1 Successioni di funzioni
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- Corrado Riva
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1 Successioni di Esercizio.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.) f n (x) = n x Osserviamo che fissato x R f n(x) = + n x x R. x ( n + x ) = pertanto la successione f n converge puntualmente in R alla funzione f(x) =. Verifichiamo se si ha convergenza uniforme in R calcolando Risulta sup f n (x) f(x). f n (x) f(x) = + n x =: g n(x) La funzione g n (x) è una funzione pari, positiva e derivabile e x ± g n (x) =, pertanto sup g n (x) = max g n (x) e può essere calcolato cercando gli zeri di g n(x). Si ha pertanto max g n (x) = g n () = e g n(x) n x = ( + n x ) sup g n (x) =. Verifichiamo se esistono sottoinsiemi di R in cui si ha convergenza uniforme. qualunque intorno dell origine, allora Sia J un sup g n (x) = g n () = x J Consideriamo allora intervalli del tipo [a, + ) con a >. Dallo studio della monotonia di g n si ha che sup g n (x) = g n (a) = x [a,+ ) + n a Quindi si ha convergenza uniforme in intervalli del tipo [a, + ). In modo del tutto analogo si prova convergenza uniforme anche su intervalli tipo (, a]. Pertanto si conclude che f n converge uniformemente a in (, a] [b, ) con a, b >. Esercizio.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.) f n (x) = 3x + 4n x + n.
2 Le f n sono definite in tutto R per cui la convergenza puntuale si studia in R. Per x R fissato si ha f n (x) = poiché il denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto al numeratore. Verifichiamo se si ha convergenza uniforme. Si deve calcolare f n f R := sup f n (x) f(x), e verificare che converga a. A tale fine facciamo un piccolo studio di funzione. Osserviamo che la funzione è continua e derivabile in tutto R. Per x ± la funzione f n converge a. Calcoliamo i punti in cui si annulla la derivata prima f n(x) = 3(x + n ) x(3x + 4n) (x + n ) = 3x 8nx + 3n (x + n ) = gli zeri di f sono x, = 4n± 6n +9n 3 = 3n ; 3n (in realtà non serve sapere quale sia il massimo o il minimo relativo della funzione dal momento che se ne sta valutando l estremo superiore del valore assoluto). Calcoliamo f n (x ) = 9n+4n 9n +n = n, f n(x ) = n+4n (/9)n +n = 5 (/9) n = 9 n. Quindi f n R = sup f n (x) = max{ f n (x ), f n (x ), f n(x), f n(x) } = 9 x x n che tende a per n tendente ad infinito. Dunque la successione converge uniformemete a. Esercizio.3. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.3) f n (x) = nx + n x Le f n sono definite in R. Per x = risulta f n (x) =. Per ogni x R/{} risulta f n (x) = poiché il denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto al numeratore. Quindi la successione converge puntualmente in R alla funzione. La convergenza non è uniforme. Infatti per x n = n risulta f n(x n ) =, e quindi non puo essere f n = f n = poiché per la proprietà dell estremo superiore abbiamo f n := sup f n (x). Si cercano ora gli intervalli in cui può esserci convergenza uniforme. Consideriamo gli intervalli del tipo I = R\] a, a[ con a >. La derivata prima della funzione è f (x) = n( + n x ) nxn x ( + n x ) = n3 x + n = n( n x ) ( + n x ), e si annulla per x, = ± n. Per n sufficientemente grande si ha < n < a e quindi x, x / I e nell intervallo in considerazione non si annulla la derivata prima, quindi calcolare f n I, si deve valutare la successione di funzione solo negli estremi. Dunque viene sup f n (x) = max{ f n(x), f n(x), f n ( a), f n (a)} x I x x poiché la successine di converge puntulamete a zero, si ha f n (±a) = e qundi anche f n I =. E la succesione di converge uniformemente negli intervalli di dipo I.
3 Esercizio.4. Traccia d esame (8 Luglio 8) Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.4) f n (x) = arctan Fissato x risulta nx n x + arctan nx n x + =. x. Pertanto la successione f n converge puntualmente alla funzione f(x) = per ogni x. Essendo f n (x) per x, per verificare che vi sia anche convergenza uniforme calcoliamo sup x f n (x). Si prova che f n(x) = se e soltanto se x = e f n () =. Pertanto sup arctan x nx n x + = arctan nx x + n x + = π e quindi non si ha convergenza uniforme in [, + ). Se ci restringiamo ad intervalli itati del tipo [, a] con a > allora nx sup arctan x [,a] n x + = arctan na n. a + Quindi la successione f n converge uniformemente a in intervalli compatti di [, + ). Esercizio.5. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.5) f n (x) = n x ( x) n x R. È facile osservare che la successione converge puntualmente a per valori di x tali che x < e per x =. Altrimenti dato che b n = per b > e la successione ( ) n (4n ) non converge, la successione f n non converge. Consideriamo allora l intervallo [, ) e verifichiamo che se in esso vi è convergenza uniforme. Si può notare che sup n x ( x) n n x ( x) n = 4n x [,) x quindi non vi è convergenza uniforme in [, ). Fissiamo < a < e calcoliamo sup x [,a] n x ( x) n trovando gli zeri di f n. Risulta se e soltanto se x {,, +n }. Pertanto sup x [,a] f n(x) = n x( x) n [ x(n + )] = n x ( x) n = max{ f n (), f n (), f n ( + n ), f n(a) } = max{ f n ( + n ), f n(a) } dove ( 4n f n ( ) = + n (n + ) ) n + n f n (a) = n a ( a) n 3
4 Supponiamo per assurdo che vi sia convergenza uniforme quindi se definiamo a n := max{ f n ( + n ), f n(a) } risulta che esiste a n =. Questo fatto implica che comunque si scelga ε >, esiste ν N tale che per n µ, f n ( +n ) a n < ε il che è assurdo perchè la successione f n ( +n ) non è infinitesima per n. Per avere convergenza uniforme è necessario allontanarsi anche da, infatti siano < b < a <, definitivamente avremo che +n < b e sup x [b,a] n x ( x) n = max{ f n(a), f n (b) } =. Pertanto la successione f n converge uniformemente a in intervalli compatti contenuti in (, ). Theorem.. (Continuità del ite uniforme) Siano f n, f : I R R per ogni n N. Se f n C(I) per ogni n N e la successione f n converge uniformemente ad f in I allora f C(I). L utilità di questo teorema consiste nell applicarlo al contrario, cioè se si ha una successione di continue che converge puntualmente ad una funzione che non è continua allora la convergenza non può essere uniforme. Esercizio.6. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.6) f n (x) = n sin x x [, π]. Essendo sin x per x [, π] risulta che f n converge puntualmente alla funzione f così definita { x (, π) f(x) = x = x = π Applicando il teorema di continuità del ite uniforme si deduce che la successione f n non può convergere uniformemente ad f in [, π]. Fissiamo ε (, pi ) e consideriamo l intervallo A ε = [ε, π ε]. Risulta sup n sin x = sup ( n sin x) x A ε x A ε = inf x A ε n sin x = n sin ε e ( n sin ε) = pertanto si ha convergenza uniforme in intervalli del tipo [ε, π ε] per ε (, π ). Esercizio.7. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.7) f n (x) = per x. nx ( + nx)(x + ) 4
5 Fissato x > si ha f n (x) = +x, se invece x = si ha f n (x) =. In definitiva si ha { f n(x) = +x se x > se x = La convergenza non può essere uniforme, in quanto la funzione ite non è continua. Si provi a studiare la convergenza negli intervalli del tipo [a, + ) dove a >. Esercizio.8 (funzione ite continua non implica convergenza uniforme). Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di nx x n f n (x) = nx n < x < n n x per x [, ]. La funzione ite è f(x) = che è continua, ma la convergenza non è uniforme, in quanto per x n = n si ha f n(x n ) = e quindi f n [,]. Theorem.. (Passaggio al ite sotto il segno di integrale) Siano f n, f : I R R per ogni n N. Se f n C(I) per ogni n N e la successione f n converge uniformemente ad f in I allora per ogni [a, b] I b a f n (x)dx = b a f(x)dx. Esercizio.9 (Il passaggio al ite sotto il segno di integrale è condizione necessaria per la convergenza uniforme). Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.8) f n (x) = nxe nx. Le f n sono definite in R. Per x = abbiamo f n (x) =, per ogni x R/{} si ha x < e quindi nxe nx tenderà a zero poichè ne na = per a >. Qundi f n (x) = puntualmente in R. Per calcolare il sup f n (x), cerchiamo gli zeri della derivata prima di f n (x). f n(x) = ne nx n x e nx = ne nx ( nx ) si annulla in x = n e x = n. Per ottenere il sup confrontiamo il valore della funzione in tali punti ed negli estremi sup f n (x) = max{ f n(x ), f n(x ), { = max ne /, } ne /,, f(x), f(x) } x x = ne / 5
6 quindi f n = e la serie non converge uniformemente in R. Cerchiamo gli intervalli in cui la successione di converge uniformemente. Se consideriamo l intervallo I = [a, + [ con a >, definitivamente esso non conterrà il punto x, poichè n = e quindi esiste un η N per cui n N t.c. n η, n < a. Quindi per valutare il sup delle in I si dovrà valutare solo gli estremi, sup x I f n (x) = max{ f n(a), x f(x) } = nae na che ovviamente converge a zero. Analogamente si puo ragionare nell intervallo ], a]. Quindi la successione di converge uniformemente in ], a] [a, + [. Calcoliamo ora l integrale di f n nell intervallo [, + [ ed osserviamo che non vale il teorema del passaggio al ite sotto il segno di integrale. per cui f n = e nx = f n = f n = =. Esercizio. (Il passaggio al ite sotto il segno di integrale non implica convergenza uniforme). Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione di ( ) n (.9) f n (x) = n + cos x x [, π ] e calcolare f n (x)dx Si osservi che f n () = e, inoltre essendo definitivamente n + cos x < in (, π ] risulta che la successione f n converge puntualmente alla funzione f così definita { e x = f(x) = x (, π Dalla discontinuità di f si deduce che f n non converge uniformementa ad f in [, π ]. Fissiamo ε > e consideriamo l intervallo A ε = [ε, π ]. Risulta ( ) n sup f n (x) f(x) = max x A ε x A ε n + cos x ( ) n = f n (ε) = n + cos ε a causa della decrescenza di f n in A ε. Pertanto sup f n (x) f(x) = x A ε quindi f n converge uniformemente in A ε. Calcoliamo ora il ite richiesto. Spezziamo l integrale in due dal momento che non possiamo applicare il teorema del passaggio al ite f n (x)dx = ε f n (x)dx + f n (x)dx = Iε n + IIε n ε 6
7 per convergenza uniforme si ha che Osserviamo che I n ε = ε n II n ε = ( n + cos x ε ) n dx ε f(x)dx = ( ) n n + dx eε definitivamente essendo ( n + ) n una successione crescente e tendente ad e per n. Pertanto si ha f n (x)dx eε e per l arbitrarietà di ε f n(x)dx = (= f(x)dx). Theorem.3. (Inversione dei iti) Siano X un sottoinsieme non vuoto di R, x un punto di accumulazione per X ed (f n ) n N una successione di reali definite in X. Si supponga che i) La successione (f n ) n N converge uniformemente verso una funzione f : X R; ii) Per ogni n N, risulta x x f n (x) = l n Allora, la successione (l n ) n N è convergente e inoltre, posto l := l n, risulta x x f(x) = l. Esercizio.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione di (.) f n (x) = n x x n x R. Per x <, x n tende a con un ordine di infinitesimo superiore a /n x, per cui la successione di converge a. Per x >, n x x n diverge. In x = la successione non converge, per x = converge a zero. Infatti per x < si ha n x x n nx n e la successione numerica na n per a < converge a zero. Per x =, f n () = n che tende all infinito. In < x, sia n x che x n tendono a zero per n tendente all infinito per cui f n (x) =. Per x =, f n ( ) = ( )n n tende a. Per x possiamo scrivere n x x n = ( ) n ( x) n, ma ( x)n tende all infinito per n. Quindi la successione di n ( x) n ( x) converge puntualmente a in [, [. La successine non converge uniformemente in quanto f n(x) = = f x x n(x) = n = x e quindi non vale il teorema di inversione dei iti, che è condizione necessaria per la convergenza uniforme. Studiamo la successione per I = [, a] con < a < allontanandoci dal punto. La derivata di f n (x) si annulla solo per x = (Verificare). Definitivamente abbiamo f n I = sup f n (x) = max{ f( ), f(), f(a) } = max{ x I n,, na a n } = n quindi la successione di converge uniformemente in [, a]. 7
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