ( ) Chiamiamo baccio della foza F ispetto al punto O")
2 2 Unità didattica N 10 I momenti delle foze omento di una foza ispetto ad un punto Data una foza F applicata nel puntoo P [ Simbolo usato PF, ] ed un punto O non appatenente al sostegno di F definiamo momento della foza F ispetto al punto O il vettoe libeo = P O F = F ( τ ) completamente individuato dalla seguente elazione vettoiale : ( ) Chiamiamo baccio della foza F ispetto al punto O il segmento di pependicolae OH = b condotto dal punto O al sostegno della foza F. Risulta : ( ) OH = OP sinα = OP sin π ϑ = OP sinϑ = b = F OP sinϑ = F b è nullo quando : 1) è nulla la foza F 2) quando il ponto O appatiene al sostegno di F. Il momento della foza F ispetto al punto O non dipende dal punto di applicazione P della foza F. Questo significa che il momento di una foza ispetto ad un punto O non vaia se spostiamo il punto di applicazione della foza lungo il suo sostegno. τ = P O O P O b P α H ϑ ( P ) = 0 F = F F Pagina 2 di 6
3 Unità didattica N 10 I momenti delle foze 3 omento isultante di un sistema di foze Definiamo momento isultante di un sistema di foze PF 1, 1, P2, F 2, P3, F 3 ispetto allo stesso polo O la somma vettoiale dei momenti di ciascuna foza ispetto allo stesso punto O, cioè il vettoe così definito : ( 0) ( 0) ( 0) = = = P F + P F + P F vaia al vaiae del punto O ed è un vettoe libeo, cioè un vettoe che ha indeteminati il sostegno ed il punto di applicazione. Il punto O è detto polo o cento di iduzione dei momenti. La somma vettoiale delle foze F1, F2, F3,, Fn è detta isultante e viene indicata col simbolo R n R = F1+ F2+ F3+ + Fn = Fi i= 1 Cioè il isultante R di un sistema di n foze è la somma vettoiale delle n foze. Ossevazione Un isultante è collegato ad una taslazione, un momento isultante è collegato ad una otazione. Teoema N 1 : Se le foze F i sono tutte applicate in uno stesso punto O vale il teoema di Vaignon : il momento isultante delle n foze date ispetto ad un qualsiasi polo O è uguale al momento ispetto al punto O del isultante R applicato in P. Teoema N 2 : il momento isultante di un sistema di n foze a isultante nullo si mantiene costante al vaiae del polo O. Dimosteemo questa popietà nel caso semplice di un sistema costituito da due foze paallele aventi la stessa intensità e vesi opposti. ( coppia di foze ) Pagina 3 di 6
4 4 Unità didattica N 10 I momenti delle foze omento di una coppia di foze Definiamo coppia di foze un sistema costituito da due foze complanai P1 F 1, P2 F 2 aventi la stessa diezione, lo stesso9 modulo, vesi oppopsti e sostegni divesi. Il piano α individuato dalle due foze è detto piano della coppia, mente la distanza b dei ispettivi sostegni è detta baccio della coppia. Una coppia di foze applicata ad un copo igido libeo di muovesi gli impime una otazione. Il momento della coppia di foze è uguale alla somma vettoiale dei momenti delle due foze ispetto ad un punto qualsiasi O del piano individuato dalla coppia, cioè : = 1+ 2 = ( P1 0) F1 + ( P2 0) F1 = ( P1 0 P2+ 0) F1 = ( P1 P2 ) F1 Questa elazione ci dice che il momento della coppia di foze è uguale al momento della foza F 1 ispetto al punto P 2. Si dimosta che : ( ) P2 P1 F 2 = momento di F 2 ispetto a 1 P2 P1 F1 = P1 P2 F1 = P = ( ) ( ) Possiamo concludee affemando che il momento di una coppia di foze è uguale al momento di una di esse ispetto al punto di applicazione dell alta. O F 2 α P 1 F 1 F 2 = F1 P 2 Questo è uno dei casi in cui il momento isultante non dipende dal polo peché R = F1 + F2 = o Pagina 4 di 6
5 Unità didattica N 10 I momenti delle foze 5 Il momento di una coppia di foze è un vettoe libeo, cioè un vettoe avente indeteminati il sostegno ed il punto di applicazione. Il momento di una coppia di foze F e F, di baccio b, è il vettoe di modulo = F b, pependicolae al piano della coppia, oientato come il pollice della mano desta quando le alte dita si avvolgono nel veso della otazione podotta dalla coppia. omento di una foza ispetto ad un asse Sia PF, una foza F applicata in un punto P ed una etta oientata di vesoe e. Definiamo momento della foza F ispetto alla etta oientata la componente secondo del momento della foza F ispetto ad un qualsiasi punto O di. = e = S O e = P O F e In fomule abbiamo : ( ) ( ) non vaia al vaiae di O su. Infatti, se O ' è un alto punto di, abbiamo : { } ( ) ( ) ( O' ) = ( P O' ) F e= ( P O) + ( O O' ) F e= P O F e+ O O' F e O' == O + 0 = O In quanto isulta : ( ') O O F e. ( ) ( ) ( ) Se PF, ed sono complanai ( in questo caso il sostegno di F o inconta la etta o è ad essa paallela ) alloa è nullo e vicevesa. Infatti in questo caso isulteebbe : ( ) P O F e. Pagina 5 di 6
6 6 Unità didattica N 10 I momenti delle foze e // S π 2 O O P a Sistemi equivalenti di foze Dal punto di vista della meccanica due sistemi di foze si dicono equivalenti se, applicati ad uno stesso copo igido, poducono gli stessi effetti statici e dinamici. Dal punto di vista vettoiale due sistemi di foze si dicono equivalenti se hanno lo stesso isultante ( che è la somma vettoiale di tutte le foze del sistema consideato ) ed uguale momento isultante ispetto ad un qualsiasi ( ma comune ) polo O. Se spostiamo il polo dal punto O al punto O 1 i due sistemi continuano ad avee momenti isultanti uguali fa loo, ma essi sono uguali da quelli icavati pecedentemente. Si dimosta che se due sistemi di foza hanno lo stesso momento isultante ispetto ad un paticolae ( ad esempio O ), alloa essi hanno lo stesso momento isultante ispetto ad un qualsiasi alto polo. Si dimosta che un qualsiasi sistema di foze è equivalente ad una sola foza R ( isultante ) Somma vettoiale di tutte le foze del sistema applicato in un punto O scelto abitaiamente e da una coppia di foze di momento ispetto al punto O. uguale al momento isultante di tutte le foze del sistema Teoema : Un qualsiasi sistema di n foze è equivalente al popio isultante R applicato in un punto O abitaiamente scelto, più una qualsiasi delle infinite coppie di foze aventi momento uguale al momento isultante ( ispetto al polo O ) del sistema di foze consideato. Pagina 6 di 6
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