di Enzo Zanghì pag 1 applichiamo il teorema di Pitagora e otteniamo:

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1 di Enzo Zanghì pag Distanza di due punti Pe deteminae la distanza ta i punti ( ; ) ( ; ) applichiamo il teoema di Pitagoa e otteniamo: = ( ) + ( ) Punto medio di un segmento M O M + Osseviamo che: M = OM = O+ M = + = + E in modo analogo si ha: M = Quindi: (**) + + M ; Equazione di una etta ulla etta passante pe I punti ( ; ) ( ; ) consideiamo il geneico punto P ( ; ) R T P L M N Pe il teoema di Talete possiamo scivee: MN : LM = P : ed anche: R : T = P : E, uguagliando i pimi membi: = = che è l'equazione della etta passante pe due punti. Da questa otteniamo:

2 di Enzo Zanghì pag ( )( ) + ( )( ) = 0 e poniamo = a e = b otteniamo: a + b a b = 0 Infine, posto a b = c si ha: dalla () deduciamo che una etta è appesentata da un'equazione lineae in due vaiabili E, vicevesa,ogni equazione lineae in due vaiabili è appesentata sul piano catesiano da una etta. Notiamo che un punto appatiene alla etta di equazione () se le sue coodinate soddisfano detta equazione, ovveo la endono una identità. asi paticolai a+ b+ c= 0 (). e a= 0; b 0; c c 0 si ha: = la etta è paallela all'asse b. e a 0; b= 0; c c 0 si ha: = la etta è paallela all'asse a 3. e a 0; b 0; c= 0 si ha a + b = 0 la etta passa pe l'oigine, infatti le coodinate di O (0;0) soddisfano l'equazione della etta. 4. e a 0; b= 0; c= 0 si ha = 0 che è l'equazione dell'asse (tutti i suoi punti hanno infatti ascissa nulla) 5. a= 0; b 0; c= 0 si ha = 0 che è l'equazione dell'asse (tutti i suoi punti hanno infatti odinata nulla) Equazione di una etta in foma esplicita a c a c Dividiamo la () pe b 0 e otteniamo: + + = 0 = b b b b a c Ponendo: m= e q = si ha = m+ q che è l'equazione ichiesta. b b Il coefficiente m si chiama coefficiente angolae (indica infatti l'inclinazione della etta ispetto al semiasse positivo delle ascisse); il numeo q si chiama odinata all'oigine (indica quanto stacca la etta sull'asse, infatti pe = 0 = q ) Dalla figua seguente possiamo ossevae che se la etta passa pe l'oigine QN Q P ( q = 0) = m quindi m = ed anche m = = PN Q P quindi, il coefficiente angolae della etta passante pe due punti dati si ottiene dal appoto ta la diffeenza delle loo odinate e la diffeenza delle loo ascisse. P Q N O H K

3 di Enzo Zanghì pag 3 Osseviamo, infine, che se = m > 0 la etta giace nel pimo e tezo quadante (ascissa e odinata sono concodi) se = m < 0 la etta giace nel pimo e tezo quadante (ascissa e odinata sono discodi). In paticolae, se = ( m= ) la etta è la bisettice del pimo e tezo quadante; se = ( m= ) la etta è la bisettice del secondo e quato quadante. ondizione di paallelismo e di pependicolaità ta due ette Date le ette di equazione: = m+ q; = m' + q ' Esse isultano paallele quando hanno la stessa inclinazione ispetto al semiasse positivo delle ascisse. Poiché tale inclinazione è dettata dal coefficiente angolae, possiamo affemae che esse sono paallele se m = m' O H ette pependicolai s Pe il secondo teoema di Euclide si ha: H : OH = OH : H ed essendo ( ; m) ( ; m ' ) si ha: m : = :( m' ) mm' = Quindi, due ette sono pependicolai quando il podotto dei loo coefficienti angolai è uguale a -, ovveo m = m'. ondizione di allineamento di te punti Pe veificae se te punti P(, ); P(, ); P3( 3, 3) sono allineati sciviamo l'equazione della etta PP = e imponiamo l'appatenenza di P 3 a tale etta 3 3 = e l'uguaglianza è un'identità i te punti sono allineati. Retta passante pe un punto e paallela ad una etta data L'equazione del fascio di ette di cento ( 0; 0) si ottiene consideando una combinazione lineae delle equazioni 0 = 0 e 0 = 0 ossia λ ( 0) + µ ( 0) = 0 e, in paticolae, vogliamo l'equazione della etta del fascio che è paallela alla etta a s : a + b + c = 0 m = sciveemo: a( 0) + b( 0) = 0 0 = m( 0) b

4 di Enzo Zanghì pag 4 Distanza di un punto da una etta i dimosta che la distanza del punto P ( 0, 0) dalla etta : a + b + c = 0 è data da: d = a + b + c 0 0 a + b ea di un tiangolo del quale sono noti i vetici (, ); (, ); (, ) H Poiché la etta ha equazione = ( ) ( ) + = 0 ( ) ( ) + La sua distanza dal vetice è: H = Pe cui, ( ) + ( ) essendo = ( ) + ( ), si ha: = bh= ( ) ( ) + che equivale a: = Esecizio Del quadilateo D sono noti (, 3), D(, 4) e : + 4= 0. Deteminae: a) i punti e in modo che il quadilateo sia un ombo; b) l'aea, l'apotema ed il peimeto del ombo. M D Essendo m =, icaviamo l'equazione della etta passante pe D e pependicolae ad D = ( D ) = m : = + 4 Deteminiamo il punto M mediante il sistema: M (3,) D : = Poiché le coppie di punti, e D, devono essee simmetici ispetto ad M, mediante le (**) icaviamo:

5 di Enzo Zanghì pag 5 = (8,6) M D = M D e = (5, ) M = M 5 = = = 8 6 = 40 3 Poiché l'apotema a è la distanza di M dalla etta, icaviamo l'equazione di tale etta: : = = 0 lloa a = = p= 4 = 4 (8 ) + (6 3) = 4 58 oppue p = = 58 = a 0