CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE ANNO ACCADEMICO VERIFICA DI RIGIDEZZA DI ALBERO

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1 CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE ANNO ACCADEMICO 25-6 VERIFICA DI RIGIDEZZA DI ALBERO E' dato l'albero riportato in Figura, recante all'estermità una ruota dentata a denti dritti che trasmette una potenza W ad una velocità di rotazione di n giri/min Per un corretto funzionamento, si richiede che: il punto di applicazione della forza alla ruota dentata non subisca uno spostamento verticale superiore a.1 mm le sezioni dell'albero in corrispondenza della mezzeria dei cuscinetti non subiscano rotazioni maggiori di 1'. F r F t R Φ 2 Φ 3 M Φ 1 z y F r F t F n L 2 L 3 y y SCHEMA DI CALCOLO Nel mettere a punto il modello di calcolo, conviene considerare un nuovo sistema di riferimento x'-y'-z', ruotato rispetto a quello x-y-z in modo da rendere l'asse y' parallelo alla forza complessiva applicata Fn. L'uso di questo SR è particolarmente conveniente in quanto in esso è presente un solo taglio (Ty') ed un solo momento flettente (Mx'). Fissato il nuovo SR, l'albero viene schematizzato come una trave semplicemente appoggiata, con l'estremità vincolata a torsione. F t *R F n =(F r2 F t2 ).5 z y L 2 Vincolo alla rotazione L 3

2 DATI DEL PROBLEMA := 5 mm L 2 := 25 mm L 3 := 1 mm φ 1 := 3 mm φ 2 := 2 mm φ 3 := 15 mm R := 2 mm α := 2 deg E := 21 MPa Modulo elastico materiale (acciaio) υ :=.3 Coefficiente di Poisson materiale E G := G = ( υ) MPa W := 1kW Potenza trasmessa rpm := n := 12 rpm Velocità di rotazione 1 min CALCOLO FORZE E MOMENTI ω := 2 π n ω = s Velocità angolare M := W ω M = N m Coppia trasmessa F t := M R F t = N Forza tangenziale F r := F t tan α F r = N Forza radiale 2 2 F n := F r F t F n = N Forza totale

3 CALCOLO REAZIONI VINCOLARI Lo schema della struttura con i carichi applicati (la forza F n è stata riportata all'asse aggiungendo il momento di trasporto, coincidente con il momento trasmesso dall'albero) e con le reazioni vincolari incognite è mostrato in Figura. Le reazioni possono essere calcolate con le equazioni cardinali della statica, dato che la struttura è isostatica. F t *R F n z X A M R y Y A Y B L 2 Y A := X A := Y B := M R := Given Rx = ---> X A = Ry = ---> Y A Y B F n = MX A = ---> Y B L 2 F n = MZ= ---> M R F t R = Y A X A Y B M R Y A := Find Y A, X A, Y B, M R = N X A = N Y B = N M R = N m Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero con forze applicate e con indicazione della coordinata curvilinea Nm 23. N 8.7 N 7.96 Nm 58.1 N L 2

4 METODOLOGIA DI CALCOLO DELLE COMPONENTI DI SPOSTAMENTO Lo spostamento del punto di applicazione della forza F n può essere ottenuto tramite considerazioni di bilancio energetico, essendo la forza stessa l'unica applicata. La rotazione della sezione di mezzeria del cuscinetto A (quella del cuscinetto B può essere ottenuta con una procedura del tutto analoga) può essere calcolato con il metodo degli integrali di Mohr, trascurando il contributo del taglio. Nel seguito si determinano pertanto i diagrammi delle altre caratteristiche di sollecitazione presenti (flessione attorno all'asse x' e torsione) dovute ai carichi esterni ed ad un carico esploratore (momento) unitario. Nel calcolo si farà uso dell'ipotesi semplificativa che il tratto di albero da ad abbia diametro costante e pari a φ 1, il tratto L 2 diametro costante e pari a φ 2 ed il tratto L 3 diametro costante e pari a φ 3. CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE Carichi esterni Si ottiene il seguente andamento per il momento flettente e torcente. M x := 23. N if N L 2 if N m if xx := M x xx M z := 7.96 N m M z xx

5 Momento esploratore nel punto corrispondente al cuscinetto A Al fine di determinare la rotazione del punto di mezzeria del cuscinetto A attorno all'asse x', si applica nel punto stesso un momento unitario. Si ottiene il seguente diagramma di corpo libero con i relativi carichi applicati. 1 1/L 2 1/L 2 L 2 Si ottiene il seguente andamento per il momento flettente e torcente. M x1 := N m if 1N m 1N m L if 2 N m if 2 M x1 xx M z1 := N m M z1 xx

6 PROPRIETA' DELLE SEZIONI πφ 1 J x1 := 6 J x1 = mm πφ 1 J p1 := 32 J p1 = mm πφ 2 J x2 := 6 J x2 = mm πφ 2 J p2 := 32 J p2 = mm πφ 3 J x3 := 6 J x3 = mm πφ 3 J p3 := 32 J p3 = mm CALCOLO DELLO SPOSTAMENTO DEL PUNTO DI APPLICAZIONE DI F n Lo spostamento del punto di applicazione di F n viene calcolato uguagliando il lavoro compiuto dalla forza stessa all'energia elastica immagazzinata nella struttura. Si noti che quest'ultima comprende anche un contributo dalla torsione. δ := 1 F n M x 2 EJ x1 M z 2 GJ p1 d M x 2 EJ x2 M z 2 GJ p2 L 3 d M z 2 GJ p3 d δ =.12 mm

7 CALCOLO DELLA ROTAZIONE DEL PUNTO DI MEZZERIA DEL CUSCINETTO "A" La rotazione del punto di mezzeria del cuscinetto "A" viene calcolata ttraverso gli integrali di Mohr. Si noti che, essendo Mz1 identicamente nullo, si rende necessario considerare solo il contributo della flessione. θ := 1 1N m L 1 Mx1 M x EJ x1 d Mx1 M x EJ x2 d θ = radianti Osservazione: il valore ottenuto è negativo, per cui la rotazione avviene in senso contrario al momento esploratore introdotto.

8 CALCOLO ALTERNATIVO DELLO SPOSTAMENTO DEL PUNTO DI APPLICAZIONE DI F n Lo spostamento del punto di applicazione di F n può essere anch'esso calcolato con il metodo degli integrali di Mohr. Nel fare questo è necessario ricordare che il carico unitario fittizio deve essere inserito nell'effttivo punto di applicazione di F n (alla sommità della ruota, per cui viene prodotto anche un momento torcente). Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero con i relativi carichi applicati.19 Nm 1 N.2 N.19 Nm 1.2 N L 2 Si ottiene il seguente andamento per il momento flettente e torcente. M x1 := 1 N if.2 N if N m if xx := M x1 xx M z1 :=.19 N m M z1 xx

9 Applicando L gli integrali di Mohr. 1 M x Mx1 M z I 1 := EJ x1 GJ p1 I 2 := Mx1 M x EJ x2 Mz1 M z d Mz1 GJ p2 d L 3 M x I 3 := EJ x2 Mx1 Mz1 M z GJ p3 d δ := 1 I 1N 1 I 2 I 3 δ =.12 mm