Fila A 1. Determina l insieme delle soluzioni reali per ciascuna delle seguenti equazioni:

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1 LS Fila A Determina l insieme delle soluzioni reali per ciascuna delle seguenti equazioni: NB Ciascun procedimento risolutivo si deve concludere con la frase L'insieme delle soluzioni è a) Trasformando le frazioni allo stesso denominatore e moltiplicando per a primo e secondo membro, l'equazione risulta equivalente a: da cui si ricava: le cui soluzioni sono e b) Trasformando le frazioni allo stesso denominatore -)) e moltiplicando al primo e secondo membro per -)), sotto la condizione, ± l'equazione risulta equivalente a: da cui si ricava le cui soluzioni sono e Di queste però solo la prima appartiene al CE dell'equazione fratta c) Osservato che tra i fattori al denominatore ce ne sono due di opposti: e, in primo luogo conviene riscrivere l'equazione scegliendo uno dei fattori e facendo un opportuno cambio di segno: Trasformando le frazioni allo stesso denominatore -)) e moltiplicando per -)) al primo e secondo membro, sotto la condizione ± l'equazione risulta equivalente a: ) ) ) ) 8 ) ) C E 8,, ) ) ± 6 6 ) ) ) ), ± C E

2 da cui si ricava: ) e quindi: 8 8 le cui soluzioni sono e, entrambe appartenenti al CE dell'equazione fratta Semplifica le frazioni algebriche: 6 Per poter semplificare una frazione cioè dividerne numeratore e denominatore per uno o più fattori comuni) occorre prima scomporre in fattori i termini delle frazioni Osservato che sono tutti trinomi di grado, si può ricorrere alla formula generale di scomposizione dei trinomi di grado: a b c a ) ) trinomio: a b c essendo e le soluzioni dell'equazione di grado associata al ; quindi, condizione necessaria affinchè un trinomio risulti scomponibile è che risulti b ac a) Scomposizione di : equazione associata le cui soluzioni sono ½ e -, pertanto la scomposizione è /) - -)) ) ) NB È opportuno eseguire la moltiplicazione ½) in modo da ottenere coefficienti interi! Scomposizione di 6 : equazione associata 6 le cui soluzioni sono e, pertanto la scomposizione è 6 ) ) La semplificazione richiesta allora é: ) ) 6 ) ) b) Scomposizione di : equazione associata le cui soluzioni sono / e, pertanto la scomposizione è /) - -)) ) ) NB È opportuno eseguire la moltiplicazione /) in modo da ottenere coefficienti interi! Scomposizione di : equazione associata le cui soluzioni sono / e, pertanto la scomposizione è /) ) La semplificazione richiesta allora é: ) ) ) ) Scrivi per ciascuno dei seguenti casi un equazione di grado nell incognita in modo che siano soddisfatte le condizioni richieste: a le soluzioni sono /

3 Si può scrivere un'equazione che abbia le due soluzioni richieste, ricordando che esse sono anche gli zeri del trinomio di secondo grado della forma standard dell'equazione di grado: a b c che pertanto si può pensare scomposto nel prodotto: a ) ) [cfr scomposizione del trinomio di grado] Quindi un'equazione che soddisfi la richiesta si può ottenere da: a /)-) scegliendo per il coefficiente a un qualunque valore reale non nullo In alternativa, noti e si possono calcolare e e attraverso le note relazioni con i coefficienti risalire a possibili valori di a, b, c Nel caso specifico, -/ / e -/) - / Da cui, dovendo essere: -b/a / e c/a -/, possibili valori dei coefficienti sono: a, b -, c - e, più in generale, a k, b -k, c -k con k numero reale non nullo b l equazione ha un unica soluzione / Un'equazione di grado che ha un'unica soluzione o meglio, due soluzioni coincidenti) ha il discriminante nullo e il trinomio della sua forma standard è riconducibile al quadrato di un binomio Nel caso specifico: a /), con a reale e non nullo c la somma delle soluzioni è uguale a e il loro prodotto è uguale a Basta ricondursi al problema di trovare due numeri di cui si conoscono la somma s e il prodotto p Essi, se esistono in R, sono le soluzioni dell'equazione: s p Pertanto l'equazione richiesta è: Quali sono i due numeri reali la cui somma e il cui prodotto corrispondono rispettivamente al giorno e al mese della presa della Bastiglia? E' analogo al caso c) dell'esercizio precedente, posti s e p I numeri richiesti si trovano risolvendo l'equazione: / ± 68 Determina la somma e il prodotto delle soluzioni della seguente equazione di II grado: 8 Ricordando le due relazioni -b/a e c/a è sufficiente calcolare i due rapporti: ) Scrivi un equazione il cui insieme delle soluzioni sia: { -,, / } Qual è il grado minimo dell'equazione? Spiega perché il grado non può essere, mentre potrebbe essere Procedimento analogo all'esercizio a); un'equazione si può ottenere da: a ) ) ½) *) scelto per a un valore reale non nullo Parigi, luglio 8 inizio della Rivoluzione Francese)

4 L'equazione è di terzo grado, essendo il primo membro il prodotto di tre binomi di primo grado Non si può ottenere un'equazione di quarto grado equivalente alla *) perché, essendo il primo membro di terzo grado, vorrebbe dire moltiplicare per un binomio di grado e quindi aggiungere una soluzione all'insieme dato, cioè lo zero del binomio stesso Si può invece ottenere un'equazione equivalente di grado moltiplicando la *) per un polinomio di grado irriducibile, per esempio: Due numeri primi si definiscono gemelli se la loro differenza è : sono tali, per esempio, e oppure e o anche e Trova la coppia di numeri primi gemelli per i quali risulta che la somma dei rispettivi quadrati è uguale a Se con n si indica il più piccolo dei due numeri primi gemelli, n rappresenta il secondo; l'equazione risolvente allora è: n n ) equivalente a: n n 8 le cui soluzioni sono: n 6 e n Dovendo essere n N, la soluzione accettabile è n e i due numeri primi gemelli sono e 6 Se con n si fosse indicato il maggiore dei due numeri primi, l'equazione sarebbe stata: n n ) equivalente a: n n 8 le cui soluzioni sono: n 6 e n In tal caso la soluzione accettabile sarebbe stata n 8 Determina il lato di un quadrato sapendo che, se si raddoppia la sua base e si diminuisce di 8 m la sua altezza, il rettangolo ottenuto ha l'area inferiore di 8 m rispetto a quella del quadrato Indicata con la lunghezza del alto del quadrato e ricordate le formule di calcolo dell'area di un quadrato e di un rettangolo, l'equazione risolvente è: 8) 8, con il vincolo > 8 perché ), equivalente a: 6 8 le cui soluzioni sono e Di queste, solo la seconda rispetta il vincolo geometrico Fila B Stabilisci qual è il grado dell equazione ) ) ) ) ) e il suo insieme delle soluzioni, spiegando perché è facile determinarlo L'equazione è di quinto grado, essendo il primo membro il prodotto di cinque fattori di grado Poiché il secondo membro dell'equazione è zero, applicando la legge di annullamento del prodotto si può facilmente stabilire l'insieme delle soluzioni risolvendo cinque equazioni di grado: da cui da cui / da cui / da cui da cui -

5 Un numero si definisce automorfo se il suo quadrato termina per il numero stesso: sono automorfi, per esempio, ), 6 6 6), 6) ecc Determina due numeri automorfi sapendo il più grande supera di il più piccolo e che la somma dei loro quadrati è uguale a 6 Se con n si indica il più piccolo dei due numeri automorfi, n rappresenta il secondo; l'equazione risolvente allora è: n n 6, con n equivalente a: n n 8 le cui soluzioni sono: n 6 e n Dovendo essere n N, la soluzione accettabile è n e i due numeri automorfi sono e 6; infatti 6 e In un parallelogramma gli angoli acuti hanno ampiezza, due lati opposti sono uguali, ciascuno, alla somma di cm con il doppio di uno degli altri due lati e l'area è di cm Determinare il perimetro del parallelogramma Con riferimento alla figura, indicata con la lunghezza del lato più corto del parallelogramma, la lunghezza del lato maggiore è, mentre quella dell'altezza relativa a quest'ultimo è /, essendo il cateto opposto all'angolo di in un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di e 6 ricorda che un triangolo rettangolo con gli angoli di e 6 è metà di un triangolo equilatero il cui lato coincide con l'ipotenusa del triangolo rettangolo Ricordata la formula con cui si calcola l'area di un parallelogramma, l'equazione risolvente è: / ) equivalente a: le cui soluzioni sono: - 6 e Di queste solo la seconda rispetta il vincolo geometrico, > ; di conseguenza il perimetro richiesto è