Potenziale vettore F i s i c a s p e r i m e n t a l e C. d. l. C h i m i c a

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1 Potenziale vettore F i s i c a s p e r i m e n t a l e C. d. l. C h i m i c a I I

2 Per risolvere semplici problemi basta la legge di Ampere In generale occorrerà seguire la stessa linea usata nel caso elettrostatico Si era introdotto il potenziale elettrostatico, da cui, attraverso derivazioni, ricavare il campo elettrico Dovremo partire dalle: B = 0 B= J ε0c Una delle equazioni servirà per introdurre la funzione potenziale e l altra per valutare detta funzione una volta dato il sistema di correnti segue che: Da: B= A B = 0 Potenziale vettore

3 La scelta del potenziale non è unica Se ad A aggiungiamo il gradiente di uno scalare il rotore non cambia A = A + Φ A = A Quindi danno luogo allo stesso campo magnetico Abbiamo quindi un numero enorme di possibili funzioni tra loro equivalenti Come possiamo classificare le varie funzioni? Se hanno lo stesso rotore, non è detto che abbiano la stessa divergenza A = A + Φ = A + Φ

4 Ovviamente il potenziale vettore non è univocamente determinato Utilizzeremo detta situazione per scegliere funzioni che semplifichino i calcoli In genere, in magnetostatica questo significa scegliere funzioni tali che: A =0 Scelta di calibro Prima di tutto un esempio Quale sarà il potenziale vettore che da luogo ad un campo magnetico uniforme?

5 B = B0 k Az Ay = 0 y z By = Ax Az = 0 z x Bz = Ay Ax = B0 x y Bx = Le condizioni si A saranno: Cerchiamo delle soluzioni semplici Az Ay = 0 y z By = Ax Az = 0 z x Bx = se: Az =0, Ax ed Ay non dipendono da z Per semplificare al massimo si potrebbe prendere: Ax =0

6 Ottenendo: E quindi: Bz = Ay Ax = B0 = Ay x y x Ay = B0 x Riassumendo, una possibile scelta è: A = 0, B0 x, 0 Se avessimo scelto: Ay =0 Avremmo ottenuto: Bz = Ay Ax = B0 = Ax x y y Da cui: A = B0 y, 0, 0

7 Evidentemente una qualunque combinazione lineare, normalizzata ad, delle due soluzioni andrà ugualmente bene. Quella più immediata è: B0 A= y, x, 0 Come si vede si hanno infinite possibili scelte e tutte danno luogo allo stesso campo magnetico Si vede inoltre che: A = 0, B0 x, 0 A = B0 y, 0, 0 B0 A= y, x, 0 sono tutti a divergenza nulla

8 B0 A= y, x, 0 Disegniamo le linee di: sono circonferenze parallele al piano xy Z Lungo la circonferenza il modulo del potenziale è costante! Y B0 B0 A = y +x = r sin θ X In generale varrà pure la: A dl = Γ quindi: A dl = ΦS B Γ S A n ds = B n ds S

9 Conosciuto il potenziale vettore, tramite l operazione rotore si determina il campo magnetico. Come determinare il potenziale vettore? B= J ε0c Dalla: Avremo: c B=c A = J ε0 dato che: Si perviene a: A = A A c A A = J ε0

10 Si vede subito il vantaggio di scegliere potenziali a divergenza nulla c A= J ε0 In tal caso infatti: Notiamo come questa equazione sia formalmente identica all equazione di Laplace trovata in elettrostatica φ= ρ ε0 Ne consegue che pure le sue soluzioni saranno simili a quelle dell equazione di Laplace Se in elettrostatica: Avremo: φ= 4πε 0 ρ V r dv J A= dv 4πε 0 c V r

11 Esplicitando, componente per componente: Ax = 4πε 0 c Jx V r dv Ay = 4πε 0 c V Jy r dv Az = 4πε 0 c L analogia formale si può esprimere dicendo: La componente ima del potenziale vettore è numericamente uguale al valore del potenziale elettrostatico dovuto ad una Ji densità di carica di valore pari a: ρ = c Jz V r dv

12 Nel caso di conduttori percorsi da corrente: i dl i J= = dl S dl dv A= J dv = 4πε 0 c V r 4πε 0 c i dl dv = dv r 4πε 0 c V Se avessimo tanti circuiti percorsi da corrente: A= i dlk k 4πε 0 c k Γ k rk Γ i dl r

13 Filo infinito percorso da corrente scegliendo l asse z in direzione della corrente: A r = 0, 0, Az r RL Az r = + dl i 4πε 0 c r l DL R Siamo, formalmente, nella stessa situazione di quando si voleva valutare il potenziale di un filo uniformemente carico

14 Φr = + Az r = dl λ 4πε 0 r l + dl i 4πε 0 c r l per cui, da: Φr = si ha: λ {ln ln d } λ ln d πε 0 πε 0 Az r = i ln d = i ln πε 0 c πε 0 c distanza dal filo Per il campo magnetico: x + y

15 Bx = daz i = dy πε 0 c x + y x + y y = i i y y = πε 0 c x + y πε 0 c d daz i x By = = dx πε 0 c d Bz = 0 Z B = i πε 0 c d " Y X come si era trovato

16 Un importante e semplice esempio Dipolo magnetico Il problema è quello di trovare il campo magnetico prodotto da un circuito a grande distanza da esso Consideriamo una piccola spira rettangolare R A J A= dv 4πε 0 c V r B I I

17 Az = 0 Jz = 0 Ax = 4πε 0 c Jx V r dv R R correnti dirette lungo x si hanno solo su due lati della spira Ax r = dl dl i 4πε 0 c Γ + r+ Γ r R A B I I

18 Si tratta della stessa espressione che si trova nel caso di valutazione del potenziale elettrostatico dovuto a due sbarrette cariche di segno opposto Φr = dl dl ρ+ S 4πε 0 Γ + r+ Γ r R R B R R A R che, a grande distanza, è approssimativamente dato da: p er Φr = 4πε 0 r con p = ρ+ S ab j

19 Quindi: Φr = dl dl ρ+ S 4πε 0 Γ + r+ Γ r ρ+ S ab j er Φr = 4πε 0 r dl dl Ax r = i 4πε 0 c Γ + r+ Γ r i ab j er Ax r = 4πε 0 c r Analogamente: i ab i er Ay r = 4πε 0 c r Le linee di A sono circonferenze giacenti in piano paralleli al piano xy che è il piano della spira

20 area della spira µ = i ab Sostituzione fisica: normale al piano della spira, valutata secondo la regola della mano destra momento dipolare magnetico se diamo al momento dipolare carattere vettoriale: A= µ = i ab n µ µ r y i + x j = 4πε 0 c r 3 4πε 0 c r 3 Per il campo magnetico: day B= A daz day d 3 Bx = = = µ xr dz dy dz 4πε 0 c dz

21 Bx = d 3 4 d µ xr = µ x 3r 4πε 0 c dz 4πε 0 c dz Bx = 3 x + y + z 3xz 4 µ xr r z = µ 4πε 0 c 4πε 0 c r 5 Analogamente: 3yz By = µ 5 4πε 0 c r 3z r Bz = µ 4πε 0 c r5 Nota: sono le stesse espressioni del campo elettrico di un dipolo elettrico Unica differenza: µ p c

22 Una spira percorsa da corrente non solo genera un campo magnetico,ma se posta in un campo magnetico esterno, è soggetta a forze ed a momenti di forza N Q " & & da: F = i dl B Q segue subito per il momento di forza: τ =µ B in perfetta analogia con il momento di forza agente su di un dipolo elettrico

23 Energia di un dipolo magnetico posto in un campo magnetico Lavoro che occorre fare per portare la spira in posizione partendo da una situazione prefissata: Posizione iniziale: Spira all infinito, ove il campo magnetico è nullo Z Posizione finale: Spira in un campo uniforme di valore B0, con la normale formante un angolo θ con il campo magnetico " Q N Y X

24 Supponiamo di procedere come segue: mantenendo la spira all infinito, orientiamola in modo che la sua normale sia parallela al campo esistente nella posizione finale,e con due suoi lati nella direzione del punto finale trasciniamola nella posizione finale 3 una volta in posizione, ruotiamola nel modo desiderato Il lavoro totale sarà la somma dei lavori eseguiti nelle tre fasi Nella prima non si compie lavoro

25 nella seconda compiremo lavoro, in quanto il campo non sarà nullo nella regione attraversata Z N & X & X Y X V Dato che lo spostamento avviene lungo l asse della x al lavoro contribuiranno solo le componenti x delle forze Dette componenti si avranno solo sui tratti della spira diretti come y F = i dl B Esse saranno legate solo alla componente z del campo locale

26 Z N & X & X Fx = i a Bz Y X V La forza da noi esercitata è uguale ed opposta, per cui: dl = i a Bz x Bz x b dx x finale L = i a B x B x b dx z z x finale x finale L = i a Bz x dx Bz x b dx x finale b x finale x finale L = i a Bz x dx Bz x dx = i a Bz x dx x finale b L = i a bb0 = µ B0

27 Terza fase: orientazione nel campo dl = τ dθ θ finale L= τ dθ = 0 ove θ finale τ =µ B Z " µ B dθ M T 0 DQ θ finale L = µ B0 0 sin θ dθ = µ B0 cos θ finale Sommando quindi tutti i contributi: = µ B + µ B0 L = µ B come nel caso del dipolo elettrico Y X

28 Sembrerebbe quindi di poter concludere, in analogia con il caso elettrostatico: U = µ B Questa conclusione è errata, e va capito il motivo! Infatti: Una caratteristica della forza di Lorentz è quella di non compiere lavoro La forza agente su di un filo uguaglia la somma delle forze di Lorentz agenti sui portatori interni al filo Se quanto sopra è vero, come è possibile aver ottenuto un valore finito per il lavoro appena calcolato?

29 L errore commesso consiste nell aver supposto costante il valore della corrente durante tutto il trasferimento della spira La corrente non poteva restare invariata " V M V A causa della velocità di rotazione, sui portatori posti nel tratto verticale agisce una forza uscente, che tende quindi ad aumentare la velocità di deriva A causa della velocità di rotazione, sui portatori posti nel tratto verticale agisce una forza entrante, che tende quindi ad aumentare la velocità di deriva

30 Cosa accade? qv B La forza agente su ciascun portatore è: Forza applicata dall esterno: La potenza applicata sarà: Come si vede : qv B W = q v v B W = q v v B = 0 Ora la velocità del portatore origina da due fatti: la velocità di deriva lungo il filo il filo si muove

31 v = vd + v f W = q vd + v f vd + v f B = 0 sviluppando: W = q vd v f B q v f vd B = 0 Cosa rappresenta il secondo termine, una volta sommato su tutte le particelle in moto? q v v B = v f d f qvd B = v f i dl B Esso è il termine usato nel calcolo

32 Il calcolo è errato in quanto è stato omesso il primo Cosa rappresenta q vd v f B? Esso è finito se la forza qv f B ha componente lungo il filo Se questo accade essa farà variare la velocità di deriva e quindi la corrente Agendo dall esterno del filo, non avremmo mai modo di poterci opporre a tale forza, e quindi non potremmo mai esercitare sui portatori di carica una forza uguale e contraria a quella di Lorentz

33 Per mantenere costante la corrente, è quindi necessario inserire nel circuito un apparato in grado di scambiare energia con i portatori. Esso dovrà estrarre energia quando questa tenda ad aumentare e fornirne qualora tenda a diminuire. Un tale apparato prende il nome di generatore di corrente La somma dei lavori fatti dal generatore e da chi sposta il circuito è nulla, non i lavori che separatamente i due soggetti compiono

34 Lavoro meccanico Lm = µ B Lavoro generatore Lg = + µ B Dovremmo concludere che la variazione di energia del sistema è nulla? No! in quanto vi è una ulteriore grandezza che abbiamo erroneamente supposto costante a prescindere da opportuni interventi Essa è il campo magnetico esterno

35 Il campo sarà infatti generato da circuiti elettrici. I portatori di carica presenti in essi subiscono delle forze a causa dell avvicinarsi della spira. Un secondo generatore di corrente è quindi necessario per mantenere costante il campo Avremo quindi: U = Ltot = Lspira + Lg.B = Lm + Lg + Lg.B Se, invece di spostare la spira verso il generatore di campo magnetico, avessimo spostato il generatore di campo verso la spira avremmo avuto:

36 U = Ltot = Lspira + Lg.B = Lg + Lm + Lg.B Da cui si vede come Lg.B = Lm Si ricava quindi: U = Lm + Lg + Lg.B = 0 + Lg.B Concludendo: U = +µ B Che significato dare a = Lm = + µ B rappresenta l energia del sistema µ B? Rappresenta il solo lavoro meccanico Rappresenta l intera energia quando vi siano motivi fisici che impediscano ai momenti di dipolo magnetico di cambiare