Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))

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1 Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al dominio della funzione f. Il dominio della funzione composta è costituito dai soli valori di per i quali la composizione funzionale ha senso. ESEMPI: 1. f() =, g() = 2 4 f(g()) = 2 4, D = { 2 o 2} 2. f() = 1 1, g() = 7 f(g()) =, D = { 7} 7 3. f() = 1, g() = 2 +1 f(g()) = , D = Ê

2 Funzione Composta 1. Date le funzioni f() = e e g() = 2+1 Dire quanto vale f(g()) e quale è il suo insieme di definizione; Dire quanto vale g(f()) e quale è il suo insieme di definizione. Soluzione f(g()) = e 2+1, g(f()) = 2e Date le funzioni f() = 2 e g() = +1 Dire quanto vale f(g()) e quale è il suo insieme di definizione; Dire quanto vale g(f()) e quale è il suo insieme di definizione. Soluzione: f(g()) = (+1) 2, g(f()) = 2 +1

3 Funzione Inversa 1 una funzione BIUNIVCA si dice INVERTIBILE se f : A B è invertibile si definisce la funzione inversa f 1 come segue: f 1 : B A, = f 1 () B A tale che f() = un tale esiste ed è unico perchè la funzione f è bunivoca. ESEMPI: 1. = f() = 2+1 ; f Ê : Ê = f 1 () = 1 2 ( 1) ; f 1 Ê : Ê 2. = f() = 2 ; f : (,0] [0,+ ) = f 1 () = ; f 1 : [0,+ ) (,0]

4 PRPRIETÀ: Funzione Inversa 2 sia f : A B invertibile e sia f 1 : B A la sua funzione inversa. considero la funzione composta f 1 f ( = f 1 (f()) con notazione funzionale) f 1 f : A f() = B f 1 () = A f 1 f : A A, funzione identità. la stessa cosa vale per f f 1 f f 1 : B f 1 () = A f() = B f f 1 : B B, funzione identità.

5 B =f() Funzione Inversa 3 = 2+1 ESEMPI: 1 = - (-1) 2 A = =f -1 () A = 2 +1 B il grafico di = f 1 () si ottiene per simmetria rispetto a =. = -1

6 Criterio di Invertibilità le funzioni strettamente monotone sono iniettive CRITERI DI INVERTIBILITÀ se f è strettamente monotona e suriettiva allora f è invertibile se f : A B è invertibile allora: f crescente f 1 crescente f decrescente f 1 decrescente

7 Radici INVERTIBILITÀ DELLA PTENZA: consideriamo il problema dell invertibilità della funzione potenza = n con n Æ {0} se n = 0 la funzione = 0 = 1 è costante dunque non invertibile. se n = 1 la funzione = è l identità, con inversa uguale a se stessa. se n = 2 = 2 è invertibile in Ê + = Ê + Ê + è detta radice quadrata. se n = 3 = 3 è invertibile su tutto Ê = 3 Ê Ê è detta radice cubica. In generale se n è pari si ragiona come per n = 2 e la funzione = n risulta invertibile su Ê + = n Ê+ Ê + radice n sima Viceversa se n è dispari si ragiona come per n = 3 e la funzione = n risulta invertibile su tutto Ê. = n Ê Ê radice n sima

8 Funzione Logaritmo = a Ê Ê + strettamente monotona invertibile f 1 : Ê + Ê / a = ; = f 1 () = log a (logaritmo in base a di ) 1 1 = log a Ê + Ê per a > 1 PPRIETÀ DEI LGARITMI: log a ( 1 2 ) = log a 1 +log a 2 log a ( b ) = b log a = log a Ê + Ê per 0 < a < 1 ( ) 1 log a = log a 1 log a 2 2 log b = log a (cambio di base) log a b

9 Esercizi Funzione Composta 1 ESERCIZI -[(A)] Date le funzioni f() = e e g() = log e ( 2) 1. Dire quanto vale f(g()) e quale è il suo insieme di definizione. 2. Dire quanto vale g(f()) e quale è il suo insieme di definizione. SLUZINE : 1. La funzione composta è f(g()) = e log e( 2) = 2. L insieme di definizione è > 2, poichè g() è definita per > La funzione composta è g(f()) = log e (e 2). L insieme di definizione si ottiene ponendo: e 2 > 0 da cui segue > log e 2.

10 Esercizi Funzione Composta 2 ESERCIZI 2 - Date le funzioni f() = 3 e g() = log e 1. Dire quanto vale f(g()) e quale è il suo insieme di definizione. 2. Dire quanto vale g(f()) e quale è il suo insieme di definizione. SLUZINE : 1. La funzione composta è f(g()) = (log e ) 3. L insieme di definizione è > 0, poichè g() è definita per > La funzione composta è g(f()) = log e ( 3 ). L insieme di definizione è 3 > 0 da cui segue < 0.

11 Funzione Inversa 1. Data la funzione R R così definita: f() = + 3 dire se è invertibile e trovare la formula dell inversa; Soluzione: la funzione è biunivoca e l inversa è f 1 () = 3 cioè f 1 () = 3 2. Data la funzione f() = dire se è invertibile e trovare la formula dell inversa; Soluzione: la funzione è biunivoca e l inversa è f 1 () = ( 2) 1 3 cioè f 1 () = ( 2) Data la funzione f() = dire se è invertibile e trovare la formula dell inversa; Soluzione: la funzione non è invertibile in quanto non è ne iniettiva ne suriettiva. per renderla suriettiva basta pensarla a valori in R + e per renderla iniettiva basta per esempio restringerla a [ 1, + ),

12 dunque la funzione R + [ 1,+ ) definita da f() = è invertibile e la sua inversa è f 1 () = 1.

13 Funzioni arcoseno e arcocoseno FUNZINE arcsin FUNZINE arccos sin : [ π 2,+π 2 ] [ 1,+1] biunivoca cos : [0,π] [ 1,+1] biunivoca arcsin : [ 1,+1] [ π 2,+π 2 ] arccos : [ 1,+1] [0,π]

14 Funzioni tangente e arcotangente Funzione tg tg = sin cos, ±π 2 +kπ, k (periodica di periodo π) π 2 π 2 Grafico di tg tg : ( π 2,+π 2 ) Ê 1 tg π 2 π 2 Grafico di arctg arctg : (,+ ) ( π 2,+π 2 )