12 Simulazione di prova d Esame di Stato

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1 2 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario È assegnata la funzione = f() =( +2)e 2 +, essendo una variabile reale. a. Studiare la funzione assegnata, descrivendo in particolare il suo comportamento all infinito e mostrando che essa ammette una retta r come asintoto. Rappresentare quindi il grafico di tale funzione in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. b. Mostrare che l equazione f() = 0possiede una soluzione reale, indicata con α, e ricavare un valore approssimato di α, a meno di 0,0, utilizzando un metodo di approssimazione numerica a piacere. c. opo aver verificato che la retta tangente al grafico della funzione assegnata nel suo punto di ascissa 2 ha equazione = e + 4 ( e +, porre h() =f() e + 4 ) e + e calcolare le due derivate h () e h (). Studiare il segno di h (), quindi dedurre la variazione e il segno di h () e infine ricavare la variazione e il segno di h(). Interpretare graficamente quest ultimo risultato. d. eterminare infine la misura dell area della regione piana delimitata dal grafico della funzione = f() e dalle rette di equazioni =, =0, =2, fornendo una valutazione decimale approssimata della suddetta area. LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI a. La funzione assegnata tende a se e tende a se + ; la retta r è =, che rappresenta un asintoto orizzontale destro. La derivata prima della funzione è = 2 e 2 e la derivata seconda è = ( 2) 4 e 2. 3 =( +2)e 2 +

2 b. Si ha 2,32 <α< 2,3; in effetti, più precisamente, è 2,35 <α< 2,34. c. h () = 2 e 2 + e e ( 2) h () = e 2. 4 h () presenta un minimo relativo in =2, mentre h(), che cresce in =2, si annulla in =2e passa da valori negativi a valori positivi. Questo perché la funzione assegnata presenta un flesso in = 2e la retta tangente d inflessione attraversa il suo grafico nel punto di ascissa 2. 2 h () = h () = 2 e 2 + e ( 2) e 2 4 LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI d. L area richiesta vale 6 2 e. Problema 2 a. isegnare un quadrilatero con due soli angoli retti, sia nel caso siano essi consecutivi sia nel caso siano opposti. escrivere i quadrilateri così ottenuti motivandone le relative proprietà. iscutere inoltre la loro inscrittibilità e la loro circoscrittibilità rispetto a una circonferenza. b. Nel caso di un quadrilatero in cui gli angoli retti siano opposti, sono assegnate la misura della diagonale =0cm, che ha per estremi i vertici degli angoli non retti, e la misura della corda =5 3 cm. eterminare l angolo  = per il quale il quadrilatero ha perimetro massimo. c. Tracciare per il vertice la perpendicolare r al piano del quadrilatero e fissare su di essa un punto V. alcolare l area della superficie laterale della piramide che ha come vertice V e come base il quadrilatero di perimetro massimo individuato nel punto precedente, sapendo che l altezza Vè uguale alla diagonale. d. Inscrivere nella piramide di cui al punto precedente il prisma retto che ha la base sul piano di base della piramide e il volume massimo. Esprimere il volume in funzione del- 2

3 la distanza della base superiore del prisma dal vertice V della piramide e motivare il fatto che nel dominio di tale funzione relativamente al problema geometrico cui ci si riferisce, esiste sicuramente almeno un punto c interno al dominio in cui la f (c) =0. a. Se il quadrilatero viene disegnato con due angoli retti consecutivi, allora esso è un trapezio rettangolo, perché i due lati opposti perpendicolari a uno stesso lato sono tra loro paralleli. Tali lati paralleli sono le basi e il lato a cui sono perpendicolari è uno dei lati obliqui e quindi il quadrilatero è un trapezio rettangolo, infatti in questo caso avrebbe tutti i quattro angoli retti, cosa esclusa dall ipotesi. Gli angoli opposti non possono essere supplementari a due a due, altrimenti tutti gli angoli sarebbero retti, contro quanto richiede l ipotesi, quindi il quadrilatero non può mai essere inscritto in una circonferenza. In generale non è nemmeno circoscrittibile a una circonferenza, ma può esserlo nel caso in cui la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due, per esempio nella figura + = +. LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI Se il quadrilatero viene disegnato con due angoli retti non consecutivi, allora non è un quadrilatero particolare, ma ha la proprietà di essere sempre inscrittibile in una circonferenza, perché i suoi angoli opposti sono a due a due supplementari, essendo la somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso uguale a un angolo giro. 3

4 Se si traccia la diagonale, allora il quadrilatero risulta inscrivibile nella circonferenza di diametro : infatti i triangoli e, essendo rettangoli rispettivamente, in e in, sono inscrittibili in semicirconferenze aventi lo stesso diametro. In generale un tale quadrilatero non è circoscrivibile a una circonferenza, ma può esserlo quando la somma di due lati opposti è uguale a quella degli altri due: ciò avviene solo nel caso in cui i lati consecutivi siano a due a due uguali (a forma di aquilone), come, per esempio, nella seguente figura, con il centro L della circonferenza inscritta appartenente al diametro. iò perché i due triangoli rettangoli, in cui viene diviso il quadrilatero dal diametro, hanno l ipotenusa in comune e quindi, dato un cateto, l altro è univocamente determinato. LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI L b. =0cm =5 3 cm a ciò si può dedurre che gli angoli Ĉ e  misurano rispettivamente 60 e 30, poiché tale corda è uguale al lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza =5cm  = ; 0 <<90 =0sen =0cos 4

5 Perimetro: p = sen +0cos p =0cos 0 sen p = 0 sen 0 cos p =0quando cos sen =0ovvero quando cos = sen, quindi, tenendo conto del dominio, =45 p (45 )= 0 sen 45 0 cos 45 < 0 =45 è dunque un punto di massimo relativo. Quindi: =5 2 cm =5 2 cm c. V LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI I lati del quadrilatero di perimetro massimo misurano rispettivamente =5 3 cm; =5cm; =5 2 cm; =5 2 cm. Le altezze delle facce laterali V e V coincidono con lo spigolo V che, essendo perpendicolare al piano del quadrilatero, è perpendicolare a ogni retta del piano passante per il punto d intersezione con il piano stesso, ovvero il punto. L altezza della faccia V coincide con lo spigolo V: infatti, per ipotesi, dal piede della perpendicolare Val piano del quadrilatero è tracciata la retta, perpendicolare alla retta dello stesso piano, e quindi, per il teorema delle tre perpendicolari, è perpendicolare a V. L altezza della faccia V coincide con lo spigolo V, analogamente al caso precedente: infatti, per ipotesi, dal piede della perpendicolare Val piano del quadrilatero è tracciata la retta perpendicolare alla retta dello stesso piano e quindi, per il teorema delle tre perpendicolari, è perpendicolare a V. V= V = 0 2 +(5 3) 2 = = 75 = 5 7 cm V= V = 0 2 +(5 2) 2 = = 50 = 5 6 cm 5

6 rea della superficie laterale della piramide: ( ) V+ V+ V+ V = 2 ( ) 2 0 cm 2 = d. = 2 = 2 = 2 ( ) 2 cm 2 = ( ) 2 cm 2. rea della superficie di base della piramide espressa come somma delle aree dei triangoli rettangoli e : 2 ( ) cm 2 = 2 ( ) cm 2. Sapendo che l area delle sezioni di una piramide parallele al piano di base sono proporzionali ai quadrati delle distanze dal vertice, se si indica con la distanza VK della base superiore del prisma dal vertice della piramide, allora l area di base del prisma, β, è ricavabile dalla seguente proporzione: β : () = 2 : V 2 β = 200 ( ) 2 = 8 (2 + 3) 2 ltezza del prisma: K =0 K V LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI Volume del prisma: = 8 (2 + 3) 2 (0 ) = 8 (2 + 3) (0 2 3 ), con 0 0. = 8 (2 + 3) ( ) > 0 nel dominio quando 0 <<

7 Quindi si ottiene il prisma avente il volume massimo quando la base superiore del prisma dista dal vertice della piramide 20 3 cm. L esistenza di almeno un punto c interno al dominio della funzione, [0; 0], in cui f (c) =0,è assicurata dal Teorema di Rolle in quanto, nel caso in oggetto, sono verificate le relative ipotesi, ovvero la continuità in [0; 0], la derivabilità in (0; 0) e l uguaglianza dei valori della funzione negli estremi dell intervallo: f(0) = f(0) = 0. Questionario Si sa che l uguaglianza a 2 + b +=2 + è valida R. Ricavare allora i valori dei coefficienti a e b, spiegando il proprio ragionamento. I valori dei coefficienti a e b sono rispettivamente 0 e 2 (principio di identità dei polinomi). 2 L usuale formato 4 di un foglio di carta è un rettangolo in cui il rapporto lato maggiore v = lato minore possiede la particolare proprietà che, se si taglia il rettangolo in due tracciando il segmento che unisce i punti medi dei due lati maggiori, ciascuno dei due rettangoli così ottenuti presenta ancora lo stesso rapporto v tra il lato maggiore e il lato minore. Tale rapporto v verifica una sola delle seguenti relazioni: v =4, v 2 =4, v 3 =4, v 4 =4. Individuare allora la relazione soddisfatta dal valore numerico v, spiegando il proprio ragionamento. LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI Il rapporto v verifica la relazione v 2 =2, pertanto si ha v 4 =4. 3 Una successione (u n ) n N è definita mediante le seguenti uguaglianze: { un = u n + u n 2 n N, n 2 u 0 =0 Sapendo che u 0 =0, determinare il valore di u. Si ricava direttamente u = In riferimento alla figura a fianco riportata, si sa che è un quadrato di lato, che I è il punto medio di e che L è il punto medio di. Ricavare il valore dell area del quadrilatero IJK. I J K L Il valore dell area del quadrilatero IJK è pari a

8 5 Per ciascuna delle seguenti funzioni, = +3, =, =, = sen +2, stabilire se esistono punti P =(a; b), appartenenti al relativo grafico, tali che la retta tangente al grafico in P abbia una pendenza uguale al valore b dell ordinata del punto P. Se la risposta è affermativa, trovare i valori delle coordinate dei suddetti punti P. Per la prima funzione il punto P del corrispondente grafico ha coordinate ( 2; ); per ( la seconda funzione P ha coordinate ( ; ); per la terza funzione P ha coordinate ) 2 2 ; ; per la quarta funzione non esiste un punto P del corrispondente grafico con 2 la proprietà richiesta. 6 Spiegare quale dei seguenti grafici può rappresentare la funzione = 5 3 relativamente all intervallo [ ; ] dei valori della variabile indipendente. a. b. LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI c. d. Il grafico che può rappresentare la funzione = 5 3, relativamente all intervallo [ ; ] dei valori della variabile indipendente, è il b. 7 È data la funzione =6+ cos definita in [π;2π]. eterminare l altezza h del rettangolo di base π ed equivalente al trapezoide individuato dal grafico di tale funzione. Motivare l esistenza di un punto c dell intervallo [π;2π] in cui la funzione assume il valore h. cos d = sen sen d = sen + cos + c 8

9 opo aver osservato che la funzione è positiva nell intervallo [π; 2π], si calcola l area del trapezoide: 2π (6 + cos )d =[6 + sen + cos] 2π π =2π + 6π +=6π +2 π h =6+ 2 π Essendo =6+cos continua nell intervallo chiuso e limitato [π;2π], è possibile applicare, ad esempio, il Teorema della Media, che, in tali ipotesi, assicura l esistenza di un punto c interno all intervallo [a; b] per il quale si ha: f(c) = b f()d, ovvero, nel caso in esame: f(c) = 2 (6 + cos )d b a π f(c) =h =6+ 2 π 6,64. Risulta che sen α = 9 0. a 8 Il capitello qui rappresentato ha come base un esagono regolare di lato dm e la sua altezza misura 2dm. Ricavare il valore del seno dell angolo al vertice α di ciascuna delle facce laterali. 9 ata la funzione =2 3 + sen, stabilire se si tratta di una funzione pari, dispari, oppure né pari né dispari. eterminare quindi quanti punti stazionari presenta la funzione assegnata. 0 S α LESHER EITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US ITTI Si tratta di una funzione dispari che presenta esattamente due punti stazionari simmetrici rispetto all origine, ovvero con ascisse opposte. 0 Sono date le funzioni =ln 3, = 2 ln 2, = ln 3, = Stabilire per quali di queste funzioni vale la relazione f(3) =2f(), qualunque sia il valore appartenente al relativo dominio. La relazione f(3) =2f() è valida soltanto per la funzione = ln 2 ln 3, come si può verificare direttamente. 9