A) Note due delle 6 misure c 1, c 2, i, p 1, p 2, h risalire alle altre. = p1. Soluzione. Soluzione. Soluzione

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1 A) Note due delle 6 misure c, c, i, p, p, risalire alle altre i p ) 3 Con il I Teorema di Euclide, si calcola c c i p 3 36 quindi c 6 p ) 4 3 Con il II Teorema di Euclide, si calcola p p p quindi p 6 3 Oppure, con il Teorema di Pitagora, si calcola c + p c 3) p 3 p 3 Con il II Teorema di Euclide, si calcola p p quindi 6 Oppure, si calcola l ipotenusa i 3 3 e poi con il I Teorema di Euclide, si calcolano i cateti 4) c c Con il Teorema di Pitagora, si calcola i i c + c 3

2 ) c 6 p 4 Questo è uno dei casi ce riciede l introduzione di una incognita p x l ipotenusa è i x + 4 Il I Teorema di Euclide fornisce l equazione c x p i ( x + 4 ) ( 6 ) ce a soluzioni x [o 6 x ] 6) i 6 Questo è uno dei casi ce riciede l introduzione di una incognita p x p 6 x l altra proiezione è ipotenusa è Il II Teorema di Euclide fornisce l equazione p p ( ) x ( 6 x ) ce a soluzioni x 4 o x I risultati sono in figura (nota: il problema è simmetrico, cioè con le due soluzioni si ottengono triangoli congruenti). B) E nota una misura delle c, c, i, p, p, ed una relazione tra esse. 7) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale l'ipotenusa misura più di un cateto e l'altro cateto misura 3. c x allora, per la prima relazione data dal problema, è i x + ( + ) x + ( 3) x ce in forma normale diventa di primo grado x 0. Quindi x.

3 8) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale l ipotenusa misura 8 in più del doppio della proiezione minore e l altezza relativa all ipotenusa misura 3. p x si ottiene i x + 8 e p x + 8 x x + 8 Con il II Teorema di Euclide, si ottiene l equazione p p quindi 3 x ( x + 8) Soluzioni x o x 9 (non acc) 9) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale il perimetro ce misura 4 e un cateto misura 8. i x dal perimetro si ottiene c 4 8 x 6 x Deve essere 0 x 6 6 x + 8 x ce in forma ( ) normale diventa di primo grado 3 x Quindi x. I risultati sono in figura ) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale la somma dei cateti vale 7 3 e l ipotenusa misura 3 c x si ottiene c 7 3 x Deve essere: 0 x 7 3 ( 7 3 x ) + x ( 3) ce in forma normale diventa x 4 3x Si può semplificare per x 7 3x Soluzioni x 4 3 o x 3 3 I risultati sono in figura (nota: il problema è simmetrico, cioè con le due soluzioni si ottengono triangoli congruenti). 3

4 C) Sono note due relazioni ce legano le 6 misure c, c, i, p, p,. ) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale un cateto è il doppio dell'altro ed il perimetro vale 6 +. c x si ottiene x c e, col perimetro, si ricava i 6 + 3x Deve essere: 0 x ( 6 + 3x ) x + ( x ) * Il metodo più semplice per risolvere l equazione è osservare ce ance il secondo membro può essere scritto come quadrato ( 6 + 3x ) ( x ) Poicé due quadrati sono uguali se le basi sono uguali od opposte, l equazione si può scindere nei due casi di primo grado 6 + 3x x o 6 + 3x x ( ) x 6 + o ( 3 ) x 6 + Si ottengono quindi le soluzioni: x 6 + ( + ) o x (non accettabile: è troppo grande!) 3 * Se si risolve invece l equazione normalmente, la forma normale risulta un po complessa: ( 36 + ) x x. Si può semplificare per 4 x x. ( ) Si ottiene ( ) e le soluzioni sono x o (la seconda non accettabile percé troppo grande) I risultati sono in figura (nota: il problema è simmetrico, cioè con le due soluzioni si ottengono triangoli congruenti). 4

5 ) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale una proiezione misura i 3 dell altra e i cateti differiscono di. x la proiezione minore, si possono esprime in funzione di x l altra proiezione, l ipotenusa ed i due cateti (per questi si utilizza il I teorema di Euclide). Dovendo essere c c allora x deve soddisfare l equazione x x x ( ) x + + ( + ) Le altre misure si trovano sostituendo ad x nelle espressioni il valore trovato. 3) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale la differenza delle proiezioni vale 3 e l altezza misura 3 in meno dell ipotenusa. x la proiezione minore, con le relazioni date nel problema, si possono esprime in funzione di x l altra proiezione, l ipotenusa e l altezza. Per trovare x può essere usato il II teorema di Euclide p p 4x x ( x + 3) ce diventa 3x 3x 0 e a soluzione x o x0 (non accettabile) Le altre misure si trovano sostituendo ad x nelle espressioni il valore trovato. Per i cateti si ottiene c c 4) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale un cateto è doppio dell altro e la differenza tra le proiezioni è 3 x la proiezione minore, con le relazioni date nel problema, si possono esprime in funzione di x l altra proiezione, l ipotenusa ed i due cateti (per questi si utilizza il I teorema di Euclide).

6 Dovendo essere c c allora x deve soddisfare l equazione ( x + 3 )( x + 3) x ( x + 3) Elevando al quadrato per eliminare le radici si ottiene ( x + 3 )( x + 3) 4x ( x + 3) Il fattore ( + 3) x compare in entrambi i membri e può essere semplificato, in quanto è diverso da 0 percé x non può essere negativo. Si ottiene quindi x 3 4x + ce dà x. Le altre misure si trovano sostituendo ad x nelle espressioni il valore trovato. Per l altezza si trova il valore. ) Risolvere un triangolo rettangolo nel quale una proiezione è tripla dell altra ed il perimetro misura x la proiezione minore, si possono esprime in funzione di x l altra proiezione, l ipotenusa ed i due cateti (per questi si utilizza il I teorema di Euclide). Dovendo essere i + c + c 6 + allora x deve soddisfare l equazione 3 ( 6 + 3) x + x + 3x x + ce dà x. Le altre misure si trovano sostituendo ad x nell espressione il valore trovato. Per l altezza si trova il valore 3 6