LA RICERCA DELLA LINEA MERIDIANA
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- Aureliana Piccolo
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1 LA RICERCA DELLA LINEA MERIDIANA 7 METODO DEI CERCHI INDU pag. 8 METODO DELL OMBRA DELLO GNOMONE CON AZIMUT NOTO CALCOLO DELL AZIMUT CON FORMULA MATEMATICA METODO DELL OMBRA DELLO GNOMONE ALL ISTANTE DEL MEZZOGIORNO VERO LOCALE CALCOLO DEL MEZZOGIORNO VERO LOCALE CON FORMULA MATEMATICA pag. 10 pag. 14
2 8 RICERCA DELLA LINEA MERIDIANA O MERIDIANO DEL LUOGO La tracciatura della linea meridiana concepita come tratto del meridiano del luogo o più semplicemente come la direzione nord-sud geografico, è molto importante per osservazioni dirette del transito del Sole sulla volta celeste e per esperienze pratiche di geografia astronomica. Come noto, la linea meridiana non coincide con la direzione dell ago magnetico in quanto quest ultimo si orienta verso il nord magnetico. Questo a sua volta si trova nei pressi della Terra di Ellesmere, nel territorio canadese di Nunavut e si sta spostando verso la Russia alla velocità di circa 64 km l anno. La diversità tra le direzioni del meridiano geografico terrestre e l ago della bussola è quantificabile nell angolo di declinazione magnetica. E dunque sconsigliato determinare la posizione esatta della linea meridiana con la bussola vista anche la scarsa sensibilità ed attendibilità dello strumento. Sarà necessario ricorrere al Sole! 1) METODO DEI CERCHI INDU Il metodo utilizza il percorso diurno dell ombra proiettata da un punto presente su di un elemento verticale (o l ombra della punta dell elemento stesso) su di una superficie piana e la simmetria di tale percorso rispetto alla linea meridiana. PRINCIPIO TEORICO DI BASE: LE OMBRE DEL SOLE NEL SUO MOTO APPARENTE DIURNO PREMESSA. Il Sole nel suo moto apparente diurno incrocia il meridiano celeste del luogo dell'osservatore nel momento della sua massima altezza sull'orizzonte, ovvero all istante del mezzogiorno solare vero locale: in quell'attimo l'ombra di uno stilo verticale (lo gnomone) si proietta sul piano orizzontale lungo la linea meridiana o meridiano del luogo, da sud a nord, e raggiunge la sua minima lunghezza (fig.1). Nel corso del dì il Sole percorre nel cielo un arco che il meridiano celeste divide in due parti simmetriche: una ad ovest o antimeridiana ed un altra a est o pomeridiana. L'ombra di uno gnomone (ossia un elemento verticale o γνωμωσ = indicatore molto presente negli orologi solari orizzontali) su una superficie piana segue due movimenti simmetrici rispetto alla linea meridiana. Ora, l'intersezione tra questa superficie conica e il I
3 9 piano dell'orizzonte è una curva che alle nostre latitudini è un ramo di iperbole. Nel solstizio estivo boreale (declinazione del Sole δ = ') questa avrà la sua massima concavità verso sud mentre in quello invernale boreale (declinazione del Sole δ = ') la sua massima concavità è verso nord (declinazione δ = '). Da un solstizio all'altro la curva tende a degenerare in una retta che sarà ottenuta esattamente nei giorni degli equinozi (declinazione del Sole δ = 0 ) (fig.2). La curva di intersezione rappresenta, dunque, il percorso diurno dell'estremità dell'ombra di uno gnomone e l'asse di simmetria della curva è la linea meridiana o meridiano del luogo. IL METODO E un procedimento tradizionale dove gli strumenti necessari sono semplici: un filo a piombo con una sfera inserita (o un bastone perfettamente verticale) e un grosso compasso (o una cordicella). A) Si posiziona il filo a piombo, (o il bastone) lo "gnomone", e si fa in modo da ridurre la sua oscillazione. Per superfici piccole come ad esempio un davanzale di finestra, si può utilizzare una tavoletta di legno con un chiodo piantato ortogonale oppure un triangolo di cartoncino con un bordo verticale. L'operazione si effettua in ore a cavallo del mezzogiorno. B) Si tracciano varie circonferenze concentriche attorno alla base dello gnomone con un compasso (o con una cordicella) aventi un raggio diverso. C) Nel corso della mattina si segnano i punti in cui l ombra della sfera inserita nel filo a piombo (o l'estremità dell'ombra dello gnomone) interseca le circonferenze. (fig.3). D) Nel corso del pomeriggio si procede allo stesso modo e si tracciano i punti in cui l'ombra della sfera (o l estremità dell'ombra dello gnomone) cade sulle stesse circonferenze del mattino, dalla parte opposta: ricordiamo che al mattino le ombre vanno verso occidente e al pomeriggio verso oriente (fig.4). E) Si congiungono le coppie di punti che si trovano sulla stessa circonferenza ottenendo così delle corde che devono risultare parallele tra loro (fig.5). F) Si trovano i punti medi di tali corde e si traccia una retta che unisca tali punti con il punto base dello gnomone. Questa retta è la linea meridiana o direzione del meridiano del luogo. Teoricamente basterebbe una sola circonferenza e una sola corda, ma con più letture si può controllare l'allineamento dei punti medi fra loro e il risultato finale è più preciso.
4 10 2) METODO DELL OMBRA DI UNO GNOMONE CON AZIMUT DEL SOLE Questo metodo utilizza l ombra di un elemento verticale su di una superficie piana e l azimut del Sole ad un determinato istante, preventivamente ricavato da software o da calcolo. PRINCIPIO TEORICO DI BASE: L AZIMUT DEL SOLE PREMESSA. In un qualsiasi momento di una giornata soleggiata, l'ombra proiettata sul piano orizzontale da un bastone verticale o da un filo a piombo, forma con la direzione della linea nord-sud, a partire da nord in senso orario, un angolo pari all'azimut del Sole sull'orizzonte. Per applicare il metodo è necessario conoscere il valore di tale coordinata del Sole ad un determinato istante per una certa data ottenuto mediante calcolo oppure utilizzando software di Astronomia. Consigliati al proposito sono Stellarium oppure la app. per smartphone Sol et Umbra di G. Casalegno. In alternativa è possibile usare il software Geffem dell ing. G. Ferrari (anche questo in DOS) che fornisce una numerosa e precisa serie di coordinate ed effemeridi del Sole in generale. IL METODO Sono necessari strumenti semplici quali un filo a piombo, un goniometro e un orologio. A) Dopo aver determinato l'angolo di azimut del Sole per una data località e per una certa data, con un software di astronomia o con i calcoli indicati più avanti, si registrano più dati a intervalli di 10/15 minuti. Si effettuano i calcoli di eventuale correzione dei valori ottenuti in modo da ottenere una misura dell azimut così come indicato nella sua definizione angolo da 0 a 360 misurato a partire da nord in senso orario.
5 11 B) Si considera un istante di quelli per cui si conosce o si è determinato l azimut e in quel momento si traccia sul pavimento l'ombra proiettata da un filo a piombo aiutandosi con una riga. C) Su questa linea si indica anche il punto di caduta del filo (piede della perpendicolare) e di inizio dell ombra D) Si pone a terra il goniometro, facendo coincidere il suo centro con il piede della perpendicolare e lo si ruota in direzione del Sole fino a far coincidere la linea segnata dell ombra con l indicazione dei gradi corrispondenti all'azimut (fig. 6). Con il goniometro orientato correttamente, la linea dei gradi da O indica ora la direzione nordsud e la linea quella est-ovest. E) Si segnano i due punti del goniometro che indicano 0 e 180 e si traccia la retta che li unisce: si avrà dunque la linea meridiana ricercata. IL CALCOLO DELL AZIMUT CON FORMULA MATEMATICA Il calcolo è per coloro che hanno conoscenza di trigonometria ed amano la matematica. La formula calcola l azimut del Sole per una certa ora e certa data e richiede i valori di alcuni dati del Sole preventivamente ricavati da software. Il valore calcolato può essere confrontato con quello fornito da software. La formula dedotta dalla trigonometria sferica è la seguente: dove: h altezza del Sole (sempre positiva). E ricavabile direttamente da software. δ declinazione del Sole (positiva per date di primavera ed estate negativa per date di autunno ed inverno). Anche questa è ricavabile direttamente da software. ω angolo orario del Sole (positivo per ore pomeridiane, negativo per ore antimeridiane). Ricavabile da software con alcuni possibili aggiustamenti di calcolo. PRECISAZIONE. L angolo orario è definito come l angolo misurato sull equatore celeste a partire dal meridiano celeste dell osservatore (che comprende, come noto, zenit, nadir e nord e sud celesti e nord e sud della linea dell orizzonte) fino al meridiano celeste del Sole. Va calcolato a partire da sud in senso orario con valori da per ore postmeridiane e in senso antiorario da per ore antimeridiane. Considerando che il Sole medio apparentemente si sposta di un angolo di 15 all ora, da tabella (tab.1). Gli elementi dell angolo orario est a ovest i valori sono quelli della
6 12 Il valore dell angolo orario per un certo istante da inserire nella formula è ricavabile da software di Astronomia con eventuali aggiustamenti (vedi l esempio più avanti). φ latitudine del luogo (positiva nel mostro emisfero). Si può ricavare da programmi di telerilevamento come Google Eart. ESEMPI di CALCOLO per località di Cerea (VR) via Ghanhi 2 Primo calcolo. Ore (ora legale) del 25/5/2016. Dati del Sole valori angolari sessagesimali valori angolari sessadecimali (nota 1) seno coseno h altezza ,06 0,7304 δ declinazione ,08 0,3597 0,9331 ω angolo orario (nota2) 49,46 0,6500 φ latitudine ,19 0,7094 0,7048 Nota 1. Per la trasformazione da sessagesimale a sessadecimale e viceversa è agevole l uso di convertitori on line es. ore e gradi nei due formati Rete di Eratostene. Nota 2. Il programma Stellarium fornisce un valore di angolo orario ω contato a partire da sud in senso orario, sempre positivo ed in misure di tempo, variabile da 0 h 24 h. Per il calcolo delle funzioni trigonometriche dell angolo ω si procede in questo modo: - se il valore fornito da Stellarium non supera le 12 h (ore pomeridiane) il numero da convertire sarà lo stesso; - se il valore fornito da Stellarium supera le 12 h (ore antimeridiane) il numero da convertire sarà dato dalla seguente differenza: valore della misura fornita da Stellarium 24h Successivamente si procede alla conversione del valore di tempo in valore di angolo. Nel nostro caso il valore dell angolo ω fornito da Stellarium è 3 h 17 m 51 s ovvero inferiore alle 12 h e dunque si avrà: ω = 3 h 17 m 51 s infatti: 3 h * 15 = m * 15 = 255 = s * 15 = 765 = totale Applicando infine la formula avremo:,,,, cos Az s =, =,, =, ed operando all inverso:
7 13 Az s = arcoseno 0,2421 = 75,9895 = (nota 3) Nota 3. Il valore calcolato riporta un angolo azimut Az s che, come l angolo orario ω, prende origine da sud (e non da nord come per definizione) ed ha gli stessi valori, segno e verso dell angolo orario, ossia nel nostro caso da (ore postmeridiane). Per avere il valore dell azimut di Stellarium (valore vero) devo aggiungere 180. Nel nostro caso: = (valore di Stellarium) Ricordo che Stellarium mi fornisce il dato con l ora legale, qualora vigente. Secondo calcolo. Ore del 20/11/2016 Dati del Sole valori angolari sessagesimali valori angolari sessadecimali (nota 1 precedente) seno coseno h altezza ,73 0,9223 δ declinazione ,83-0,3392 0,9407 ω angolo orario ,97 0,9457 (nota 2 precedente) φ latitudine ,19 0,7094 0,7048 Nel nostro caso il valore di angolo orario ω fornito da Stellarium è 22 h 44 m 07 s ovvero ben superiore alle 12 h per cui: ω = 22 h 44 m 07 s - 24 h = -1 h 15 m 53 s (vedi nota 2 precedente) perché: 1 h * 15 = m * 15 = 225 = s * 15 = 795 = totale Applicando la formula avremo: cos Az s =,,,,,, =,, =,9 ed operando all inverso: Az s = arcoseno 0,9435 = 19,3521 = (nota 5 e nota 6) Nota 5. Anche in questo caso il valore calcolato riporta un angolo azimut Az s che come l angolo orario ω prende origine da sud (e non da nord come per definizione) ed ha gli stessi valori, segno e verso dell angolo orario, ossia nel nostro caso da (ore antimeridiane). Nota 6. Il valore ottenuto è positivo ma devo cambiare di segno (vedi nota 5). Anche qui per avere il valore dell azimut di Stellarium (valore vero) devo aggiungere 180.
8 ( ) = (valore di Stellarium) 3) METODO DELL OMBRA DI UNO GNOMONE DELL ISTANTE DEL MEZZOGIORNO VERO LOCALE Il metodo si basa sull ombra proiettata da un punto presente su di un elemento verticale (o l ombra della punta dell elemento stesso) su di una superficie piana all istante del mezzogiorno vero locale ossia il momento in cui il Sole è a metà del suo arco diurno e culmina sul meridiano locale. Questo istante va calcolato secondo il tempo dell orologio. PRINCIPIO TEORICO DI BASE: IN QUALE ISTANTE DEL DI IL SOLE E SUL MERIDIANO LOCALE? Risposta: non alle ore 12 o 13 (se ora legale) del mio orologio da polso in quanto gli orologi non solari seguono il TEMPO CIVILE mentre il Sole segue il TEMPO VERO LOCALE. Devo eseguire alcuni calcoli. TEMPO VERO LOCALE. E' il tempo comunemente riportato sulle meridiane e si basa su: a) GIORNO SOLARE VERO definito come "il tempo che intercorre tra due passaggi consecutivi del Sole sullo stesso meridiano nel suo apparente moto diurno da est verso ovest". Questo per motivi legati all'orbita di rivoluzione terrestre, ellittica e non circolare, ed all'inclinazione dell'asse di rotazione, ha una durata che non è sempre di 24 ore esatte, ma variabile giornalmente. b) MERIDIANO LOCALE ovvero il meridiano del sito dove mi trovo. Visto il Sole nel suo moto apparente giornaliero va avanti "di continuo" culminando ad ogni istante su luoghi geograficamente sempre diversi ne deriva che l istante del mezzogiorno vero locale sarà lo stesso solo per i luoghi allineati sullo stesso meridiano dell intera superficie terrestre mentre ogni altra località cadrà in momenti diversi. TEMPO CIVILE O TEMPO MEDIO DELL EUROPA CENTRALE (o tempo dell orologio da polso) E' il tempo comunemente usato dagli orologi e si basa su: a) GIORNO SOLARE MEDIO definito come "giorno artificiale la cui durata è la media delle durate di tutti i giorni solari veri dell anno ed equivale a 24 ore per ogni data. b) MERIDIANO dell EUROPA CENTRALE ovvero meridiano del nostro fuso orario +1 e che passa per l Osservatorio dell Etna. IL CALCOLO DELL ISTANTE DEL MEZZOGIORNO VERO LOCALE La formula per conoscere l istante del mezzogiorno vero locale con il tempo civile del nostro orologio da polso,è molto facile ed è la seguente:
9 15 dove: 12 h + (1)+ c + v 12 h mezzogiorno dell orologio 1 h eventuale ora legale c costante locale v equazione del tempo COSTANTE LOCALE (c): tempo che intercorre tra il passaggio del Sole tra il meridiano dell Europa Centrale o Meridiano dell Etna ed il meridiano locale (vedi figura sotto riferita a Verona). La costante locale dipende dalla differenza in longitudine tra il meridiano E.C. (15 longitudine est Gw) e meridiano del luogo dove ci si trova. ESEMPIO di CALCOLO per località di Cerea (VR) via Ghandi 2 λ longitudine = est di Gw A) Calcolo della differenza di longitudine: = B) Calcolo della costante locale (vedi introduzione) : 03 * 4 m = 12 m 47' * 4 s = 188 s = 3 m 08 s 22 * 1/15s = 1,5 s totale m 09,5 s 15 m 10 s OSSERVAZIONE GENERALE. Ricordo che se la località si trova ad Ovest del Meridiano dell Europa Centrale es. Verona (vedi figura sotto) il valore della costante locale va inserito nella formula con segno positivo (si tratta di ritardo), mentre se si trova ad Est, es. località della Puglia, tale valore va aggiunto con segno negativo, ovvero va tolto (si tratta di anticipo). EQUAZIONE DEL TEMPO (v): minuti di anticipo (-) e di ritardo (+) del Sole (figura sotto) rispetto al tempo civile dovuti alla continua variabilità del giorno solare vero.
10 16 ESEMPI di CALCOLO DEL MEZZOGIORNO VERO LOCALE per località di Cerea (VR) via Ghandi 2 (costante locale = 15 m 10 s) Giorno 12 gennaio (equazione del tempo= 8 m 20 s ) 12h + (15 m 10 s ) + (+8 m 20 s ) = 12 h 23 m 30 s (Sole in discreto ritardo sull orologio) Giorno 25 maggio (equazione del tempo= -3 m 10 s ) 12h + 1 h + (15 m 10 s ) + (-3 m 10 s ) = 13 h 12 m 00 s (Sole in leggero ritardo sull orologio ampio ritardo se si considera l ora legale) Giorno 20 novembre (equazione del tempo= -14 m 20 s ) 12h + (15 m 10 s ) + (-14 m 20 s ) = 12h 00m 50s (Sole in leggerissimo ritardo sull orologio) File excel per il calcolo del mezzogiorno vero locale IL METODO Anche qui sono necessari strumenti semplici quali un filo a piombo, con o senza sfera inserita, e un orologio ben calibrato sul segnale orario A) Si posiziona un filo a piombo in modo che cada su di una superfice piana orizzontale facendo attenzione alle sue oscillazioni. B) Si attende l istante del mezzogiorno vero locale calcolato per quella data e in quel momento si traccia sul piano l'ombra proiettata aiutandosi con una riga: si avrà dunque la linea meridiana ricercata.
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