Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale. Colpo d ariete e cassa d aria Esercitazioni

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1 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Colpo d ariete e cassa d aria Esercitazioni Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 31/03/ /04/2014

2 COLPO D ARIETE Nel caso in cui si chiuda istantaneamente l otturatore, per l inerzia della massa fluida e per l elasticità del liquido e della condotta, non si arresta subito tutta la colonna liquida (il moto vario non è di tipo anelastico), ma essa è soggetta a rapidissime oscillazioni di tipo elastico. La colonna liquida si comprime e si accorcia, si dilata e si allunga. L onda di pressione suscitatasi alla chiusura dell otturatore migra lungo la colonna liquida riflettendosi all imbocco, dove la pressione è sempre quella dovuta alla posizione del pelo libero nel serbatoio, cambiando di segno all otturatore nell ulteriore ipotesi che ivi non si possa avere cavitazione marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

3 COLPO D ARIETE Lo studio dei fenomeni di moto vario elastico, caratterizzati da variazioni forti e rapide (o addirittura istantanee) della velocità e della pressione, rende necessario tenere conto, durante il transitorio, dell influenza che esercitano la comprimibilità del liquido e la deformabilità elastica della condotta h s + V g V s + 1 g V t + λ D V V 2g = 0 (ρa) V ρ A p + A ρ p p + (ρq) = 0 s + ρ A V s + ρ A p + A ρ t s p p t = 0 Equazione del moto Equazione di continuità La densità del liquido e l area della sezione dipendono da s e da t per tramite della pressione. La velocità V e la pressione P sono funzione dell ascissa s e del tempo t. Dovendosi considerare il liquido comprimibile e la condotta deformabile è necessario definirne i comportamenti elastici, ossia le relazioni ρ(p) e A(P), che rappresentano le leggi di variabilità della densità del liquido e della sezione trasversale della condotta marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

4 COLPO D ARIETE h s + V g V s + 1 g V ρ A p + A ρ p V t + λ D V V 2g = 0 p s + ρ A V s + ρ A p + A ρ p p t = 0 Equazione del moto Equazione di continuità Comprimibilità del liquido Se il fluido è comprimibile ad un incremento di pressione dp corrisponderà una diminuzione di volume dw data da: dw = W ε dp Modulo di elasticità a compressione cubica Per il principio di conservazione della massa si ha che M=cost dm=0.. M=ρW. d(ρw)=0 ρdw+wdρ=0 dw = W ρ dρ dρ ρ = dp ε dρ dp = ρ ε 5 10 marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

5 COLPO D ARIETE h s + V g V s + 1 g V ρ A p + A ρ p V t + λ D V V 2g = 0 p s + ρ A V s + ρ A p + A ρ p p t = 0 Equazione del moto Equazione di continuità Deformabilità della condotta Limitandosi al caso di condotta circolare di spessore e molto piccolo rispetto ad diametro D (tubo sottile): Formula di Mariotte σ = p D 2 e dσ = dp D 2 e Deformazioni in campo elastico (legge di Hooke): dd D = dσ E = dp D 2 e E A D 2 da A = 2 dd D 6 10 marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa da dp = A D e E Modulo di elasticità lineare della condotta

6 COLPO D ARIETE h s + V g V s + 1 g V ρ A p + A ρ p V t + λ D V V 2g = 0 p s + ρ A V s + ρ A p + A ρ p p t = 0 Equazione del moto Equazione di continuità V ρ A D e E + A ρ ε ρ A p + A ρ p = ρ A D e E + A ρ ε p s + ρ A V s + ρ A D e E + A ρ ε p t = 0 a = ε ρ 1+ εd e E γα a 2 h s + sen(β) γα h a 2 t h t = 1 P γ t h s = 1 P γ s + z s V h s + a2 g V s + h t + V sen(β) = marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

7 COLPO D ARIETE h s + V g V s + 1 g V t + λ D V V 2g = 0 V h s + a2 V g s + h t + V sen(β) = 0 Equazione del moto Equazione di continuità Il sistema può essere risolto alle differenze finite per determinare le incognite V(s,t) e h(s,t). Generalmente si preferisce operare su un altro sistema di equazioni ad esso equivalente che sfrutta le proprietà di alcune curve nel piano cartesiano delle variabili s e t, dette curve caratteristiche Moltiplicando l equazione del moto per a e sommando membro a membro h t h + (V+a) s + a V V g + (V+a) t s + V sen(β) + a J = 0 Assumendo che il termine (V + a) sia uguale alla derivata di s rispetto a t dh dt + a dv g dt + V sen(β) + a J = marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

8 COLPO D ARIETE Il problema del moto vario è stato ricondotto alla soluzione delle due equazioni differenziali ordinarie: dh dt ± a dv g dt + V sen(β) ± a J = 0 Equazioni di compatibilità Che risultano valide per valori si s e di t legati dalle condizioni: ds dt = V ± c Curve caratteristiche Condizioni iniziali e condizioni al contorno 9 10 marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

9 COLPO D ARIETE In termini di differenziali totali: dh ± a g dv + V sen(β) dt ± a J dt = 0 h t+1 i h t+1 i h t + a t+1 i-1 g (V V t ) + (V t sen(β) + a J t ) t = 0 i i-1 i-1 i-1 h t a i+1 t+1 t g (V V ) + (V t sen(β) i i+1 i+1 a J t ) t = 0 i+1 Generico nodo interno: h t i-1 + h t i+1 = 2 h t+1 i V t+1 i V t+1 = - g 2a ( h t + h t i+1 i-1) = g 1 a ( h t+1-1 ) ht 2-2g( a V t - V t ) - i+1 i-1 + Nodo di monte (serbatoio): h t+1 1 = h0 1 V t i-1 + V t i-1 2 V t + V t i-1 i+1 2-2a( g V t - V t i-1 i+1) + V t + g 2 a( V t sen(β) - a 2 ) Jt 2 sen(β) t - a 2 ( J t - J t ) i-1 i+1 t t sen(β) t - g 2 ( J t - J t i-1 i+1) t marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

10 Nodo di valle (otturatore): t > Tc V t+1 N+1 = 0 h t+1 N+1 = h t N + a g V t N - V t N sen(β) t - a J t N COLPO D ARIETE t < Tc (nel caso di manovra di chiusura non istantanea) Schematizzando l ugello come una luce a battente di area variabile si può esprimere la portata defluente, istante per istante, nella forma valida in condizioni di moto permanente ottenendo un vincolo tra velocità e carico piezometrico. t+1 Σ = μ N+1 A V t+1 h t+1 i h 2g h N+1 v h t+1 η = Tc-t t+1 V N+1 0 = η Tc V N+1 Quota piezometrica nel baricentro della sezione contratta t a i+1 t+1 t g (V V i i+1 ) + (V t i+1 sen(β) a J t i+1 ) t = 0 h t+1 N+1 h v h 0 N+1 h v 1 2g C 2 c η(t) 2 V t+1 N+1 V t+1 N+1 + a g V t+1 -- a g V t N - h t N + V t N sen(β) t + a J t N t = 0 h t+1 N+1 = 1 2g C 2 c η(t) 2 V t+1 N+1 V t+1 N marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

11 COLPO D ARIETE Considereremo una condotta semplice alimentata da un serbatoio a quota piezometrica costante. Immediatamente prima dello sbocco è inserita una valvola di regolazione della portata. Il dislivello tra il serbatoio di alimentazione e quello di valle è pari a 100 m, mentre la condotta da diametro D=0.6 m, lunghezza L=15000 m, spessore s=0.004m, scabrezza assoluta ε=0.002 m, modulo di elasticità E= N/m 2. Manovra di chiusura totale istantanea della valvola Tc = 0. All istante iniziale la quota piezometrica raggiunge il valore 155.5, di poco superiore al termine cv 0 /g = 153 m. Nel successivo intervallo si ha una crescita lineare della quota piezometrica, che raggiunge il valore di 243 m. Successivamente la quota piezometrica subisce una repentina riduzione, raggiungendo il valore di 64.7 m (si determina una depressione di valore prossimo a quello della sovrapressione), continuando poi a scendere nel successivo intervallo fino a raggiungere il valore m. Il fenomeno poi continua a svilupparsi in modo oscillatorio, con uno smorzamento dovuto alle perdite di carico marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione Colpo d ariete

12 COLPO D ARIETE Considereremo una condotta semplice alimentata da un serbatoio a quota piezometrica costante. Immediatamente prima dello sbocco è inserita una valvola di regolazione della portata. Il dislivello tra il serbatoio di alimentazione e la quota geodetica della sezione di sbocco è pari a 100 m, mentre la condotta da diametro D=0.6 m, lunghezza L=15000 m, spessore s=0.004m, scabrezza assoluta ε=0.002 m, modulo di elasticità E= N/m 2. Manovra di chiusura totale lenta della valvola Tc = 5 L/c. La massima quota piezometrica viene raggiunta al termine della manovra di chiusura e la massima sovrapressione risulta inferiore a quella verificatasi nella manovra istantanea. La sovrapressione di colpo d ariete fornita dalla formula di Allievi-Michaud risulta pari a h = 2L/gTV 0 = 31 m, cui corrispondono valori massimi della quota piezometrica di 131, alquanto diversi da quelli ottenuti con il metodo delle caratteristiche marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione Colpo d ariete

13 COLPO D ARIETE marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione Colpo d ariete

14 COLPO D ARIETE marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

15 COLPO D ARIETE marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

16 L g Equazione differenziale del moto dv dt Δ + λ L 2 g D + β V V = 0 CASSA D ARIA Equazione di continuità (la variazione nell unità di tempo del volume d aria contenuto nella cassa d aria è pari al volume che attraversa una qualunque sezione della condotta nell unità di tempo) Dislivello piezometrico tra la sezione iniziale della condotta di mandata all attacco della cassa d aria e quella allo sbocco nel serbatoio di valle Perdite di carico indotte dalla presenza di una strozzatura nel tratto di collegamento tra la cassa d aria e la condotta dw dt = V A Equazione di stato (trascurando la differenza di pressione tra l aria contenuta nella cassa e l acqua alla base della stessa) W = Ws Volume d aria in condizioni idrostatiche Y s Y s + Δ 1/n Altezza piezometrica assoluta alla base della cassa al termine del transitorio quando si raggiunge la condizione idrostatica marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

17 CASSA D ARIA Nel caso in cui la cassa d aria sia munita di strozzatura nel tronchetto di collegamento con la condotta, dovrà distinguersi tra la pressione all interno della cassa d aria e quella in condotta (la differenza tra i due valori è pari alla perdita di carico localizzata indotta dalla strozzatura che interviene soltanto in sede di moto vario). Le perdite di carico hanno un effetto positivo sul fenomeno di smorzamento delle oscillazioni di massa, ragion per cui viene inserire la strozzatura. All istante t = 0 l intera portata Q 0 defluisce dalla cassa d aria attraverso la strozzatura e la perdita di carico nella strozzatura vale βq 0 2. Il livello nella cassa d aria non ha ancora mutato la sua posizione 0 mentre il carico in condotta (immediatamente a valle della strozzatura) assume il valore 0 βq 0 2. Se la strozzatura è piccola può risultare 0 βq 0 2 < min In questo caso la galleria è sottoposta ad una depressione inferiore in modulo a quella corrispondente al minimo livello registrabile nella cassa d aria. Affinché l altezza piezometrica nella sezione della condotta collegata con la cassa d aria non risulti inferiore a quello che si sarebbe avuto in assenza di strozzatura (nel qual caso la strozzatura non avrebbe un effetto positivo ma negativo sul sistema dovrà essere: Λ0 Δ0 + Δmin La STROZZATURA OTTIMA determina il più veloce smorzamento del fenomeno compatibile con il mantenimento della stessa depressione massima (in valore assoluto) che si sarebbe raggiunta, in condotta, in assenza di strozzatura A parità di volume della cassa d aria e di massima depressione in condotta, l inserimento di una strozzatura determina una riduzione della massima sovrapressione, mentre per fissata sovrapressione massima la presenza di una strozzatura permette di ridurre il volume della cassa d aria marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

18 L g dv dt Δ + λ L 2 g D + β V V = 0 dw dt = V A Y s W = Ws Y s + Δ 1/n CASSA D ARIA Discretizzazione esplicita alle differenze finite W r W r 1 Δt = V r 1 A W r = Ws Ys 1/n Ys + Δ r L g V r V r 1 Δt Δ r + λ D V r 1 V r 1 2g L = 0 Condizioni iniziali Δ0 = J0 L W 0 = Ws Ys 1/n Ys + Δ marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

19 CASSA D ARIA - Progetto Ai fini del dimensionamento della cassa d aria a valle di un impianto di sollevamento si procede fissando il massimo salto di pressione ammissibile tra la fase di esercizio e la minima pressione registrabile durante il moto vario, in altri termini si fissa min. Il massimo salto di pressione ammissibile si assume generalmente pari al 50% della pressione nominale della condotta, che per l acciaio è pari a 20 atm. Nell applicare tale criterio di dimensionamento della cassa d aria bisogna tuttavia rispettare opportuni limiti riguardanti la minima pressione tollerabile in condotta, la quale è opportuno che non scenda mai al di sotto di 1 atm. Il più restrittivo tra i due criteri permette di definire min. Strozzatura ottima D= 0.3 m; l = 1000 m; ε = 0.001; Hs = m Q = 0.10 m 3 /s λ = 0.027; J = ; Δ0 = J l = 9.16 m; h0 = Δ 0 /Hs = Pmin = 1 atm zmin = 1 ΔP/(γ Ηs) = 0.43 σ = 0.4 = AL V0 2 YsWs 2g Wmax = Ws 1 Hs 1.41 = (Hs zmin ) Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

20 CASSA D ARIA - Progetto Ai fini del dimensionamento della cassa d aria a valle di un impianto di sollevamento si procede fissando il massimo salto di pressione ammissibile tra la fase di esercizio e la minima pressione registrabile durante il moto vario, in altri termini si fissa min. Il massimo salto di pressione ammissibile si assume generalmente pari al 50% della pressione nominale della condotta, che per l acciaio è pari a 20 atm. Nell applicare tale criterio di dimensionamento della cassa d aria bisogna tuttavia rispettare opportuni limiti riguardanti la minima pressione tollerabile in condotta, la quale è opportuno che non scenda mai al di sotto di 1 atm. Il più restrittivo tra i due criteri permette di definire min. Senza strozzatura D= 0.3 m; l = 1000 m; ε = 0.001; Hs = m Q = 0.10 m 3 /s λ = 0.027; J = ; Δ0 = J l = 9.16 m; h0 = Δ 0 /Hs = Pmin = 1 atm zmin = 1 ΔP/(γ Ηs) = 0.43 σ = 0.25 = AL V0 2 YsWs 2g Wmax = Ws Hs 1.41 = (Hs zmin ) marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

21 CASSA D ARIA - Verifica Senza strozzatura W = 1.42 m 3 Strozzatura ottima W = 0.76 m marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

22 CASSA D ARIA - Verifica Senza strozzatura W = 1.42 m 3 Strozzatura ottima W = 0.76 m 3 Variazione temporale del dislivello piezometrico tra la cassa d aria e il serbatoio di valle marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

23 CASSA D ARIA - Verifica marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

24 CASSA D ARIA - Verifica 10 marzo 2014

25 CASSA D ARIA - Verifica 10 marzo 2014

26 CASSA D ARIA - Verifica 10 marzo 2014

27 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 26/03/2014