4πε. h m. Eq. di Schrödinger per un atomo di idrogeno:

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "4πε. h m. Eq. di Schrödinger per un atomo di idrogeno:"

Carlotta Filippi
6 anni fa
Visualizzazioni

equazione è esattamente risolubile ed il

definita E n = m e 1 α 1 1 e mc n 4πε = = 0h

1 Eq. di Schrödinger per un atomo di idrogeno: h m e 1 ψ 4πε r 0 ( r) = Eψ ( r) Questa equazione è esattamente risolubile ed il risultato sono degli orbitali di energia definita E n = m e 1 α 1 1 e mc n 4πε = = 0h n n 4 πε 0 a0 Con 1 e 1 α = 4πε 0 hc 137 h 10 a0 = m me costante di struttura fine raggio di Bohr Orbitale tipo S tipo P tipo D tipo F

2 Grafichiamo gli orbitali in funzione dell energia: Pur non essendo una vera relazione di E t indeterminazione vale la relazione: Ne segue che la larghezza in energia dei livelli dipende dalla loro vita media. Più un livello è instabile meno è definita la sua energia. h E E 3 E 4 r E Grossolonamente si può pensare che in un atomo a molti elettroni gli elettroni occupino orbitali sempre più energetici in base al principio di esclusione Se, come in un solido prendiamo più atomi e li mettiamo vicini avremo una situazione di questo tipo: E 1

3 Le particelle quantistiche hanno la possibilità di passare attraverso le barriere di potenziale per effetto tunnel. La probabilità di tunneling è più alta quanto più bassa è l energia della barriera da attraversare e quanto più sottile è la barriera. Gli elettroni nei livelli energetici più altiu quindi hanno una probabilità più alta di saltare da un atomo all altro, l energia dei corrispondenti livelli energetici quindi diviene ancor meno definita e si formano delle bande energetiche. Elettroni nella penultima banda (banda di valenza) non sono in grado di passare da un atomo all altro. Solidi nei quali questo è l ultimo stato occupato si dicono isolanti. Elettroni nell ultima banda (banda di conduzione) possono invece passare da un atomo all altro. Solidi nei quali questo è l ultimo stato occupato si dicono conduttori.

4 Fino ad ora abbiamo ignorato il ruolo della temperatura. In presenza di temperatura finita dobbiamo considerare che la distribuzione degli elettroni negli stati energetici di un solido può cambiare. Dobbiamo infatti considerare la distribuzione energetica degli elettroni. Questa distribuzione non è più quella di Maxwell-Boltzmann ma una distribuzione che tenga conto del principio di esclusione e che prende il nome di Fermi-Dirac Maxwell-Boltzmann 1.0 Fermi-Dirac ( k a ) Gli elettroni occupano tutti i livelli disponibili fino all Energia di Fermi con una incertezza pari a k B T. a0 k F prende il nome di raggio di Fermi e dipende dalla densità di elettroni nel materiale. F 0 La differenza fra conduttori ed isolanti è quindi data dall energia di Fermi. Se è inferiore a quella della banda di conduzione il materiale è isolante al contrario è un conduttore. E F E F = e

5 Il meccanismo di conduzione viene quindi studiato considerando un gas di elettroni libero di muoversi all interno del reticolo. Tuttavia questi elettroni sono in presenza di un potenziale periodico e questo ha importanti conseguenze. In particolare si modifica la relazione di dispersione ovvero la relazione fra l energia e il momento. Qualitativamente la periodicità del potenziale si deve riflettere in una periodicità della relazione di dispersione E Si apre un gap di energia fra le bande K=1/d La massa della particella diviene quindi una massa efficace pari a k 1 = h Il risultato principale di questa analisi è che una banda completamente occupata non conduce. La conduzione è quindi affidata ad elettroni in bande non occupate o a lacune (cioè elettroni mancanti) in bande occupate 1 m* E k ( k)

6 In generale la massa efficace è un tensore e quindi la conduzione può essere anisotropa. Tenendo conto della relazione di dispersione si procede quindi a considerare il moto degli elettroni liberi o delle lacune in presenza di impurezze nel cristallo. Gli elettroni collidono con le impurezze e l effetto della collisione è di riportare il moto degli elettroni a quello termico. Naturalmente tutto il conto è fatto considerando la probabilità di collisione. Quello che si ottiene è quindi un tempo di termalizzazione τ F dipendente dall energia di Fermi. Il risultato finale è la formula per la conducibilità del modello classico (Drude) ma con la massa sostituita dalla massa efficace. nee τ F σ e = m* nhe τ F σ h = m* Questo modello ci permette anche di capire sia la conducibilità AC in funzione della frequenza. Ci saranno ovviamente nuovi fenomeni se la frequenza è tale che ω è dell ordine del band gap. Con il modello si capisce anche perché la conducibilità termica è proporzionale alla conducibilità elettrica. K π = 3 k B Tσ e NB Per capire a fondo i meccanismi di conduzione è necessario anche considerare le vibrazioni termiche del reticolo (fononi)

7 Se la band gap di un materiale non è troppo grande rispetto all energia termica k B T un aumento della temperatura porterà all apparire di elettroni (e lacune) disponibili per la conduzione. Questi materiali sono detti semiconduttori. In un isolante invece la temperatura necessaria per avere una frazione rilevante di elettroni di conduzione è superiore alla temperatura di fusione del materiale. Nel caso dei semiconduttori è possibile introdurre impurezze nel cristallo per aumentare il numero di elettroni (o lacune) di conduzione. Questa operazione si definisce drogaggio. Se il drogaggio porta all apparire di elettroni si definisce tipo n. Se il drogaggio porta all apparire di lacune si definisce tipo p. Materiali drogati diversamente mantengono all incirca la stessa struttura cristallina e quindi possono essere combinati per formare giunzioni fra materiali con diverso drogaggio p n p n p

8 L interpretazione di quanto avviene alla giunzione fra due materiali può essere fatta sia a partire dalla densità dei portatori di carica (elettroni o lacune) oppure considerando una diversa band gap nei diversi materiali. banda di conduzione banda di conduzione E F E F banda di valenza banda di valenza In presenza di un voltaggio applicato la densità dei portatori cambia ed il comportamento delle giunzione non è simmetrico (diodo). p n p Applicando un voltaggio nella zona intermedia si possono cambiare le caratteristiche di conduzione del dispositivo (transistor).

Documenti analoghi

Temperatura ed Energia Cinetica (1)

Temperatura ed Energia Cinetica (1) La temperatura di un corpo è legata alla energia cinetica media dei suoi componenti. Per un gas perfetto si ha: Ek = ½ me vm2 ; Ek = 3/2 kt ; k = costante di Boltzmann