Corso di Calcolo Numerico

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1 Prof. L. Brandolini Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa N. Franchina Laboratorio 6 Equazioni differenziali ordinarie: metodi impliciti 3 Novembre 26 Esercizi di implementazione Un equazione differenziale ordinaria è un equazione che contiene derivate rispetto ad un unica variabile indipendente. Nel seguito ci limiteremo a considerare equazioni differenziali del primo ordine, in particolare vengono considerati i cosiddetti problemi di Cauchy, ossia i problemi definiti come di seguito: trovare y : I R tale che y (t) = f (t,y(t)) t I y(t ) = y, () dove I R, f è una funzione assegnata e y = dy/dt. Inoltre t è il punto in cui viene prescrittalacondizioneinizialey, ovveroqueldatocheconsentediindividuareunasoluzione tra le infinite soluzioni ammissibili dal problema (). Dato il passo di discretizzazione t, il metodo di Eulero all indietro consente di calcolare una soluzione approssimata u n+ = u n + tf(t n+,u n+ ), n =,...,N. (2) Tale schema è ottenuto mediante l applicazione della formula di Eulero all indietro a y (t) in ogni nodo t n, n =,...,N. Si osserva che la soluzione numerica u n+ dipende tramite f(t n+,u n+ ) da se stessa, per questo motivo il metodo si definisce implicito. Ad ogni passo il calcolo della soluzione approssimata u n+ richiede la risoluzione di un equazione non lineare. Di conseguenza, i metodi impliciti risultano più costosi dal punto di vista computazionale dei metodi espliciti, tuttavia i metodi impliciti offrono migliori proprietà di stabilità dei metodi espliciti.. Si implementi il metodo di Eulero all indietro per la risoluzione del seguente problema modello y (t) = λy(t), t (,T f ) y(t ) =. (3)

2 Sommando membro a membro un generico passo dei metodi di Eulero in avanti e di Eulero all indietro si ottiene il metodo implicito ad un passo di Crank-Nicolson: u n+ = u n + t ( f(t n+,u n+ )+f(t n,u n ) ). (4) 2 2. Si implementi il metodo di Crank-Nicolson per la risoluzione del problema modello (3). I metodi multipasso consentono di ottenere un ordine di accuratezza superiore utilizzando i valori u n,u n,...,u n p nel calcolo di u n+. 3. Si implementi il metodo a due passi di Adams-Moulton2 per la risoluzione del problema modello (3), Soluzione u n+ = u n + t ( 5f(t n+,u n+ )+8f(t n,u n ) f(t n,u n ) ). (5) 2. Si riporta nel file EI.m l implementazione del metodo di Eulero all indietro per la risoluzione del problema modello (3) con λ R, la cui soluzione esatta è y(t) = e λt. Applicando lo schema di Eulero all indietro a questo problema si ottiene u n+ = u n + tλu n+. I parametri di ingresso della function EI sono: l istante iniziale t e quello finale tf, la condizione iniziale u, il passo di discretizzazione Deltat e il coefficiente lambda. Si osserva che in tale schema la soluzione u n+ dipende tramite f(t n+,u n+ ) da se stessa. Questo rende necessario risolvere un equazione non lineare in generale (ma non in questo caso) ad ogni passo temporale ed implica di conseguenza un costo computazionale per passo temporale superiore rispetto a quello richiesto dallo schema esplicito. 2. Si riporta nel file CN.m l implementazione del metodo di Crank-Nicolson per la risoluzione del problema modello (3), u n+ = u n + t 2 λ( u n+ +u n). I parametri di input della function CN coincidono con quelli della function EI. 3. Per quanto riguarda il metodo AM2 si osserva che in tale schema la soluzione approssimata u n+ dipende dalla soluzione approssimata calcolata nei due passi precedenti. Questo richiede che al passo temporale t siano noti i valori della soluzione nei due istanti precedenti. Essendo noto solo il dato u si utilizza il metodo di Eulero all indietro per il calcolo di u. Si riporta nel file AM2.m l implementazione del metodo di Adams-Moulton per la risoluzione del problema modello (3), ovvero u n+ = u n + t 2 λ( 5u n+ +8u n u n ). I parametri di input della function AM2 coincidono con quelli della function EI. 2

3 Esercizi Si consideri la seguente equazione differenziale: y (t) = 2y(t) t (t,t f ] y(t ) =. (6). Risolvere il problema proposto mediante il metodo di Eulero all indietro implementato. Valutare l assoluta stabilità della soluzione numerica ottenuta utilizzando t =.5, T f = mediante confronto con la soluzione esatta. Si esegua la stessa verifica per un passo di discretizzazione t =.2, con T f =. 2. Si risolva il problema proposto nell Esercizio mediante il metodo CN utilizzando i medesimi valori di t usati con il metodo di Eulero all indietro. Commentare i risultati ottenuti. 3. Si risolva il problema proposto nell Esercizio mediante il metodo AM2 utilizzando i medesimi valori di t usati con il metodo di Eulero all indietro. Commentare i risultati ottenuti. 4. Calcolare sperimentalmente l ordine di accuratezza del metodo di Eulero all indietro, di Crank-Nicolson e di Adams-Moulton2. Soluzione. Si riporta nel file Lab6es.m la risoluzione del problema modello mediante il metodo di Eulero all indietro per t =.5 e T f = e per t =.2 e T f =. Il metodo è assolutamente stabile per entrambe i valori di t. Si ricorda infatti che Eulero all indietro è uno schema incondizionatamente assolutamente stabile, ovvero garantisce lim n u n = per ogni valore di t. La scelta di t è quindi vincolata solo da requisiti di accuratezza, si osservi a tal proposito il confronto tra la soluzione numerica e quella esatta per t =.2 riportato in Figura (a). 2. Si riporta nel file Lab6es2.m la risoluzione del problema modello mediante il metodo di Crank-Nicolson per t =.5 e T f = e per t =.2 e T f =. I risultati ottenuti confermano che, come previsto dalla teoria, il metodo CN è incondizionatamente assolutamente stabile. Si osserva che la soluzione approssimata calcolata con il metodo di Crank-Nicolson risulta maggiormente accurata rispetto alla soluzione approssimata ottenuta utilizzando il metodo di Eulero all indietro. 3. Si riporta nel file Lab6es3.m la risoluzione del problema modello mediante il metodo di Adams-Moulton2 per t =.5 e T f = e per t =.2 e T f =. I risultati ottenuti, riportati in Figura 3, evidenziano che il metodo AM2 è incondizionatamente assolutamente stabile. 3

4 4. Si riporta nel file Lab6esStimaOrdine.m una possibile implementazione per il calcolo dell ordine di accuratezza p di Eulero all indietro, di Crank Nicolson e di Adams- Moulton2 applicati al problema modello (6). Il calcolo della stima dell ordine di convergenza è svolto secondo la modalità descritta nel Laboratorio 5. Nello script si definiscono i dati del problema e le grandezze di input richieste dalle functions EI, CN e AM2. Si pone M= come numero di dimezzamenti successivi del passo di integrazione Deltat (valore iniziale Deltat=) che si vogliono utilizzare per stimare l ordine p (a) t =.2, T f = (b) t =.5, T f = Figura : Es: soluzione numerica u n (linea continua) calcolata con il metodo EI, soluzione esatta u (linea tratteggiata) (a) t =.2, T f = (b) t =.5, T f = Figura 2: Es2: soluzione numerica u n (linea continua) calcolata con il metodo CN, soluzione esatta u (linea tratteggiata). 4

5 Per quanto riguarda la stima dell ordine di convergenza del metodo di Eulero all indietro si ottiene: p EI =.998, si osserva quindi che il metodo di Eulero implicito risulta accurato al primo ordine come previsto. La verifica sperimentale dell ordine di convergenza dei metodi CN ed AM2 viene svolta utilizzando i valori dei parametri precedentemente definiti per EI. Per il metodo di Crank- Nicolson si ottiene la seguente stima di p: p CN = , (a) t =.2, T f = (b) t =.5, T f = Figura3: Es3: soluzionenumericau n (lineacontinua)calcolataconilmetodoam2, soluzione esatta u (linea tratteggiata). 5

6 ovvero un accuratezza pari al secondo ordine come previsto dalla teoria. Per il metodo AM2 si ottiene: p AM2 =.9925, ovvero un accuratezza pari al secondo ordine. La teoria indica che per i metodi impliciti multistep di Adams-Moulton a q passi l ordine previsto di convergenza è pari a q +. In questo caso, si osserva un ordine di convergenza ridotto a causa dell errore introdotto nel calcolo dal dato iniziale u ottenuto mediante un passo di Eulero all indietro. Si riportano in Figura 4 le curve di convergenza dei tre metodi relative all Esercizio 4; in ascissa si riporta il valore del passo temporale di discretizzazione ed in ordinata il valore assoluto dell errore. La pendenza delle linee rappresenta l ordine di convergenza. In accordo con quanto precedentemente osservato, il metodo EI presenta un ordine di convergenza inferiore rispetto ai metodi CN ed AM2. 2 EI CN AM2 3 4 Log(error) Log(/Delta t) Figura 4: Es4: curva di convergenza dei metodi EI, CN ed AM2. 6