Calcolo delle probabilità

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1 Calcolo delle robabilità Evento casuale Chissà quante volte vi hanno detto: Scegli una carta da questo mazzo e voi scegliete casualmente una carta. Perché casualmente? Cosa vuol dire scegliere a caso? Se, suoniamo, ho reso il Re di Picche è rorio un caso che io abbia reso quella carta? L ho resa semlicemente erché quella carta era lì, esattamente dove avevo deciso di escare nel mazzo. Prendere quella carta è stata una mia decisione e, in quel momento, in quel mazzo e in quella osizione c era solo il Re di Picche. La vera casualità sta ne fatto che nessuna delle due ragioni aena dette uò essere controllata in modo univoco; ognuna di esse diende da moltissimi altri fattori. La mia scelta oteva cadere su moltissime altre carte e la osizione del Re di Picche è dovuta al modo con cui era stato mescolato il mazzo. Tutti questi fattori sono oggettivi ma incontrollabili; la casualità è tutta in questo concetto. Un evento è casuale se le cause che lo roducono non si ossono oggettivamente controllare o governare. Evento certo Al contrario degli eventi casuali ci sono gli eventi certi. Se io schiaccio sul telecomando della mia TV il tasto numero 2, essa si sintonizza immediatamente su RAIDUE. E stato un caso? No, evidentemente. Il mio telecomando è stato rogrammato er fare questo. Qualcuno ha istruito il mio televisore a sintonizzarsi sui rogrammi di RAIDUE tutte le volte che il telecomando invia il segnale corrisondente al tasto 2. Questo è un esemio di evento certo erché rogrammato, revisto. Un evento è certo se le cause che lo roducono sono tutte controllate o governate. La casualità di un evento si uò misurare? Abbiamo caito erchè definiamo casuale la scelta di una carta da un mazzo. Anche indovinare la combinazione del SuerEnalotto è un evento casuale. Però caiamo tutti che c è qualcosa di diverso fra questi due eventi; è iù facile escare il Re di Picche dal mazzo che vincere al SuerEnalotto, siete d accordo? Se è così vuol dire che la casualità degli eventi uò essere in qualche modo misurata in modo da stabilire, tra due eventi casuali, quale è iù robabile. La robabilità di un evento casuale uò essere misurata. Il calcolo delle robabilità si occua rorio di questo. Ci sono vari tii di robabilità Abbiamo detto che un evento è casuale quando non è controllabile o rogrammabile. Ci sono erò diversi tii di robabilità; aiutiamoci con alcuni esemi: ag di 7

2 Probabilità statistica (concetto frequentista di robabilità) Qual è la robabilità che un lavoratore abbia un infortunio sul lavoro? Difficile risondere. Certamente diende dal lavoro che fa. Un oeraio minatore è sicuramente iù a rischio di un imiegato alle Poste. Questo erché statisticamente ci sono iù infortuni lavorando in una miniera che in un Ufficio Postale. Questo tio di robabilità, che chiameremo robabilità statistica, si misura sulla base di osservazioni statistiche cioè sulla frequenza con cui si registrano determinati fenomeni; noi non ci occueremo di questo tio di robabilità (lasciamolo fare alle Comagnie di Assicurazione). Probabilità soggettiva (concetto soggettivista di robabilità) C è la finale di Chamions League fra Il Real Madrid e il Manchester United; chi vincerà la famosa Coa dei Camioni? Il risultato della artita diende da numerosissimi fattori: le formazioni delle squadre, la condizione atletica, il modulo di gioco, lo stato del terreno, l arbitraggio, le esulsioni, i falli da rigore ecc. Anche qui la risosta è difficile. Una revisione del risultato finale diende iù da ercezioni che da fattori oggettivi. Questa robabilità è di tio soggettivo, diende cioè da come noi consideriamo la forza delle squadre ; chissà quante volte vi è caitato di dire (doo la artita) Abbiamo erso - è vero - erò senza quel rigore non finiva così!. Notate che quasi tutti i giochi di azzardo si basano su questo tio di ercezione. Moltissima gente ha letteralmente rovinato la roria esistenza solo erché aveva ercezioni sbagliate del tio: Quel cavallo vince di sicuro! Me lo sento.. Di questo tio di robabilità la matematica non se ne occua rorio (lasciamola ai Book-Makers e ai overi giocatori d azzardo). Probabilità matematica (concetto classico di robabilità) Se lancio un dado che robabilità ci sono che esca il numero? Questo è un evento casuale che non diende dalla statistica (ogni lancio è diverso dagli altri e non ci sono modi secifici di lanciare er avere il ) e inoltre non è soggettivo (io osso anche fare il tifo er il ma il dado se ne frega ). La robabilità di questo evento si uò misurare in modo oggettivo. È la robabilità matematica nel senso classico. Di questa ci occueremo. Il calcolo della robabilità matematica Il calcolo delle robabilità è quella arte della matematica che si occua di revedere, sulla base di regole e leggi recise, quanto un evento casuale sia robabile. Questa rocedura quindi riesce a misurare la robabilità di tutti quegli eventi che vengono definiti casuali solo erché il loro verificarsi diende da una serie di fattori non controllabili ma oggettivi. Poter misurare la robabilità di un evento ermette di fare dei confronti e di stabilire, in una serie di eventi, qual è il iù robabile. Dal unto di vista storico il rimo matematico che si occuò di questo asetto fu Blaise Pascal (2-2). Pascal enunciò i fondamenti di questo calcolo che furono riresi e amliati iù tardi da altri matematici come Jakob Bernoulli che scorì la Legge dei grandi numeri. ag 2 di 7

3 . Calcolo della robabilità di un evento semlice Prima di tutto un o di simboli. Indicheremo con una la robabilità e con una E un evento generico. La scrittura (E) indica la robabilità di un evento generico E. Partiamo subito con un semlice caso di robabilità matematica. Allora, lanciando il dado, qual è la robabilità che esca il? Il dado è un cubo e ha sei facce. Su una sola c è il. Per calcolare la (E ) alicheremo la formula: ( E) numero dei casi favorevoli all' evento numero dei casi ossibili Nel nostro caso sarà ( E ) 0,,7% Ci asettiamo quindi che l evento succeda nel,7% dei casi. Ovvero su 00 lanci mi asetto che il esca circa 7 volte. La robabilità matematica di un evento (E) si esrime con un raorto fra i casi favorevoli all evento e tutti i casi ossibili. Il valore del raorto è semre comreso fra 0 e. (E)0 significa evento imossibile. (E) significa, invece, evento certo. Un evento è tanto iù robabile quanto iù la sua (E) si avvicina ad. 0 (E) Oltre che con una frazione la robabilità uò essere esressa anche in forma di numero decimale o in ercentuale. Proviamo a fare un confronto fra due diversi eventi: E iù robabile escare una figura da un mazzo di 40 carte oure una carta di? Vediamo un o 2 ( figura) 0, 0% ( carta di Fiori) 0,25 25% 40 4 È iù robabile escare una figura. Ora un caso un o iù comlesso. Lanciando in aria monete, qual è la robabilità di ottenere 2 TESTA e CROCE? Dobbiamo rima ensare a quanti sono i casi ossibili e oi a quali sono. Ragioniamo insieme: le monete sono e, er ognuna di esse, abbiamo due ossibilità TESTA (T) o CROCE (C). I casi ossibili sono quindi 2 x 2 x Saiamo quanti sono, resta da vedere quali sono. ag di 7

4 Facciamo una tabella a colonne, una er ciascuna moneta, e 8 righe, una er ogni ossibile combinazione. Prima moneta Seconda moneta Terza moneta T T T C T T T C T C C T T T C C T C T C C C C C Suggerimento: Per trovare tutte le combinazioni fai così: Nella rima colonna alterna T e C uno alla volta (TCTCTC ). Nella seconda colonna alterna due alla volta (TTCCTTCC..). Nella terza quattro alla volta (TTTTCCCC.) e vai avanti così raddoiando ogni volta. In questo modo, er ogni riga, avrai combinazioni diverse. E le avrai tutte! Sono state messe in evidenza le combinazioni che danno 2 TESTA e CROCE. Sono. Quindi: ( 2 TESTA + CROCE) 0,75 7,5% Evento comosto Si arla di evento comosto quando si rendono in considerazione due eventi distinti nello stesso insieme di ossibilità. Si considera la robabilità che avvenga almeno uno di essi. Esemi di eventi comosti: Prendendo una sola carta dal mazzo essa è una carta di Picche oure un Re. Lanciando il dado una sola volta esce il o un numero ari. Per rocedere al calcolo bisogna rima distinguere i casi di eventi INCOMPATIBILI da quelli COMPATIBILI erché le formule sono diverse. Probabilità comosta di eventi incomatibili Due eventi sono incomatibili quando non ossono avvenire contemoraneamente ovvero non ossono avvenire insieme. Esemio: lanciando il dado una sola volta l evento è incomatibile con l evento numero ari. La formula er calcolare la robabilità di un evento comosto incomatibile E E 2 è la seguente: (E E 2 ) (E ) + (E 2 ) In ratica bisogna fare solo la somma delle robabilità semlici dei due eventi. Probabilità comosta di eventi comatibili Due eventi sono, invece, comatibili se c è anche una sola ossibilità che ossano avvenire contemoraneamente. Esemio: rendendo una sola carta dal mazzo l evento carta di Picche è comatibile con l evento Re in quanto esiste una carta che li comrende tutti e due (il Re di Picche). La formula er calcolare la robabilità di un evento comosto comatibile E E 2 è la seguente: (E E 2 ) (E ) + (E 2 ) (E E 2 ) In ratica bisogna fare la somma delle robabilità semlici dei due eventi e togliere la robabilità che essi avvengano assieme. ag 4 di 7

5 Con il linguaggio degli insiemi ossiamo vedere bene la differenza fra eventi comatibili e incomatibili. E E 2 E E 2 Incomatibili Comatibili Esemi di calcolo di evento comosto: a). Lanciando una volta il dado calcola la robabilità che esca o un numero ari. Gli eventi sono incomatibili er cui sommiamo le robabilità. + () ; ( Pari) ; ( o Pari) 0,,7% 4 b). Calcola la robabilità che, scegliendo una carta da un mazzo di 40, essa sia di Picche oure sia un Re. Gli eventi sono comatibili (c è il Re di Picche) er cui sommiamo le robabilità ma oi togliamo la robabilità che avvengano assieme ( Picche) ; Re ; (Re e Picche) ; Re o Picche 0,25 2, c). Prendendo un numerino della Tombola calcola la robabilità che contenga la cifra 7 oure che sia multilo di 5. Sono comatibili (c è il 70 e anche il 75). 8 2 ( ) ( ) % ( hail ) ; ( M ) ; ( hail 7e M ) ; ( hail 7o M ) 0,7 7,8% Evento condizionato Si arla di evento condizionato quando si rendono in considerazione due o iù eventi distinti che debbano avvenire in successione uno all altro. Questa è la situazione che si resenta in moltissimi giochi a remi: Totocalcio, SuerEnalotto, Lotto eccetera. In questi giochi vince chi indovina una serie di eventi consecutivi. Si deve quindi effettuare iù di una estrazione. Come vedrai le robabilità risultano quasi semre molto basse (altrimenti si vincerebbe sesso!). Calcolo della robabilità di un evento condizionato La formula er questo calcolo è la seguente: ( E ) ( E ) ( E ) ( ) ( E e E2 e E e... e En) 2... E n In ratica devi moltilicare tutte le singole robabilità semlici di ogni evento della serie. ag 5 di 7

6 Abbiamo detto che qui si devono fare iù estrazioni. Prima di cominciare con gli esemi bisogna stabilire se, doo ogni estrazione, bisogna rimettere l oggetto estratto nell insieme di artenza oure no. Se si rimette, l insieme di artenza è semre lo stesso, altrimenti cambia. Esemi: a). in un sacchetto ci sono 5 alline NERE, 9 BIANCHE e ROSSE. Tu vinci se, estraendo er volte una allina, riesci a fare la sequenza NERA-NERA-NERA. La allina va rimessa nel sacchetto doo ogni estrazione. Vediamo se è difficile vincere a questo strano gioco La matematica ci dice che si uò vincere volta ogni 4 tentativi. ( NERA) ; ( NERA e NERA e NERA) 0,05,5% b). Un giocatore del Lotto tenta la fortuna giocando i numeri sulla ruota di Naoli. Che robabilità ha di fare una bellissima CINQUINA? Fai attenzione ai calcoli erché nel gioco del Lotto i numeri non vengono rimessi nell urna doo l estrazione. (0) ; () ; (44) ; (0) ; (82) (0ee44e0e82) 0, , % Come vedi la robabilità è bassissima, è una sola su iù di 5 miliardi di ossibilità! Molto vicina allo zero (cioè quasi imossibile). NOTA In realtà questa robabilità è un o iù alta erché nel gioco del Lotto non ha imortanza la sequenza degli eventi; il nostro giocatore vincerebbe con la sequenza che abbiamo descritto ( ) ma anche con altre sequenze come ( oure ecc). Per calcolare la robabilità esatta bisogna conoscere il calcolo combinatorio. 4. La Legge dei grandi Numeri (Legge del Caso) Nel 7 Jakob Bernoulli, matematico svizzero, enunciò un teorema diventato famoso col nome di Legge dei grandi numeri o anche Legge del Caso. Questo teorema avvicina il concetto di robabilità statistica a quello di robabilità matematica fino a farli coincidere. Infatti esso dice: La frequenza relativa con cui un evento casuale si manifesta tende ad assumere il valore della sua robabilità matematica quanto iù il numero delle osservazioni è alto. Cerchiamo di siegare questo concetto con un semlice esemio. La matematica afferma che lanciando una moneta esce Testa con robabilità (Testa)/2; cioè nel 50% dei casi (robabilità matematica o teorica). ag di 7

7 Ma siamo sicuri che lanciando una moneta 0 volte esca er 5 volte Testa? Certamente no. Non c è nessuna certezza che ciò avvenga; otrebbe venire Testa volte su0 oure 4 su0 o anche solamente 2 su 0, come si fa a revedere? Non si uò! Se erò fai un eserimento - magari con un comuter - e simuli il lancio casuale di una moneta er tantissime volte, e vai a calcolare il raorto fra il numero di volte che il risultato è stato Testa e il numero totale dei lanci, ti accorgi che questo raorto si avvicina semre di iù al 50% stabilito dalla matematica quanti iù lanci fai. Guarda questo grafico che riassume questo eserimento simulato er migliaia di volte col rogramma Excel. 5% 54% 52% 50% 48% 4% 44% 42% % TESTA % TEORICA Numero dei lanci Dal grafico si vede che aumentando il numero di lanci la frequenza in % dell evento Testa si avvicina semre di iù al valore teorico del 50%. A lanci i due valori sono raticamente uguali. Il bello è che questo si verifica er qualunque fenomeno casuale. Alla fine anche il Caso è governato da una Legge! Il Problema dell Astrologo Un Sultano, stanco delle vane romesse del suo Astrologo, lo condanna a morte. Gli lascia erò un ultima ossibilità. Eccoti 4 alline, due bianche e due nere disse il Sultano all Astrologo tu le metterai in due urne come vorrai. Il Boia sceglierà un urna e da essa estrarrà una allina. Se non troverà nulla nell urna la renderà dall altra. Se è Nera ti giustizierà altrimenti avrai salva la vita ma non ti farai iù vedere al mio alazzo! Se tu fossi l Astrologo, come metteresti le alline nelle due urne? Urna A Urna B ag 7 di 7