Formulario di Analisi Matematica 1

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1 Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà del vlore ssoluto Progressioni Trigonometri Disequzioni Numeri complessi Limiti Derivte Rolle, Cuchy, Lgrnge e de l'hôpitl M e min per funzioni di vribile Integrli Funzione invers e rett tngente l grfico di funzione Serie numeriche

2 Punti interni, di frontier, di ccumulzione, isolti Dto un insieme X R e 0 R 0 X 0 X è PUNTO INTERNO se e solo se ogni intorno del punto è tutto contenuto in. 0 X 0 X X è PUNTO DI FRONTIERA se e solo se in ogni intorno del punto cdono si punti pprtenenti si punti non pprtenenti. 0 X 0 è PUNTO DI ACCUMULAZIONE per se e solo se ogni intorno del punto contiene lmeno un punto di X diverso d 0. 0 è PUNTO ISOLATO per X se non è di ccumulzione. Inoltre, si definiscono i seguenti insiemi: X X INTERNO di, è l'insieme dei punti interni d. X FX FRONTIERA di, è l'insieme dei punti di frontier di. X DX DERIVATO di, è l'insieme dei punti di ccumulzione per. CHIUSURA di, X. X = X FX = X DX Un insieme si dice APERTO X = X. Un insieme si dice CHIUSO X. X = FX X DX X X X X Vle sempre l seguente relzione: X X X 2

3 Alcune costnti fondmentli e = 2, π = 3,

4 Proprietà delle potenze d esponente rele R + (, y ). 0 =, R {0}; α =, α R; α β = α+β, α, β R; α y α = (y) α, α R; α β α y α = α β, α, β R; = ( = ( y, α R; ) α y )α 6. ( α ) β = αβ, α, β R; n m n =, n N, R n + 0 ; = n m = ( n ) m, n, m N, R + 0 ; 4 +

5 Proprietà degli esponenzili (, b R +,, b ) = ; = ; > 0, R; { <, se <, R ; >, se > + y = () +y, R; b = (b), R; y b = y,, y R; = (, R; b ) = = (, R; ) ( ) y = y,, y R; se < y { < y, se > ; > y, se < b b b, R + ; 5 +

6 Proprietà dei logritmi (, y,, b R +,, b ). log = ; log ( ) = ; log = 0; y = + y; log log log log ( ) = log y; y log log ( α ) = α log, α R; log = =, ; log b = ; log log log log b 6

7 Proprietà del modulo o vlore ssoluto f() ={ f(), f(), se f() 0 se f() < , R; = 0 = 0; =, R; = 2, R; y = y,, y R; 6. y y =,, y R, y 0; y + y,, y R; y y,, y R; 7

8 Progressioni. PROGRESSIONE ARITMETICA: n k = ; k= n(n+) 2 2. PROGRESSIONE GEOMETRICA: n k=0 =, q ; q k q n+ q 8

9 Trigonometri Per le formule di trigonometri clicc QUI. 9

10 Disequzioni Disequzioni rzionli di secondo grdo Si 2 l'equzione ssocit ll disequzione di secondo grdo e sino e 2 le eventuli rdici di tle equzione con < 2. L soluzione dell disequzione dipenderà dl suo verso e dl segno del : + b + c = 0, > 0 Δ Δ > < Δ > 0 < > 2 2 < < 2 Δ < 0 R R R R Δ = 0 R R = 2 Disequzioni frtte A B > 0. Cso : A > 0 B > 0 > 0 si trovno le soluzioni di () e (2), per poi fre il prodotto dei segni tr () e (2) prendendo l prte. A B 0 2. Cso : A 0 B > 0 > 0 si trovno le soluzioni di () e (2), per poi fre il prodotto dei segni tr () e (2) prendendo l prte. A B < 0 3. Cso : A > 0 B > 0 < 0 si trovno le soluzioni di () e (2), per poi fre il prodotto dei segni tr () e (2) prendendo l prte. A B 0 4. Cso : A 0 B > 0 < 0 si trovno le soluzioni di () e (2), per poi fre il prodotto dei segni tr () e (2) prendendo l prte. Disequzioni irrzionli A > B. Cso (o ): si risolvono i sistemi e si f l'unione delle rispettive soluzioni trovte: 0

11 A 0 B 0 A > B 2 { A 0 B < 0 A < B 2. Cso (o ): si trovno le soluzioni dell'unico sistem: A 0 B 0 A > B 2 Disequzioni con vlore ssoluto B A > B <. Cso non costnte e (oppure,, ): si risolvono i sistemi e si f l'unione delle rispettive soluzioni trovte: { A 0 { A > B A < 0 A > B B A > B 2. Cso costnte e (o ): A < B A > B A B A B le soluzioni sono (oppure ) B A < B 3. Cso costnte e (o ): le soluzioni sono B < A < B (oppure B A B)

12 Numeri complessi Form lgebric z = + iy,, y R; z = + iy, z = 2 + y 2, z C (z ± w) = z ± w, z, w C; (zw) = z w, z, w C; (z/w) = z / w, z, w C; z z = z 2, z C; z 0, z C; z = 0 z = 0; z = z, z C; z w = z w, z, w C; z/w = z / w, z, w C, w 0; Re(z) z, Im(z) z, z Re(z) + Im(z), z C; z + w z + w, z, w C; z w z + w, z, w C; Form trigonometric z = ρ(cos θ + isin θ), ρ, θ [0,2π), dove ρ = 2 + y 2, cos θ =, sin θ = se R y 2 w = η(cos ϕ + isin ϕ), η R +, ϕ [0,2π) llor: y 2 + y 2. zw = ρη[cos(θ + ϕ) + isin(θ + ϕ)]; 2

13 2. 3. z w z n ρ = [cos(θ ϕ) + isin(θ ϕ)]; η = ρ n [cos(nθ) + isin(nθ)], " Formul di Moivre "; 4. n z θ+2kπ θ+2kπ = ρ[cos( ) + isin( )], k = 0,,2,,(n ); n n n Form esponenzile z = ρ e iθ, ρ R +, θ [0,2π). se w = η e iϕ, η R +, ϕ [0,2π) llor:. zw = ρη e i(θ+ϕ) ; z w z n ρ = ; η ei(θ ϕ) = ρ n e i(nθ) ; 4. n z = ρe i(θ+2kπ) n, k = 0,,2,,(n ); n 3

14 Limiti Forme indeterminte N.B.: 0 0,,,,,, , 0, non sono forme indeterminte! 0 Limiti notevoli di successioni Scl di infiniti/infinitesimi n n, n!, n ( > ), n b (b > 0), log n n nb n n n n n n n n = Form semplice 0 0 se b > 0 se b = 0 se b < 0 se > se = se < < se = = > 0 n n = b R nb log n = 0 b > 0 n b n b = 0 >, b > 0 n = 0 > n n! n! = 0 n n log2 = n n n n ( + n ) n sin n n n = e n ( + ) n Form generle = sin n n = = n n n / / / / / / / / / = e 4

15 n log n ={ se se 0 < < > ={ n log se 0 < < n se > Limiti notevoli di funzioni A() B() n m Sino e due polinomi di grdo e rispettivmente, ovvero del tipo: A() B() = n n + n n = b m m + b m m + + b + b0 Allor si h: P() Q() = 0 n b m se n > m se n < m se n = m 0 Form semplice Form generle k k = 0, k R = 0, k R f() f() k k =, k R {0} =, k R {0} 0 + log = 0 = log 0 ={ ( + ) ={ se > se = se < < se se > se = se < < se se se 0 < < > = e se se 0 < < > f() 0 f() = f() f() 0 = f() f() 0 = f() = se > se = se < < se se > se = se < < se log f() ={ f() 0 + se se 0 < < > log f() ={ f() se se 0 < < > ( + ) f() = e f() f() f() [f()] ( + ) = e [ + f()] f() = e 0 f() 0 5

16 ln(+) ln[+f()] f() 0 f() = = log [+f()] f() 0 f() log (+) = log e > 0, = log e > 0, e e = f() = f() 0 α α = ln α α > 0 f() = ln α α > 0 (+ f() 0 f() f() ) α [+f()] = α α R α = α α R f() 0 = 0 α > 0, > 0 + α log f() = 0 α > 0, > f() 0 + [f()]α log 0 f() = = sin cos 0 cos f() 0 sin f() f() cos f() f() 0 [f()] 2 2 = 2 2 = cos f() f() 0 f() = 0 = 0 = = tn tn f() f() 0 f() = = rcsin rcsin f() f() 0 f() = = rctn f() 0 rctn f() f() = = sinh sinh f() f() 0 f() = 2 2 = cosh cosh f() f() 0 [f()] 2 2 = = tnh tnh f() f() 0 f() 6

17 Derivte Funzione (form semplice) k, k R 0, α R Derivt Funzione (form generle) Derivt α α α [f()] α α[f()] α f () f() f () 2 2 f() e e e f() e f() f () ln f() f() ln f () ln ln f() f () log ln f() f() ln log f() f () sin cos sin f() cos f() f () cos sin cos f() sin f() f () tn cot rcsin cos 2 tn f() () f f() cos 2 f sin 2 f() rcsin f() $ f () 2 [f()] 2 sin 2 cot f() () rccos rccos f() f () 2 [f()] 2 rctn rctn f() () + 2 +[f()] 2 f rccot + 2 rccot f() () +[f()] 2 f sinh cosh sinh f() cosh f() f () cosh sinh cosh f() sinh f() f () tnh coth cosh 2 sinh 2 tnh f() coth f() () f f() cosh 2 () f f() sinh 2 Derivt dell funzione compost esponenzile y = [f()] g() = [f() [ f ()ln f() + ] y ] g() g g() () 7 f()

18 Teoremi sul clcolo delle derivte DERIVATA DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE PER UNA FUNZIONE : D[k f()] = k k f () f DERIVATA DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI e : D[f() + g()] = f () + g () f g DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI e : D[f() g()] = f () g() + f() g () f g DERIVATA DEL QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI e : D[ f() ] = g() f g () g() f() [g()] 2 f g () 8

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20 M e min reltivi e ssoluti TEOREMA DI FERMAT: Si, punto di m o min reltivo tle che f 0. Si h: f : X R 0 X ( ) f ( 0) = 0 Si un funzione continu in 0 e derivbile in un suo intorno. Allor:. f : X R f () > 0 I ( 0) f () < 0 I+ ( 0) } 0 m reltivo per f b. f () < 0 I ( 0) f () > 0 I+ ( 0) } 0 min reltivo per f Si derivbile volte e si tle che llor f : X R n 0 f ( 0) = f ( 0) = = f (n ) ( 0) = 0 e f (n) ( 0) 0,. pri e f (n) 0 0 m reltivo n ( ) < 0 b. pri e f (n) 0 0 min reltivo n ( ) > 0 c. n dispri e f (n) ( 0) > 0 f crescente in 0 d. n dispri e f (n) ( 0) < 0 f decrescente in 0 Ricerc dei m e min reltivi f : X R Se è derivbile nell'interno di llor f () = 0. si risolve l'equzione per determinre i punti critici X 2. si pplic il teorem 2) o 3) (visti sopr) per decidere se si trtt di m o min reltivi. f : X R Se non è derivbile nell'interno di llor occorre esminre due tipi di 20 X

21 punti:. punti critici (vedi cso precedente) 0 X ( ) 2. i punti tli che f 0 : in questo cso bisogn verificre se si trtt di minimo o di mssimo reltivo pplicndo l definizione. Ricerc dei m e min ssoluti Confrontre i vlori che. { : () = 0} X f f : X R ssume nei punti dei seguenti insiemi: 2. { : ()} X f 3. { FX X} M m Scegliere il più grnde e il più piccolo per trovre rispettivmente il mssimo e il minimo dell funzione 2

22 Integrli Integrle (form semplice) Primitive 0 d 0 k d, k R k + c α d, Integrle (form generle) α R { } α+ α+ + c [f()]α f () d, α R { } [f()]α+ α+ 2 d + c 2 f() f () d Primitive f() + c e d e + c e f() f () d e f() + c d ln + c f() f () d f() ln d ln + c f() f () d ln f() + c cos d sin + c cos[f()] f () d sin f() + c sin d cos + c sin[f()] f () d cos f() + c cos 2 d tn + c f () cos 2 f() d sin 2 d cot + c f () sin 2 f() d 2 d rcsin + c [f()] 2 f () d 2 d rccos + c [f()] 2 f () d + 2 d rctn + c +[f()] 2 f () d + c tn f() + c cot f() + c rcsin f() + c rccos f() + c rctn f() + c + 2 d rccot + c +[f()] 2 f () d rccot f() + c cosh d sinh + c cosh[f()] f () d sinh f() + c sinh d cosh + c sinh[f()] f () d cosh f() + c cosh 2 d tnh + c sinh 2 d coth + c f () cosh 2 f() d f () sinh 2 f() d tnh f() + c coth f() + c Teoremi sul clcolo integrle INTEGRALE DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE k PER UNA FUNZIONE f: k f() d = k f() d 22

23 INTEGRALE DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI f e g: f() + g() d = f() d + g() d METODO DI INTEGRAZIONE PER PARTI: f () g() d = f() g() f() g () d ESTENSIONE DEL CONCETTO DI INTEGRALE: b f() d = b f() d PROPRIETA' ADDITIVA DELL'INTEGRALE ( ): b c [, b] f() d = c f() d + b f() d c TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE: f() : [, b] R [, b] [, b] Se è continu in, llor, per ogni si h: F() = f() d F () = f() TEOREMA DELLA MEDIA: f() : [, b] R [, b] c [, b] Se è continu in, esiste tle che: b f() d = (b ) f(c) Integrli impropri f() : (, b) R ], b] Se è continu in, si h: b f() d = b f() d f() : (, b) R [, b[ Se è continu in, si h: 23

24 b f() d = 0 f() d 0 b f() : (, b) R [, b] {c} c ], b[ Se è continu in con, si h: b f() : [, [ R f() d = 0 f() d + b f() d 0 c 0 c + 0 [, [ Se è integrbile in, si h: f() d = 0 f() d 0 f() :], b] R ], b] Se è integrbile in, si h: f() :], [ R b f() d = b f() d 0 0 ], [ Se è integrbile in, si h: f() d = 2 2 f() d Criteri di integrbilità f() [, b[ Se è un funzione continu in e se b (b )p f() = 0 f() ], b] Se è un funzione continu in e se +( )p f() = f() 0 Se è un funzione continu in e se p f() = b con p <, llor f() d converge con p, llor b f() d diverge l R {0} llor b f() d converge se e solo se p < b con p <, llor f() d converge con p, llor b f() d diverge l R {0} llor b f() d converge se e solo se p < [, [ 0 con p >, llor f() d converge con p, llor f() d diverge l R {0} llor f() d converge se e solo se p > 24

25 Funzione invers e rett tngente Un funzione strettmente monoton (crescente o decrescente) è invertibile. f() 0 = f( ) Se un funzione è invertibile e derivbile in con y0 0, llor l su derivt prim nel punto srà: D ( ) = f y0 f ( 0) y = f() L'equzione dell rett tngente l grfico dell funzione nel punto 0 è ( ) y f( ) = ( )( ) 0 f 0 0 dove f 0 è l derivt dell funzione f clcolt nel punto = 0. 25

26 Serie numeriche Serie termini non negtivi Condizione necessri ffinchè un serie termini non negtivi n n = 0 n= n converg è che Criteri per l determinzione del crttere di un serie numeric CRITERIO DEL RAPPORTO: n n+ n = l < > = l serie converge l serie diverge null si può dire CRITERIO DELLA RADICE: n n n = l < > = l serie converge l serie diverge null si può dire CRITERIO DI RAABE: n n( n ) = l n+ < > = l serie diverge l serie converge null si può dire CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY: n n+ n n N 2 n 2 n n=0 Se è non crescente ( ), l serie è convergente se e solo se lo è nche: CRITERIO DEL CONFRONTO: Sino n, b n due serie termini non negtivi con n b n n N, llor: n= n= 26

27 . Se b n è convergente con somm B, nche n è convergente con somm n= n=. A B 2. Se n è divergente, nche b n è divergente. n= n= CRITERIO DEL CONFRONTO CON LA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA: L serie rmonic generlizzt è dt d: ={ n= n p < se p se p > p > : n p <. Se, llor l serie converge n n p : n p ]0,] b. Se, llor l serie diverge n n Serie termini lterni e serie oscillnti S S n n Indichimo con l somm dell serie e con l somm przile dei primi termini. TEOREMA DI LEIBENITS: Se ( ) n n, n 0 n N, n monoton non crescente ( n+ n n N) n= e = 0 llor l serie converge ed inoltre S n n+. n n S TEOREMA DELLE SERIE OSCILLANTI: Se ( ) n n, n 0 n N, n monoton non decrescente ( n= n+ n n N) e 0 llor l serie oscill. n n Serie numeriche ssolutmente convergenti 27

28 Un serie numeric n si dice ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE se n è n= n= convergente. Se un serie numeric è ssolutmente convergente llor è convergente. Somm e prodotto di serie L somm di due serie numeriche n n= + = ( + ){ converge se entrmbi convergono b n n b n diverge se lmeno un delle due diverge n= n= Il prodotto di due serie numeriche n n= = ( ) n= è convergente solo se entrmbe le serie sono convergenti e lmeno un delle due è ssolutmente convergente b n n= c n Alcune serie numeriche notevoli SERIE GEOMETRICA DI RAGIONE : n= q q n q = se < q < se q se q SERIE TELESCOPICA (DI MENGOLI): n= n(n + ) = 28