RELAZIONI E FUNZIONI

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1 Esprimendo la legge di Hardy -Weinberg, abbiamo utilizzato la lettera p per esprimere la probabilità, in senso frequentista, dell allele A nella popolazione. Abbiamo quindi calcolato la probabilità del genotipo AA, ottenendo p 2, del genotipo Aa ottenendo 2p(1-p) ed infine del genotipo aa ottenendo (1-p) 2. Assegnando a p un qualunque valore compreso tra 0 ed 1, siamo in grado di calcolare le frequenze dei tre genotipi. Possiamo quindi dire che le frequenze genotipiche sono espresse in funzione di p e variano al variare di p.

2 Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B è una legge che associa a ciascun elemento di A uno ed un solo elemento di B. L insieme A è detto dominio, l insieme B è detto codominio. f: A B Se la funzione f associa ad a A l elemento b B scriveremo f(a)=b, diremo anche che b è immagine di a tramite f

3 Come variano al variare di p le frequenze genotipiche? Nel caso del genotipo AA, f(p)? f(p) = p 2 Se ad esempio p=0.6, f(0.6) = 0.36 Se p=0.4, f(0.4) = 0.16 Se f(a) = b, b è univocamente determinato da a, dipende da a. a è chiamato argomento della funzione

4 L insieme degli elementi di B che sono immagine tramite f di elementi di A è l immagine di f, e viene indicata come f(a) (oppure con Imf). Alcuni esempi di funzione: -La frequenza del genotipo AA in una popolazione di H- W. è una funzione che ha per dominio l intervallo [0,1], dove varia la frequenza dell allele A, e con codominio l insieme dei numeri reali.

5 -La concentrazione di glucosio nel sangue di un paziente è una funzione, con dominio l intervallo di tempo in cui viene effettuata la misura e con codominio l insieme dei numeri reali - La legge che associa a ciascuna persona il proprio gruppo sanguigno è una funzione che ha per dominio l insieme A di tutti gli esseri umani e per codominio l insieme {A, B, AB, 0} dei possibili gruppi sanguigni

6 Esempio di una legge che NON è una funzione: Se con A indichiamo l insieme di tutti gli esseri umani di sesso maschile viventi e con B l insieme di tutti gli esseri umani viventi e se scrivendo f(a) = b intendiamo dire che a è padre di b non stiamo esprimendo una funzione, in quanto esisterà qualche a A che non è padre di alcun figlio. Anche se da A escludessimo tutti i maschi che non sono ancora padre, non potremmo avere una funzione in quanto esisterà qualche a A che è padre di più di un figlio e quindi b, in generale, non è univocamente determinato.

7 f: A B Se A 1 A, l immagine di A 1 tramite f, f(a 1 ) B f(a 1 ) = {b B a A 1 f(a)=b} Se B 1 B, definiamo l insieme f -1 (B 1 ) A f -1 (B 1 ) = {a A f(a) B 1 } immagine inversa di B 1 tramite f Per ogni funzione f, f -1 (B)=A (perché?)

8 Useremo frequentemente funzioni definite su insiemi numerici ATTENZIONE! Non bisogna confondere il concetto di funzione con quello di equazione f(x) = b, corrisponde alla domanda esistono elementi a del dominio di f che abbiano immagine b? Ad esempio: esiste una frequenza dell allele A per cui, la frequenza del genotipo AA è 0.9? Questa domanda corrisponde a cercare soluzioni positive dell equazione p 2 = 0.9

9 f: A B RELAZIONI E FUNZIONI Diremo che la funzione f è surgettiva se f(a) = B In termini di equazioni, dire che f è surgettiva equivale (perché?) a dire che per ogni b B l equazione f(x)=b ha almeno una soluzione

10 f: A B Se ogni elemento del codominio B è immagine di al più un elemento del dominio A, vale a dire che se per ogni a 1 a 2 allora anche f(a 1 ) f(a 2 ), diremo che f è iniettiva In termini di equazioni, dire che f è iniettiva equivale (perché?) a dire che per ogni b B l equazione f(x)=b ha al massimo una soluzione Attenzione! Non confondere i concetti di funzione e di funzione iniettiva

11 f: A B RELAZIONI E FUNZIONI Se f è sia iniettiva che surgettiva diremo che f è bigettiva o biunivoca. In tal caso per ogni b B esiste un unico a A tale che f(a) = b, questo ci permette di definire la funzione inversa f -1 f -1 : B A, ponendo f -1 (b) = a, dove a A è quell unico elemento tale che f(a)=b Le funzioni bigettive sono dette anche invertibili

12 In termini di equazioni, dire che una funzione è invertibile equivale (perché?) a dire che per ogni b B l equazione f(x)=b ha una ed una sola soluzione Esempio1: f: R R così definita f(x) = 3x -1 è iniettiva? Se 3a 1-1 = 3a 2-1 allora anche a 1 =a 2, quindi f è iniettiva f è surgettiva? Per ogni b R si ha f((b+1)/3)=b, vale a dire che l elemento b del codominio è immagine dell elemento (b+1)/3 R del dominio, quindi f è surgettiva

13 Quindi f: R R così definita f(x) = 3x -1 è invertibile Si ha f -1 (x) = (x+1)/3 Esempio2: f: R R così definita f(x) = x f è iniettiva? No, ad esempio f(1)=f(-1)=3 Se il dominio fosse R + = [0, + )? In questo caso la restrizione di f al dominio R + risulterebbe iniettiva (perché?)

14 Esempio2: f: R R così definita f(x) = x f è surgettiva? No, ad esempio x = 0 non ha soluzione L immagine di f è la semiretta [2, + ) (perché?) La funzione f 1 : R [2, + ) risulta surgettiva La funzione f 2 : [0, + ) [2, + ) dove f 2 (x) = x risulta invertibile

15 Attenzione! Non confondere i concetti di funzione inversa e di immagine inversa. La funzione inversa f -1 associa ad ogni elemento del codominio di f un unico elemento del dominio di f ed esiste solo se f è biunivoca. L immagine inversa, invece, associa a un sottoinsieme del codominio un sottoinsieme del dominio (per cui NON è una funzione definita sul codominio) ed esiste sempre, anche quando f non è biunivoca.

16 Supponiamo di avere due funzioni f: A B, g: B C, dove il codominio di f coincide con il dominio di g definiamo una nuova funzione la funzione composta g ο f : A C, così definita per ogni a A g ο f (a) = g(f(a)) Esempio: Sia f la funzione che associa ad ogni cittadino italiano la propria città di residenza, sia g la funzione che associa ad ogni città italiana il C.A.P., g ο f è, dunque, la funzione che associa ad ogni cittadino italiano il C.A.P., della città dove risiede

17 In generale f: A B, g: C D, la funzione composta g ο f : A D, è ben definita definita quando l immagine di f è contenuta nel dominio di g f(a) C Esempio: f: R R tale che f(x) = x 2, sia g : R R tale che g(x) = 3x - 1, essendo f(r ) = [0, + ) R g ο f è ben definita, g ο f : R R, si ha g ο f(x) = g(f(x)) = 3x 2-1

18 Esempio: f: R R tale che f(x) = x 2, sia g : R R tale che g(x) = 3x - 1, è possibile, in questo caso, definire anche f ο g f ο g : R R, si ha f ο g(x) =f(g(x)) = (3x-1) 2 Esempio: f: R R tale che f(x) = x 2 + 1, sia g : R/{0} R tale che g(x) =1/x, essendo f(r) =[1, + ) R /{0} è possibile definire g ο f: R R g(f(x))=1/(x 2 + 1) E possibile definire f ο g?

19 Ad ogni funzione f : A B possiamo associare un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, che chiameremo grafico di f G f = {(a,b) AxB b=f(a)} = {(a,f(a)) a A} AxB Esempio: il grafico della funzione che associa ad ogni cittadino italiano la città di residenza è l insieme delle coppie ordinate (i,c), dove c è la città di residenza della persona di cittadinanza italiana i

20 Attenzione! Non ogni sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB è il grafico di una funzione. Un sottoinsieme G AxB è grafico di una funzione f se e solo se (perché?) per ogni a A esiste un unico elemento b B tale che (a,b) G in tal caso b=f(a).

21 ESEMPIO: Supponiamo di indicare con S={a,b,c,d,e,f} l insieme di alcuni neuroni indicati con le lettere a,b,c,d,e,f. Un neurone può trasmettere o no un impulso direttamente ad un altro neurone, l impulso va in una sola direzione, indichiamo con (a,b) il fatto che il neurone a trasmette un impulso al neurone b, consideriamo il seguente insieme G ={(a,b),(a,d), (c,a), (b,d), (b,c), (c,d), (d,e), (c,f), (d,f), (f,e)} SxS Si può ritenere G grafico di una funzione f: S S?

22 G ={(a,b),(a,d), (c,a), (b,d), (b,c), (c,d), (d,e), (c,f), (d,f), (f,e)} SxS Si può ritenere G grafico di una funzione f: S S? La relazione fra i neuroni, descritta da G, non è una funzione perchè ad es. il neurone a invia un impulso sia a b che a d, quindi a non è univocamente connesso. Più in generale diremo che un sottoinsieme qualsiasi D AxB rappresenta una relazione fra gli elementi di A e gli elementi di B, nel senso che a A è in relazione con b B se e solo se (a,b) D

23 PIANO CARTESIANO Sia f: A R R, il grafico di f è un sottoinsieme del prodotto cartesiano RxR = R 2 Costruiamo una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano euclideo e le coppie di numeri reali: 1- scelta di un punto O, origine, questo punto verrà associato alla coppia (0,0) 2- scelta di una retta r 1 qualsiasi passante per O, asse delle ascisse 3- scelta di un punto diverso da O su r 1 (unità di misura e orientamento sull asse delle ascisse)

24 PIANO CARTESIANO 4- scelta di una retta diversa da r 1 e passante per O, asse ordinate (usualmente scelto ortogonale all asse delle ascisse) 5- scelta di un punto diverso da O sull asse delle ordinate (unità di misura (può essere diversa da quella dell asse delle ascisse) e orientamento per l asse delle ordinate) Sistema di riferimento

25 PIANO CARTESIANO Scegliamo un punto P del piano, dobbiamo associare a P una coppia di numeri reali: 1- retta per P parallela all asse delle ordinate. Questa retta interseca l asse delle ascisse in un unico punto P 1 a cui corrisponde un unico numero reale x, ascissa del punto P 2- retta per P parallela all asse delle ascisse. Questa retta interseca l asse delle ordinate in un unico punto P 2 a cui corrisponde un unico numero reale y, ordinata del punto P P (x,y)