Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale

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1 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Colpo d ariete Metodo delle caratteristiche Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 19/03/2014

2 Il metodo delle caratteristiche s " #$ z + p g + V2 2g % &' + 1 g H = h + V2 2g h s + V g s + 1 g Equazione del moto t + λ D h = z + p γ t + λ D V V 2g = 0 V V 2g = 0 Analizziamo l equazione del moto. sia: con L equazione del moto diventa Equazione di continuità " % V # $ ρ A D " e E + A ρ ε% &' p s + ρ A s + " #$ ρ A D e E + A ρ ε% &' Analizziamo l equazione di continuità. sia: ρ A D e E + A ρ ε = A c 2 L equazione di continuità diventa V h s + c2 g s + h t = 0 p t = 0 Sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che consentiranno di determinare le incognite V(s,t) e h(s,t) con un procedimento di integrazione numerica alle differenze finite 3 10 marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

3 Il metodo delle caratteristiche Le due equazioni dovranno però essere trasformate in equazioni differenziali ordinarie alle derivate totali h s + V g s + 1 g t + λ D V V 2g = 0 V h s + c2 g s + h t = 0 Moltiplichiamo l equazione per g g h s + V s + t + g λ D V V 2g = 0 Sommando prima e sottraendo poi, membro a membro, le due relazioni precedenti, si ottengono quindi le due equazioni Moltiplichiamo l equazione per g/c g c V h s + c s + g h c t = 0 ( g ± g c V ) h s + ( V ± c ) s + t ± g c h t + g J = marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

4 poniamo COLPO D ARIETE Il metodo delle caratteristiche ( g ± g c V ) h s + ( V ± c ) s + t ± g c [(V ± c) s + t ] ± g c riordinando (V ± c) ds dt = V ± c s + t = ds dt s + t = dv dt (V ± c) h s + h t = ds h dt s + h t = dh dt h t + g J = 0 [(V ± c) h s + h t ] + g J = 0 dv dt ± g c dh dt + g J = marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa Sistema di due equazioni in due incognite alle derivate totali per il calcolo di V e h nel tempo t

5 I fenomeni di moto vario elastico (questo aggettivo si riferisce sia al liquido che alla condotta) vengono chiamati fenomeni di colpo d ariete ( water hammer in inglese). Si ribadisce che tali fenomeni vengono studiati tenendo conto della influenza che esercitano la comprimibilità del liquido e la deformabilità elastica della condotta Equazione del moto Formula di Mariotte σ = p D 2 e dσ = dp D 2 e 6 10 marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa dρ dp = ρ ε Equazione di continuità Ipotizzando valido il campo di Hooke, deformazioni in campo elastico si ha che: dd D = dσ E = dp D 2 e E da A = 2 dd D da A = dp D e E da dp = A D e E E: Modulo di Young

6 Equazione del moto Equazione di continuità sostituendo dρ dp = ρ ε da dp = A D e E V " # ρ A D! e E + A ρ ε$ %& p s + ρ A s +! "# ρ A D e E + A ρ ε $ %& p t = 0! 7 10 marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

7 Ipotesi semplificative Equazione di continuità V g << z + p = h γ h s = 1 g t + λ D V V 2g ρ s 2. << A s 3. << ρ t A t V " # ρ A D! e E + A ρ ε$ %& p s + ρ A s +! "# ρ A D e E + A ρ ε$ %& Divido tutto per ρa e considerando P=γh p t = 0 Celerità c! s = γ # $% D e E + 1 ε& '( h t s ##=#γ# # $% D e#e #+#1 #ε& '( # h t #=#ρ g# # $% D e#e #+#1 #ε& '( # h t #= g# # $% ρd e#e #+#ρ #ε& '( # h t # 8 10 marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

8 c = 1 ρd e E + ρ ε = ε ρ 1+ εd e E COLPO D ARIETE Il termine c, avente le dimensioni di una velocità, costituisce la celerità con cui si propagano le perturbazioni in un fluido comprimibile contenuto entro una condotta deformabile in regime elastico Equazione di continuità s ##=#γ# # $% D e#e #+#1 #ε& '( # h t #=#ρ g# # $% D e#e #+#1 #ε& '( # h t #= g# # $% ρd e#e #+#ρ #ε& '( # h t # s = g h c 2 t Equazione di continuità h s = 1 g t + λ D V V 2g Equazione del moto! 9 10 marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

9 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 dove la c celerità con cui si propagano le due onde di velocità e di pressione, che chiameremo perturbazioni c = ds dt c = 1 ρd e E + ρ ε = ε ρ 1+ εd e E Δp causa un accorciamento del tronchetto e una dilatazione della condotta Definiamo ritmo della condotta il t e m p o c h e i m p i e g a t o d a l l a perturbazione a percorrere l intera condotta, dall otturatore all imbocco, e tornare indietro dall imbocco all otturatore, percorrendo quindi in totale la distanza 2 L!! τ 0 = 2L c marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

10 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=s/c Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =s/c molto piccolo, la perturbazione ha raggiunto la sezione s. 1. Il tratto di condotta tra I e S è in moto in condizioni di regime 2. Il tratto tra S e O è a velocità = 0 e Δp = ρ c V 0 3. In assenza di perdite di carico! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

11 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=l/c Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =L/c, la perturbazione ha raggiunto la sezione I. 1. Il tratto di condotta tra I e O è fermo V=0 2. Il tratto tra I e O è ha pressione Δp = ρ c V 0 3. In I la condizione al contorno è sbilanciata con gradiente piezometrico positivo verso il serbatoio 4. Si innesca il moto verso il serbatoio! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

12 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=l/c + dt Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =L/c+dt, si inverte il moto. 1. Il tratto di condotta tra I e S è in moto con V = - V 0 2. Nel tratto tra I e S si annulla la pressione 3. Il tratto tra S e O è fermo V=0 e pressione Δp = ρ c V 0 4. La pressione va diminuendo!! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

13 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=l/c + 2*dt Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =L/c+dt, si inverte il moto. 1. Il tratto di condotta tra I e S è in moto con V = - V 0 2. Nel tratto tra I e S si annulla la pressione 3. Il tratto tra S e O è fermo V=0 e pressione Δp = ρ c V 0 4. La pressione va diminuendo!! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

14 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=2l/c Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo pari al ritmo della condotta si ha: 1. Il tratto di condotta tra I e O è tutta in moto con V = - V 0 2. Δp = marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

15 La massima sovrapressione negativa che si può generare in condotta è pari a: Δp = - ρ c V 0 Tempo t=2l/c + dt Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =2L/c + dt molto piccolo, la perturbazione ha raggiunto la sezione s. 1. Il tratto di condotta tra I e S è in moto con velocità di regime V 0 2. Il tratto tra S e O è a velocità = 0 e Δp = - ρ c V 0 3. Le particelle di fluido ferme nella sezione dell otturatore tendono ad andare verso I da cui depressione marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

16 La massima sovrapressione negativa che si può generare in condotta è pari a: Δp = - ρ c V 0 Tempo t=2l/c + 2*dt Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =2L/c+ s/c molto piccolo, la perturbazione ha raggiunto la sezione s. 1. Il tratto di condotta tra I e S è in moto con velocità di regime V 0 2. Il tratto tra S e O è a velocità = 0 e Δp = - ρ c V 0 3. Le particelle di fluido ferme nella sezione dell otturatore tendono ad andare verso I da cui depressione marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

17 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=3l/c Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =3L/c, la perturbazione ha raggiunto la sezione I. 1. Il tratto di condotta tra I e O è fermo V=0 2. Il tratto tra I e O è in depressione Δp = - ρ c V 0 3. In I la condizione al contorno è sbilanciata con gradiente piezometrico positivo verso l otturatore 4. Si innesca il moto verso l otturatore! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

18 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=3l/c + dt Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =3L/c+dt, si inverte il moto. 1. Il tratto di condotta tra I e S è in moto con V = + V 0 2. Nel tratto tra I e S si annulla la pressione 3. Il tratto tra S e O è fermo V=0 e depressione Δp = -ρ c V 0 4. La pressione va aumentando!! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

19 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=3l/c + 2*dt Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo Δt =3L/c+dt, si inverte il moto. 1. Il tratto di condotta tra I e S è in moto con V = - V 0 2. Nel tratto tra I e S si annulla la pressione 3. Il tratto tra S e O è fermo V=0 e pressione Δp = ρ c V 0 4. La pressione va diminuendo! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

20 La massima sovrapressione che si può generare in condotta è pari a: Δp = ρ c V 0 Tempo t=4l/c Per effetto di una chiusura istantanea della valvola all otturatore, dopo un tempo pari a due volte il ritmo della condotta si ha: 1. Il tratto di condotta tra I e O è tutta in moto con V = + V 0 2. Δp = 0! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

21 Analisi variazione pressione per effetto di un colpo d ariete Otturatore Sezione intermedia! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

22 Manovre di chiusura τ 0 = 2L c ritmo della condotta Manovra di chiusura istantanea T = 0 con T tempo di chiusura dell otturatore ΔP max = ρ c V 0 Manovra di brusca T < τ 0 con T tempo di chiusura dell otturatore ΔP max = ρ c V 0 Manovra di Lenta T > τ 0 con T tempo di chiusura dell otturatore formula di Allievi-Michaud ΔPmax = ρ2l T V 0 Legge V(t) di variazione della velocità all otturatore per una manovra di chiusura completa V(s0+L, t) = µ Σ(t) A 2g [h(s0+l; t) z(s0+l)] marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

23 Manovre di chiusura Manovra di chiusura istantanea Manovra di brusca Otturatore! marzo 2014 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

24 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 19/03/2014